导数在高中数学中的应用误区(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上导数在高中数学中的应用误区万琨摘 要: 导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多，实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢？本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。关键词: 导数; 误区; 极值; 最值; 单调性1. 引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。在上个世纪，导数曾经编入中学数学教材，但是由于教育改革，步入上个世纪九十年代，导数在中学数学教材中又删去了。但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。因此随着时代的发展，随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。它的选如恰似一股春风吹如人的心田，使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人见到光明一样，心中充满期待与高兴，它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内，使人精神焕发，朝气蓬勃。导数是高中数学和高等数学衔接的纽带，它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象，有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象，使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。导数作为新内容引入中学数学教材，使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。尽管它属于高三选修的内容，但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用，因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。可以这样说要在高考取得优异的成绩，要想脱颖而出，必需学好导数。2. 具体的事例导数作为一种工具，在解决某些数学问题时极为方便，尤其是利用导数可以判别函数的单调性，求极值及曲线的切线等等。但是在学习过程中由于对导数概念的理解不清，理解不深刻而导致错误的情形时有发生，学生在做高考试题时，时常出错，理不出头绪。例1. 已知函数，其中为常数.(1) 若，讨论函数的单调性；(2) 若，且，试证:1。分析：本题是某省市高考理科试题倒数第3题，难度应该不大。但是从当年批阅得分的情况来看，有相当的一部分学生只能做出第1小题，而对第2小题却束手无策，实际上第2小题仅仅考查的是导数的定义，如能了解.则此题便迎刃而解。对导数概念理解不深入是同学们不能解决此题的关键。例2. 设的极小值为，其导函数的图像经过点,如图1所示, (1) 求的解析式； (2) 若对都有恒成立，求实数的取值。分析：此题得分也不理想.其原因在于同学们误解了导函数的单调性与原函数的单调性的关系。部分考生认为导函数的单调性与原函数的单调性相同。而实际上导函数的单调性与原函数单调性没有必然的联系.我们在判断原函数的单调性的时候，主要看导函数的函数值与0的大小的关系,若导函数的函数值大于0, 则原函数为单调递增函数,反之若导函数的函数值小于0, 则原函数为单调递减函数。另一方面，对第2小题不会转化为最值问题，也是失分较多的原因。例3已知函数,(1) 设，讨论的单调性；(2) 若对任意恒有，求的取值。分析：本题主要考察导数在单调性与极值方面的应用.从全国考试中心反馈的情况来看，此题得分并不理想。第1小题判别函数的单调性，明显应该用导数这一工具。第2小题给出函数满足的不等式，应想到是关于函数的极值与最值的问题，这样便可利用导数作为解题的工具了，但是部分同学却想不到这一点，以至失分。例4已知,讨论函数的极值点的个数。分析:该题本质上是一道关于导数的运算及应用的问题，从考试的结果来看，这道题是较难的试题，学生的得分不高。此题出现的错误有以下4个：(1) 不求导,直接对原函数中的二次函数进行讨论;(2)求导公式记不正确,导致运算出错,如, 等;(3) 求导之后不知道如何讨论极值点的个数;(4) 分类讨论不。.3. 误区原因解析导数如此的重要，就有必要对导数的应用误区做一些必要的剖析.它在哪些方面容易出错呢？3.1 定义理解不透彻。导数的定义如下:设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则函数相应地有增量,如果时,与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即导数的表达形式有多种，常见的有以下两种形式： 对导数的定义，我们应注意以下四点：(1)增量的形式是多种多样的,但不论选择哪一种形式,相应中也必须选择对应的形式;(2)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在;(3)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果时,有极限,那么函数在点处可导或可微,才能得到在点处的导数,若极限不存在，则称函数在点处不可导;(4)导数是一个局部概念,它只与函数在及其附近的函数值有关,与无关。例5证明若在处可导，则.4误证：.剖析：此题的证法表面上似乎无懈可击,但是仔细分析证明的过程,它与定义不符合。该证法未能理解上述的四点(1)，未能理解中的应当如何变化。正解： =+ =.例6已知函数= ,则=_.误解：, 故原式=.剖析：中的的增量为2,则分母也应为2.