6年级奥数学案(共149页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第 讲 定义新运算【知识梳理】 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“D、#、*、·”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。【典例剖析】例题1:假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。例题2：设p、q是两个数，规定：pq=4×q-(p+q)÷2。求3(46). 3(46). 3【4×6（4+6）÷2】 319 4×19（3+19）÷2 7611 65练习2：1.设p、q是两个数，规定pq4×q（p+q）÷2，求5（64）。2.设p、q是两个数，规定pqp2+（pq）×2。求30（53）。例题3:如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+=练习3：1.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，那么，4*4=？，18*3=？2.规定：a*b= a + aa + aaa + aaaa + aaaaa,那么8*5=？（b-1）个a例题4:规定=1×2×3，=2×3×4 ，=3×4×5，=4×5×6，如果=×A，那么A是几？A =（ ）÷ =（）×=1=1=练习4：1.规定：=1×2×3，2×3×4，3×4×5，4×5×6，如果×A，那么A=？。2.规定：（3）2×3×4，（4）3×4×5，（5）4×5×6，5×6×7，.如果+×，那么？。例题5:设ab=4a-2b+ab,求x（41）34中的未知数x。414×4-2×1+×4×116X164x2×16+×x×1612x3212X32 3412X=66 X=5.5练习5：1.设ab=3a-2b,已知x（41）7求x。2.对两个整数a和b定义新运算“”：ab=，求64+98。3.对于两个数a与b，规定ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)，已知95x=585，求x。家庭作业校区： 姓名： 科目： 数学 第 次课 作业等级： 1. 设a*b=3a×b，求（25*12）*（10*5）。2. 设M、N是两个数，规定M*N+，求10*20。3. 如果2*1=，3*2=，4*3=，那么（6*3）÷（2*6）=？。4. 如果121+2，232+3+4，.565+6+7+8+9+10，那么x354中，x？5.对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y（其中m是一个确定的整数）。如果1*21，那么3*12？第 讲 简便运算【知识梳理】根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成×（），形如的分数可以拆成+等等。可以结合例题思考其中的规律。【典例剖析】【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：abc = a（bc），使运算过程简便。所以原式4.75+8.259.631.3713（9.63+1.37）13112练习1：计算下面各题6.732+（3.27-1） 7-（3.8+1）-1【例题2】计算×79+790×66661【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以：原式.5×79+790×66661.2533338.75×790+790×66661.25（33338.75+66661.25）×790×790练习2：计算下面各题3.5×1+125+1÷ 975×0.25+9×769.75【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以原式1.2×30×1.09+1.2×67.31.2×（30×1.09+1.2×67.3）1.2×（32.7+67.3）1.2×100120练习3：计算45×2.08+1.5×37.6 52×11.1+2.6×778【例题4】计算：3×2537.9×6【思路导航】虽然3与6的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.5×6.4时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。所以原式3×25（25.4+12.5）×6.43×2525.4×6.412.5×6.4（3.6+6.4）×25.412.5×8×0.825480334练习4：计算下面各题：6.8×16.819.3×3.2 139×137×【例题5】计算：81.5×15.881.5×51.867.6×18.5【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以原式81.5×（15.851.8）67.6×18.581.5×67.667.6×18.5（81.518.5）×67.6100×67.66760练习5：53.5×35.353.5×43.278.5×46.5 235×12.1+235×42.2135×54.3【例题6】计算：1234234134124123【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有原式1×11112×11113×11114×1111（1234）×111110×111111110练习6：23456345624562356234623454567856784678457845684567【例题7】计算：2×23.411.1×57.66.54×28【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。所以原式2.8×23.42.8×65.411.1×8×7.22.8×（23.465.4）88.8× 7.22.8×88.888.8×7.288.8×（2.87.2）88.8×10888练习7：计算下面各题：99999×7777833333×66666 34.5×76.5345×6.42123×1.45【例题8】计算： 【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为19921）×1994=1992×19941994，同时发现19941 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以原式1练习8：计算下面各题： 【例题9】有一串数1，4，9，16，25，36.它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20012，它们相差：2001220002，即20012200022001×20002000220012000×（20012000）2001200020014001练习9：计算：1991219902 9999219999 【例题10】计算：（97）÷（）【思路导航】在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把与的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。