第九章-四边形-知识树+知识点+典型例题+巩固练习(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第九章 四边形一、基础知识点（一）、四边形的相关概念 1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。(二)、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah(三)、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab(四)、菱形 1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半(五)、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=(六)、梯形 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积（1）如图，（2）梯形中有关图形的面积：；6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半二、典型例题【例1】如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（） A2对 B3对 C4对 D5对【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：ABD和CDE，ADC和CBA ，AOD 和BOC 、AOB 和COD 【答案】C【例2】如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点下列结论：SADE=SEOD；四边形BFDE也是菱形；四边形ABCD的面积为EF×BD；ADE=EDO；DEF是轴对称图形其中正确的结论有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个考点：分析：正确，根据三角形的面积公式可得到结论根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得不正确，根据已知可求得FDO=EDO，而无法求得ADE=EDO正确，由已知可证得DEODFO，从而可推出结论正确解答：解：正确E、F分别是OA、OC的中点AE=OESADE=×AE×OD=×OE×OD=SEODSADE=SEOD正确四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点EFOD，OE=OFOD=ODDE=DF同理：BE=BF四边形BFDE是菱形正确菱形ABCD的面积=AC×BDE、F分别是OA、OC的中点EF=AC菱形ABCD的面积=EF×BD不正确由已知可求得FDO=EDO，而无法求得ADE=EDO正确EFOD，OE=OF，OD=ODDEODFODEF是轴对称图形正确的结论有四个，分别是，故选B点评：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力 【例3】如图，ABCD中，B、C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ， 求证：BO=OE 【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等可证COE COB 已知OC 为公共边， OCE=OCB，又易证E=EBC问题得证【证明】在ABCD中，AB/CD， ，又 （角平分线定义） ，又 ， 说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论【例4】如图，在ABCD中，AEBC于E ，AFDC 于F ，ADC=60°，BE=2，CF=1，求DEC 的面积【解】在 中， ， 、 在Rt ABE 中， ， ， 在 中， 故 【例5】已知：如图，D 是等腰ABC 的底边BC 上一点，DE/AC ，DF/AB 求证：DE+DF=AB【分析】由于 ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证【解】 ， 四边形 是平行四边形 ， ， 说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段【例6】如图，已知： 中， 、 相交于 点， 于 ， 于 ，求证： 【分析】【解】因为四边形 是平行四边形，所以 ， 又因为 、 交于 点，所以 又因为 ， ，所以 于是 从而 【例7】已知：如图，AB/DC ，AC、BD交于O，且AC=BD。 求证：OD=OC. 证明：过B作 交DC延长线于E，则 。 ， ， ， 说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰BDE，使问题得解ADBCEF(图6)MN【例8】如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.（1）求证：ABECDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB = CD，A =C.AE = CF，ABECDF.（2）解析： 四边形MFNE是平行四边形.ABECDF，AEB =CFD，BE = DF.又M、N分别是BE、DF的中点，ME = FN.四边形ABCD是平行四边形，AEB =FBE.CFD =FBE. EBDF，即MEFN.四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.【例9】（1）探究填空：如果在ABCD中AM=AB，CN=CD，那么四边形AMCN是_；当AM=AB，CN=CD时，四边形AMCN是_；如果AM=AB，CN=CD（m1）时，四边形AMCN是_;（2）你能得出一个一般性的结论吧？如果能请你写出一般性的结论，并证明分析：（1）根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）推知AB=CD、四边形AMCN的对边AMCN；然后根据已知条件知四边形AMCN的对边AM=CN；最后由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形AMCN是平行四边形；（2）根据（1）的证明过程知：在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答：解：（1）在ABCD中，ABCD，且AB平行于CD在四边形AMCN中，AMCN；又AM=AB，CN=CD，AM=CN，四边形AMCN是平行四边形；在ABCD中，ABCD，且AB平行于CD在四边形AMCN中，AMCN；又AM=AB，CN=CD，AM=CN，四边形AMCN是平行四边形；在ABCD中，ABCD，且AB平行于CD在四边形AMCN中，AMCN；又AM=AB，CN=CD，AM=CN，四边形AMCN是平行四边形；（2）在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明：如图所示，ABCD且AB=CD连接AC，则BAC=DCA，在ABC和CDA中，AB=CD(已知)BAC=DCAAC=CA(公共边)，ABCCDA（SAS），BCA=DAC（全等三角形的对应角相等），ADBD （内错角相等，两直线平行），四边形ABCD是平行四边形点评：本题考查了平行四边形的性质与判定平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法三、巩固练习（一）精心选一选 1.下列命题正确的是（ ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BEBD，连结DE交BC于F，若DAB120°，CFE135°，AB1，则AC 的长为（ ）（A）1（B）1.2（C）（D）1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，则BD的长是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()（A）互相垂直（B）相等 （C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如图，等腰ABC中，D是BC边上的一点，DEAC，DFAB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）208.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 9. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm10.如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmABCDEF图 211. 