柯西不等式的证明与应用(共30页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设则当数组a1，a2，an ,b1，b2，bn不全为0时，等号成立当且仅当.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ,等号成立当且仅当变式2 设ai,bi同号且不为0（i=1，2，n）则,二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。2）利用判别式证明（构造二次函数法）若，则此时不等式显然成立。若，构造二次函数对于xR恒成立，所以此二次函数的判别式0，即得证。3）用数学归纳法证明i）当时，有，不等式成立。当n=2时，。因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时， 当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是时不等式成立。由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。4）用向量法证明设维空间中有二个向，其中为任意两组实数。由向量的长度定义，有|, 又由内积的定义， ,其中是,的夹角，且有。因|，故，于是|即当且仅当|时，即与共线时等号成立。由,共线可知即由以上，命题得证。5) 利用均值不等式当=0时不等式显然成立当0柯西不等式可化为1 。由均值不等式可知=1即1当且仅当时等号成立。从而柯西不等式得证。而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。三、柯西不等式的应用：1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例3.1.1已知 a>b>c>d，求证：。证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d) =9从而。例3.1.2：已知， 求证： 证法一：（常用证法） 把上面个不等式相加，得即 证法二：（利用柯西不等式来证明） 分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：由柯西不等式（A）有两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例3.1.3：设（i=1，2，n）且，求证：5 证 注意到恒等式=，只需要证明即上式左边=，得证。例3.1.4：设实数, 满足>0,b ,c求证证 因为a>0,由均值不等式得= =同理可得 ，故 由柯西不等式可知从而=又=6+故2即2当且仅当时等号成立。例3.1.5：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式。证明：由柯西不等式： 于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。因为而所以有。例3.1.6：设，则证明：5证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有即于是。例3.1.7:设，则。5证 由柯西不等式变式1，得左边= =例3.1.8（第42届IMO预选题）设是任意实数。证明：<.证 由柯西不等式，对于任意实数有令=，k=1，2，n.因此原不等式转换为证明<1当k2时，有=-当k=1时，1-，因此1-<1.故原不等式得证。例3.1.9设，则 .5证 由柯西不等式，得左边=-=例3.1.10.若n是不小于2的正整数，试证： 5证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是： 又由柯西不等式有<2）求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得，如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与，且取最大值与最小值的充要条件是。反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。例3.2.1：求函数的最大值，并指出为何值时取得最大.法一：观察可得故从而原函数可化为，有三角函数的知识已知以最大值为10但此时不易确定的值。法二：由柯西不等式得=10根据等号成立的条件可知，当且仅当等号成立此时=3.36故所求函数最大值为10此时=3.3.6.例3.2.2：已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值。5解：由柯西不等式：故。当且仅当，即（为常数）时等号成立。将代入得则，即当时，分别为所求的最大与最小值。例3.2.3已知实数a,b,c,d,满足,，试求a的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当时等号成立，代入时， 时 3）解方程例3.3.1：解方程组解：由柯西不等式：即，故方程组无解。例3.3.2：在实数集内解方程组.5解：由柯西不等式： （1）因为又因为。