原式（）÷（）【65×（）】÷【5×（）】65÷513练习10：计算下面各题（1）÷（） （31）÷（1）【例题11】计算：（1）×37 （2） 27×（1） 原式（1）×37 （2）原式=（26+1）1×37×37 =26×+37 =15+36 =15练习11：用简便方法计算下面各题×8 ×126 35×【例题12】计算：73×原式（72+）×72×+×9+9练习12：计算下面各题64× 22×【例题13】计算：×27+×41原式×9+×41×（9+41）×5030练习13：计算下面各题×39+×27 ×35+×17【例题14】计算：×+×+×原式×+×+×（+）××练习14：计算下面各题 ×+× ×+×+×【例题15】计算：（1）166÷41 （2）1998÷1998解：（1）原式（164+2）÷41 （2）原式1998÷ 164÷41+÷41 =1998÷4+ =1998×4 =练习15：计算下面各题54÷17 238÷238【例题16】计算：+ 原式（1）+（）+（）+（）1+1练习16：计算下面各题+ + +【例题17】计算：+ 原式（+）×【（）+（）+（）】×【】××=练习17：计算下面各题+ + 【例题18】计算：1+原式1（+）+（+）（+）+（+）（+）1+-+-1练习18：计算下面各题1+ 1+【例题19】计算：+原式（+）1练习19：计算下面各题+ +【例题20】计算：（1+）×（+）（1+）×（+）设1+a，+b原式a×（b+）（a+）×bab+aabb（ab）练习20：（+）×（+）（+）×（+）（+）×（+）（+）×（+）家庭作业校区： 姓名： 科目： 数学 第 次课 作业等级： 14.15-（7-6）-2.125 13-（4+3）-0.759×425+4.25÷ 0.9999×0.7+0.1111×2.748×1.08+1.2×56.8 72×2.091.8×73.6 4.4×57.845.3×5.6 3.75×735×573016.2×62.5124.68324.68524.68724.68924.68 77×13255×999510- 999×2746274（9636）÷（3212） 73××19993 ×57 41×+51× ×5+×5+×10 163÷41 ×79+50×+× ×+×+×3 + + 1+ + + +6××6+×6 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6（1+）×（+）（1+）×（+）第 讲 比较大小【知识梳理】 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本讲将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：ab0，那么a的平方b的平方；如果ab0，那么；如果1，b0，那么ab等等。比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。【典例剖析】例1：比较和的大小。这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。因为1=，1=所以。练习1：1.将，按从小到大的顺序排列出来。2.比较和的大小。例2：比较和哪个分数大？可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。因为1÷101÷101010所以练习2：1.比较和的大小。2.比较和的大小。例3：比较和的大小。两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。因为12345×98765 12345×98761+12345×4 12345×98761+49380 12346×98761 12345×98761+98760而 9876149380所以12346×9876112345×98765则练习3：1.如果A，B，那么A与B中较大的数是_.2.试比较与的大小。例4：已知A×15×1B×÷×15C×15.2÷D×14.8×。A、B、C、D四个数中最大的是_.求A、B、C、D四个数中最大的数，就要找15×1，÷×15，15.2÷，14.8×中最小的。 15×115 15.2÷15 ÷×1513 14.8×14.6 答：因为÷×15的积最小，所以B最大。练习4：1.有八个数，0. ，0.5，是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是0.5111，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？2.在下面四个算式中，最大的得数是几？ （1）（+）×20 （2）（+）×30 （3）（+）×40 （4）（+）×50199219962例5：图241中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：平方厘米）。问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？ 红 蓝1997219932 红 蓝 通过计算结果再比较大小自然是可以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。 1997219972 （1997+1966）×（19971996） 3993 1993219922 （1993+1992）×（19931992） 3985 因为1997219972 1993219922 所以19972+19972 19932+19922练习5：A B1.如图所示，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，如果x y，是比较A、B两部分周长的大小。 x y2.问×××××与相比，哪个更大？为什么？ 家庭作业校区： 姓名： 科目： 数学 第 次课 作业等级： 1. 比较和的大小。2. 比较A和B的大小。3. 比较和的大小。4. 已知A×1B×90C÷75D×E÷1。把A、B、C、D、E这5个数从小到大排列，第二个数是_.5.如图所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色的两圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色的两圆面积之和大，还是蓝色的两圆面积之和大？蓝红蓝红第 讲 抓“不变量”解题【知识梳理】一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。【典例剖析】例1：将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”分母：（61-43）÷（1）81；分子：81×63；81-6120或63-4320解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）9（倍）约分后所得的在约分前是： 所加的数是81-6120 练习1：1.的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？2.将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。分子：（2+1）÷（）=12 分母：12×-117解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。，原分数的分母是：18-117或15+217 练习2：1. 将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？2.将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？例3：在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以， 解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以 （+）÷2 练习3：1.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。2.一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。例4：将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即，。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和分母再同乘以2。则，。所以，原分数的分母是（543）51。原分数是。解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后是分子的，因此，原分数的分子是（53）÷（）42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是。练习4：1.将一个分数的分母减去3，约分后得；若将它的分母减去5，则得。原来的分数是多少？（用两种方法做）2.把一个分数的分母减去2，约分后等于。