正解：原式.3.2 几何意义的应用误区一般地，已知函数的图象是曲线,，是曲上的两点，当点沿曲线逐渐向点接近时，割线绕着点转动.当点沿着曲线无限接近点，即趋向于时，如果割线无限趋近于一个极限位置,那么直线叫做曲线在点处的切线。此时,割线的斜率无限趋近于切线的斜率，也就是说，当趋向于时，割线的斜率的极限为。由此,可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为特别地，如果曲线在点处的切线平行于轴，这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为.导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。但利用该几何意义求曲线的切线方程时，要注意对切点位置的具体分析。3.2.1 要检验“某点”是否在曲线上例7求曲线过点的切线方程。误解：，所以切线方程为.剖析：此题中不在曲线上，应先设出切点坐标，再解之.正解：设切点坐标为由导数几何意义知：切线斜率为，所以=-(1)又点在曲线上，故-(2)由(1)(2)联立解之得：=，所以切点坐标为或，所以切线方程为或.3.2.2 要注意区分“在点处”与“过点处”求曲线方程时的区别，其中在点处的点必为切点，过点处的点不一定是切点，在解题时要注意审题，加以区别。例8已知函数，试问:过点的曲线的切线有几条?如果是一条，写出该切线的方向向量；如果是两条，求出两直线的夹角；如果是三条，写出直线方程。解：设切点为， ，切线斜率为过的切线方程为：.将代入得： ，.过的切线有两条,切点为，斜率为，.3.3 导数与极值、最值的关系3.3.1 误把极值当最值 函数的最值是比较整个给定范围内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的。求最值时，只需把找出的可能是极值点的那些点处的函数值与给定范围的端点的函数值进行比较，就可以得出函数在给定范围上最值了。设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：(1)在内求的点及导数不存在的点；(2)计算在上述各点处的函数值并与端点处的函数值、比较，即可得出函数在上的最大值与最小值。明白了上面的极值与最值的区别,我们来看下面的例题。例9求函数上的最值。误解：因为 由解得,经验证为极值点,即为极大值.所以函数的最大值为2，最小值为.剖析：本题误把极值当最值,本题求出了极值,正确做法是还应将它与端点值比较大小。正解：因为所以在上的最大值为18,最小值为.3.3.2 将驻点等同于极值点我们知道.对于满足的点称为驻点,是为的极大(小)值点的必要而非充分条件，把驻点等同于极值点,容易导致失误。例10导数=(的极值点为 。A. ； B. ； C. 或0； D. 误解：由得，故选择C.剖析：这三点都是驻点,是不是都是极值点呢?正解：由知当时，当时，当时，当时， 因此只有为极小值点,而都不是极值点，从而应选D。所以，在这里我们需明确，对于可导的函数而言，函数在某处取得极值，则函数在此处导数必等于0；反之，若导数在某处值为零，则函数在该点不一定取得极值，还需进一步检验在=0的点的左右两边的符号变化。例11已知函数,函数在区间上是减函数，求的取值范围。误解：，由得. 当时，在上递减，当时，在上递增，于是，故的范围是. 剖析：上述解法忽略了一个细节,解题过程只用到了,即是的驻点,那么它究竟是不是极值点呢?当时,如果,那么就只是拐点而非极值点.因此的取值范围是.3.4 求单调区间的不完整我们再来看几个例题以示说明例12求函数，的单调递增区间。误解：,由得，由上式可知在内当时,，于是此时在内单调递增，在内单调递增。剖析：上题解法虽然正确,但结论并不完美, 在内单调递增，在内单调递增，又因为在处连续，从而可把结论概括为在内单调递增。例13求函数的单调区间。误解：由题知，令，解得.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.剖析：在解与函数有关的问题时,一定要考虑函数的定义域,这里错在忽略了函数的定义域，显然,当时,，原函数无意义。正解： 由可以知道原函数的定义域为，因此函数的单调递减区间为.3.5 判断函数的单调性时忽略特殊情形例5给出：设函数在某个区间内有导数，如果在此区间内，则在此区间内为增函数;如果，则在此区间内为减函数。那么反过来结论是否成立呢?例14已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。误解:由题知道所以.剖析:当在上成立时,在上递增,但反之并不一定成立.如是增函数,但是恒大于0.正解：因此本题应为在上恒大于或等于0,.4. 结论伟大的平民教育家陶行知说过:真教育是心心向印的活动.只有理解学生的心理才能走进学生的心灵.同样在数学教学的活动中,只有换位思考，舍身处地的为学生着想,才能取得良好的教学效果。而理解学生在学习的过程中所出现的问题是关键.学生会出现什么样的问题呢?这就要求我们高中数学教师要急学生之所急,想学生之所想,从学生的角度来考虑问题,在那些方面容易出错,从这些角度出发,可以切实的解决问题。以上只是学生在学习的过程当中导数方面容易出现的误区,导数是高中数学的重要内容,学好它,有利于高中毕业生对高等数学的顺利过渡。只有高中学生理解掌握好导数才有可能通过高考进入高等学府进一步深造。我作为一名中学数学教师,我将继续努力,从学生的角度看问题争取找出数学的其它方面的误区,做一名合格的中学数学教师。参考文献:1 全国高考命题研究组. 20022006年高考试题汇编M.北京:西藏人民出版社,2006.2 金鼎教育研究中心. 调研卷高考快递M.郑州:大众文艺出版社,2007.3 张晓斌.2005年普通高校招生重庆数学试卷分析J.数学教学通讯,2005(9).4 华东师范大学数学系.数学分析(上册) M. 北京:高等教育出版社,2003.5 蔡上跃. 数学(选修3) M. 北京:人民教育出版社,2003.专心-专注-专业