二次函数的图像与性质(共11页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上二次函数的图像与性质知识梳理知识点一 二次函数的概念一、二次函数的定义1. 一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.2. 任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式3. 判断函数是否为二次函数的方法： 含有一个变量，且自变量的最高次数为2； 二次项系数不等于0； 等式两边都是整式4. 二次函数自变量的取值范围是全体实数二、二次函数图象的画法：五点绘图法1. 利用配方法将二次函数化为顶点式2. 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标3. 在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）知识点二 二次函数的图象性质一、二次函数的性质1. 抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）.2. 函数的图象与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.二、二次函数的性质1. 抛物线的顶点是坐标原点（0，c），对称轴是（ 轴）.2. 函数的图象与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.3. 函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的.三、二次函数的性质1. 对称轴：2. 顶点坐标：3. 最值： 时有最小值 （如图1） 时有最大值 （如图2）4. 单调性：二次函数（）的变化情况（增减性） 当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大； 当时，对称轴左侧， 随着的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；四、二次函数的性质1. 对称轴： 2. 顶点坐标： 3. 最值：时有最小值 （如图1）时有最大值；（如图2）五、二次函数的性质1. 对称轴： 2. 与轴的交点坐标为六、二次函数的图象与系数的关系1. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下2. 决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大3. 和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴； 当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧 简要概括为“左同右异” 4. 的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴七、根据二次函数的图象判断代数式符号1. 决定了函数图象与轴的交点情况：当，有两个交点；当，有一个交点；当，没有交点2. 当时，可以得到的值；当时，可以得到的值典型例题 题型一：二次函数的定义例1. () 下列函数中是二次函数的是（ ）A B C D 【考点】二次函数解析式的判断【解析】A.二次函数解析式是整式；B.最高次是是三次；C.化简后不存在二次项；D.正确【答案】D【教学建议】解析式的三个要点：1、整式；2、最高次是二次；3、二次项系数不为零。例2. () 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项； （2）； （3）； 【考点】二次函数解析式的各项系数的辨析【解析】各项系数应带其前面的符号；化简成一般形式【答案】（1）1,0,0 （2）2，-1,-1 （3）-1,1,0 【教学建议】判断二次函数一般形式下的a、b、c，需要带其前面的符号题型二：二次函数的图像与性质例3. () 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；并探究二次函数开口大小与之间的关系【考点】二次函数的图像开口与系数a的关系【解析】二次函数图像五点作图法； 分析不同a跟抛物线开口的关系；【答案】图略；a0时，开口向上；a0时，开口向下；越大，二次函数图像开口越小例4. () 已知函数是关于的二次函数，求满足条件的的值为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时，抛物线的开口方向、增减性如何？为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？ 【考点】二次函数的性质 【解析】（1）由得：m=-3或m=2；（2）当a0时，抛物线开口向上，有最低点，所以m=2；在x2时，y随x的增大而减小，在x2时，y随x的增大而增大（3）当a0时，抛物线开口向下，有最高点，所以m=-3；在x-3时，y随x的增大而增大，在x-3时，y随x的增大而减小【教学建议】通过图像引导记忆二次项系数a对二次函数图像的影响题型三：二次函数的图象与性质例5. () 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；并回答下列问题抛物线、的形状是否发生改变？对称轴是否发生改变？将抛物线向_平移_单位得到将抛物线向_平移_单位得到【考点】二次函数的图象与平移【解析】图略；否；否；上，2；下，3；【教学建议】理解是由平移得到；掌握系数a、c对二次函数图像的影响例6. () 二次函数的图象开口_，当_时，随的增大而减小；二次函数的图象开口_，当_时，随的增大而增大；二次函数的图象开口_，当_时，随的增大而增大。【考点】二次函数的性质【解析】向下；向上；向下；例7 () 已知抛物线与轴有两个交点，且开口向下，则的取值范围分别是（ ）A BC D【考点】二次函数图像与系数的关系；数形结合思想【解析】借助图像【答案】D【教学建议】引导学生多使用数形结合思想解题例8 () 已知函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为_【考点】二次函数的对称性；数形结合思想【解析】借助图像以及中点坐标公式；【答案】-20【教学建议】引导学生多使用数形结合思想解题，引入中点坐标公式。题型四：二次函数的图象与性质例9 () 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）AB CD【考点】二次函数的平移与h、k的关系【解析】左加右减（对x）；上加下减（对常数项）【答案】D【教学建议】通过本题让学生熟练掌握图像平移后的解析式求解方法例10. () 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线。求出、的值；在同一坐标系中，画出与的图象；观察的图象，当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小，并求出函数的最值；观察的图象，你能说出对于一切的值，函数的取值范围吗【考点】二次函数顶点式下的图像与性质【解析】利用平移研究图像的性质变化【答案】（1）；h=1；k=2；（2）略；（3）x1，x1,2【教学建议】掌握顶点式下函数性质的描述；引导学生利用平移思想研究函数性质的变化以及系数的变化。题型五：二次函数的图象与性质【例1】 例11 () 已知二次函数试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。为何值时，有极值？画出函数的图象，并说明当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小【考点】二次函数的图象与性质【解析】利用图像研究函数的特征及性质【答案】（1）开口向下；顶点（1，）；对称轴x=1 （2）x=1（3）x1时，y随x的增大而增大；x1时，y随x的增大而减小【教学建议】从图像出发，理解记忆函数的图像特征以及体现出来的函数性质例11. () 二次函数的图象如图所示，则下列关于之间的关系判断正确的是（ ）ABCD【考点】二次函数图像与三个系数的关系【解析】利用开口、对称轴以及特殊点等信息研究系数的取值范围【答案】开口向下，所以a0；对称轴在外轴左侧，所以b与a符号相同，b0；与y轴交点在负半轴，所以c0；当x=1时，y=a+b+c0；当x=-1时，y=a-b+c0；答案为D【教学建议】掌握系数a、b、c与二次函数图像的关系巩固训练1. 下列说法正确的是（ ）A二次函数的自变量的取值范围是非零实数B圆的面积公式中，是的二次函数C不是二次函数D中一次项系数为1 答案： B2. 已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？ 答案： 由题意可列条件 ，解得：m=23. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是；。则、的大小关系为（ ） A BCD答案：A4. 函数的图象可以看做是函数的图象向_平移_个单位得到的。答案：下；35. 二次函数的最小值是（ ） AB2CD答案：B6. 将下列函数配成的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值。 答案：（1） （2）7. 抛物线的对称轴是，且经过点，则的值为（ ）ABCD2答案：B8. 已知二次函数的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（ ）答案：D9、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4答案：A10、已知点，是函数上两点，则当时，函数值_答案：3课后作业【题1】 画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值【题2】 如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）AB C D【题3】 已知点，是函数上两点，则当时，函数值_【题4】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） 【题5】 如下图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：；其中正确的有（ ）个 个 个 个【题6】 设抛物线为，根据下列各条件，求的值 抛物线的顶点在轴上； 抛物线的顶点在轴上； 抛物线经过点； 抛物线经过原点； 当时，有最小值； 的最小值为【题7】 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点， 试比较和的大小：_（填“>”，“<”或“=”）【题8】 已知二次函数，为常数，当达到最小值时，的值为（ ）A B C D答案：1、图略；顶点（-2，-1），对称轴x=-2；最小值-12、B 3、3 4、A 5、C6、（1）k=2；（2）k=0；（3）k=-1；（4）k=1；（5）k=-2；（6）k=0或k=47、 8、B 专心-专注-专业