即即（1）式取等号。由柯西不等式取等号的条件有 （2）（2）式与联立，则有。例3.3.3解方程.5解 根据柯西不等式因=11从而 即0从而=0故=0又由上述过程的可逆性还得到=再根据柯西不等式取等号的条件，有且仅有（k为常数）将此带如原方程得即=11，而=0从而k=1因此求得原方程的解为4）解三角与几何问题例3.4.1 在ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R求证36证 由柯西不等式可知=36，证必。例3.4.2 设P是ABC内的一点，是P到三边的距离，是ABC外接圆的半径，证明.5证明：由柯西不等式得，记为ABC的面积，则故不等式成立。例3.4.3：在三角形中，证明。5证明：由柯西不等式：即 （1）因为故 （2）又因为因而 （3）将（3）代入（2）得 （4）将（4）代入（1）得即。例3.4.4：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即，其中为三角形的三边长，为三角形的面积。5证明：由海伦秦九韶面积公式：，其中。于是由柯西不等式：当且仅当，即时等式成立。于是。变形得：。即（是三角形的面积）故有，当且仅当时等号成立。例3.4.5：设ABC为任意三角形，求证： 分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数： ，1，1，1由柯西不等式，有 即 把上面这个不等式与求证的不等式比较，可知如果能推导出，问题就解决了，但是，所以，这样构造的两组数不能证明求证的不等式成立，因此应修改所构造的两组数如下：； 由柯西不等式（A），有 即.把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证上面这个不等式，可证明如下：由已知 这样，本题即可证明了.根据上面的分析，写出证明如下：先构造如下两组数由柯西不等式有即由已知 于是，有1, .5）用柯西不等式解释样本线性相关系数67在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，则，由柯西不等式有，当时， 此时，k为常数。点 均在直线上， 当时， 即而为常数。此时，此时，k为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。6）推导点到直线的距离公式已知点及直线，设是上任意一点，点到的距离的最小值|就是点到的距离，证明：|。证明：因为是上的点，所以有。 （1）而| （2）由柯西不等式： （3）由（1）得： （4）将（4）代入（3），则有即移项则有：| （5）当且仅当即时（5）式取等号，即点到直线的距离公式：|。英文文献翻译经典定理：柯西-施瓦茨不等式 加权算术平均值不等式及赫尔德不等式。现在我们通过常规技巧建立几个经典定理、定理 14 （柯西-施瓦茨不等式）设，为实数，则有。证明：令A=,B=，当A=0时，可得=0,此时所给不等式显然成立。因此我们可设A,B>0，现在我们作如下代换，原不等式等价于，然而我们知道=1（为什么？），故其等价于2.接下来，我们做另一个代换，则不等式等价于1=或者。因此我们只需证明其中。这是很容易的，我们应用均值不等式可以推导出现在我们应用柯西-施瓦茨不等式来证明内斯比特不等式。（内斯比特）对所有的正实数，我们有证明9 应用柯西-施瓦茨不等式我们有，它可变形为或者这里有一关于问题12简短的证明（伊朗1998）证明对所有的>1若=2则有方法2我们注意到 。我们应用柯西-施瓦茨不等式则有问题18证明对所有实数有：解 ：我们可以得到如下等式和不等式链= （柯西-施瓦茨不等式） = （均值不等式） （柯西-施瓦茨不等式） =使用证明柯西- 施瓦茨不等式同样的想法，我们发现了一个自然推广：定理15 设为正实数，我们有证明：由于是齐次不等式，同定理11的证明一样，我们可令或者=1,.,n).则不等式变形为或者故足以证明对所有的当有。完成证明后，可以得到如下类似不等式：定理16（均值不等式）设为正实数，则有。证明： 由于不等式是齐次的，我们可以重新调整使得。因此我们只需证明。可以通过对的归纳来证明：当=1时，显然成立；当=2时，我们有.现在我们假设对所有的正整数时，不等式成立。同时令为满足=1的正实数，我们可以假设。（为什么？）由归纳假设可知我们有，因此，只需证明然而我们有下面的简单观察不是很麻烦：设及N。令，对应用均值不等式我们可以得到或者。故对所有正有理数，当我们会有我们马上可以得到定理17 设，>0，满足，则对所有>0我们有。证明 我们可以选择一正有理数列使其满足，同时令，则有，从前面的观察我们有两边同时取极限我们就可以得到结论。稍微修改上面的结论，我们可以得到定理18 （加权均值不等式）设为正实数，且满足。则对所有我们会有。回想一下应用均值不等式来推导定理12的过程，是对柯西-施瓦茨不等式的概括，因此通过加权均值不等式，我们得到加权的柯西-施瓦茨不等式。把它叫做赫尔德不等式：定理19 （赫尔德）设为实数，为正实数且满足则有。证明：由于不等式是齐次的，同定理12的证明一样，我们重新调整使得其满足对任意，则我们只需证明或者。由加权均值不等式可得 然而我们容易得到。专心-专注-专业