如图2，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于 （）（A）（B）（C）（D） RPDCBAEF第12题图12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是 （ )A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P13. 在梯形ABCD中，AD/BC，对角线ACBD，且，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（ ）A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm黄蓝紫橙红绿AGEDHCFB第14题14. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花如果有，那么下列说法中错误的是（ ）A红花、绿花种植面积一定相等B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等D蓝花、黄花种植面积一定相等15.如图,在一个3方格纸上,若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该3方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个.A.13 B.14 C.18 D.20 （二）细心填一填1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为形。2.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为。5. 已知：平行四边形ABCD中， AEBC交CB的延长线于点E，AFCD交CD的延长线于点F，ABBCCDDA32cm，BCAB，EAF2C，则BE长为，则C.ABCDEFO图86. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 7.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，则EF的长为 。8 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： 9如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，则的度数是 第10题图DABCPMNCFDBEAP（第9题）（1）（2）图1010如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。12. 已知矩形ABCD，分别为AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则的值等于 。13. 如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15°，则COF=_14. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，则图中阴影部分的面积为15、如图，矩形的面积为，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是。（三）认真答一答1.如图，在四边形ABCD中，A=60°,B=D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。2.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2,BAD=120°,对角线AC平分BCD，求等腰梯形ABCD的周长。ABCDEFD3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D 处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，ADB=60°，BD=10，BEED=41，求梯形ABCD的腰长.5. 如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，BEAF60°，BAE18°求CEF的度数。ABCDMNE(第6题)6.已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边ADBC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且ABD=30°求：（1）MH的长（2）MN的长。8. 如图所示，在ABC中，BAC=90°,ADB,BE平分ABC,EFBC,那么AE=CF吗？证明你的结论。9. 如图，ABCD是正方形，CEBD，BEBD，BE交DC于点F，求证：（1）BEC30°（2）DEDF 10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PEBC，垂足为E， PFCD，垂足为F，求证：EFAP11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求证：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,DAB=60°,求四边形ABCD的面积.12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cms的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cms的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。13.如图在直角梯形ABCD中, ADBC, B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形?A B Q C D P 14.在ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。（1）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示意图。15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）；（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.解:作图步骤：17. (1)如图25-1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD.求证:EFBEFD; (2) 如图25-2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 18. 将边长OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在、OC边上选取适当的点、F，连接EF，将EOF沿EF折叠，使点落在边上的点处图 图 图（1）如图，当点F与点C重合时，OE的长度为 ；（2）如图，当点F与点C不重合时，过点D作DGy轴交EF于点，交于点.求证：EO=DT；（3）在（2）的条件下，设，写出与之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；（4）如图，将矩形变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DGy轴交EF于点，交于点，求出这时的坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）19. (1)如图101所示，BD, CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD, AGCE,垂足分别为F，G，连结FG，延长AF, AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG （ABBC+AC） （直接写出结果即可）（2）如图102，若BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（3）如图103，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明。20.已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG. (1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由； （2）将图1中绕B 点顺时针旋转得图2，连结DF,取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图1中绕B点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；专心-专注-专业