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。求原分数。例5：有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于，这个分数是多少？根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是。练习5：1.一个分数，如果分子加5，这个分数等于，如果分母减3，这个分数等于，这个分数是多少？2.一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于，这个分数是多少？家庭作业校区： 姓名： 科目： 数学 第 次课 作业等级： 1.分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？2.分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？3. 将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？4.将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？5.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。6. 一个分数，将它的分母加5得，加8得，原来的分数是多少？（用两种方法）7.一个分数，如果分子加3，这个分数等于，如果分母加上1，这个分数等于，这个分数是多少？第 讲 面积计算【知识梳理】计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。ABCFED对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。【典例剖析】例题1：已知图中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AEED，BD=BC，求阴影部分的面积。A【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=BC，所以SBDF2SDCF。又因为AEED，所以SABFSBDF2SDCF。因此，SABC5 SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF8÷51.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×23.2（平方厘米）。练习1：如图所示，AEED，BC=3BD，SABC30平方厘米。求阴影部分的面积。CBEDD例题2：四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四AF边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积。ECB【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。15×345（平方厘米）答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。D练习2：四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积。GAFECB例题3：BADCO如图所示，BO2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【思路导航】因为BO2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知SDBCSCDA；SCOBSDOA4，类推可得每个三角形的面积。所以，SCDO4÷22（平方厘米），SDAB4×312平方厘米，S梯形ABCD12+4+218（平方厘米），答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习3：如图1814所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC2AO。求梯形面积。DAAOCB例题4：如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。AF【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半C16÷28。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形DBEABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷22.5，所以，三角形ABC的面积为16342.56.5。DA练习4：如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为F7平方厘米，求三角形AEF的面积。BCE例题5：求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。666666【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。 62×3.14×28.26（平方厘米）练习5：求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。10例题6：求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。4【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的 4图形，从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去 大三角形面积的一半。3.14×42×4×4÷2÷28.56（平方厘米）练习6：计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。BA例题7：如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。O1O【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形BACD21面积的一半。所以：3.14×12××21.57（平方厘米）。练习7：如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。例题8：如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，ABC30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。半径：4÷22（厘米）CABD扇形的圆心角：180（18030×2）60（度），O扇形的面积：2×2×3.14×2.09（平方厘米），三角形BOC的面积：7÷2÷21.75（平方厘米）， 7（2.09+1.75）3.16（平方厘米）练习8：如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。DC2630BA60例题9：如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。CII6BDIEBBA4B3C【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。6×424（平方厘米） D练习9：如图1915所示，求四边形ABCD的面积。450BA 7例题10：如图所示，求图中阴影部分的面积。45104510【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图202），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷210厘米 【3.14×102×10×（10÷2）】×2107（平方厘米）解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。45 （20÷2）2×（20÷2）2×1