一元二次方程、解不等式、根的分布(共10页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上一元二次方程、解不等式、根的分布例1：解下列方程：（1）（2）（3）（4）（注意：对参数要分类讨论）例2：解不等式：（1）（2）（3）（4）解：原不等式可以化为：若即则或若即则 若即则或例3：关于x的不等式的解集为求关于x的不等式的解集解：由题设且， 从而 可以变形为即： 例4：关于x的不等式 对于恒成立，求a的取值范围。解：当a>0时不合； 当a=0也不合必有： 例5：若函数的定义域为R，求实数k的取值范围。解：显然k=0时满足 而k<0时不满足k的取值范围是0,1例6：设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A.(，2)(，+)B.(，)C.(，2)(，1)D.(2，)(1，+)例7：设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围。命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M1，4有n种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2.当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4.(3)当0时，a1或a2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4时，a的取值范围是(1，.课后作业：1设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ=Q解：Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类：m=0时，40恒成立；m0时，需=（4m）24×m×（4）0，解得m0。综合知m0，Q=mR|m0。答案为A。2解不等式loga(1)1解：(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.3解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.4已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_。解析：原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根.令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2.答案：2，25. 若不等式对于一切成立，则的取值范围. 6已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2.(1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sin)的最小值.解：(1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0，当x1，3时，f(x)0，当x=1时f(x)=0.1+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3.此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2，显然此函数在1，1上递增.当x=1时f(x)有最小值f(1)=134=6.7设f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.证明：（1）因为，所以，由条件，消去，得；由条件，消去，得，故（2）抛物线的顶点坐标为故的两边乘以，得又因为，而，所以方程在区间与内分别有一实根，故方程在内有两个实根8已知集合，若，求实数的取值范围解：设，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若，满足条件，此时，即，解得；（2）若，设抛物线与轴交点的横坐标为，且，欲使，应有，结合二次函数的图象，得即解得综上可知的取值范围是点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。解不等式,()分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。解： 原不等式等价于移项，通分得 由已知，所以解得；解得或 故原不等式的解集为 已知,关于的不等式: 恒成立，求分析：是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式 解： 变为 记,由于是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在轴的下方,于是, 关于的不等式 的解等价于解得 于是 .注：在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。作业布置：1. 解关于x的不等式：（1）；思路将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)>0，相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？要用串根法解此不等式，需将这三个根按从小到大的顺序在数轴上排列。因此要分类讨论它们的大小。解题当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -3<x<4或x>-a.当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -3<x<-a或x>4.当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -a<x<-3或x>4.0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| x>-3.当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| x>4.（2）；解：(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.（3）；（4）；（5）；思路1）可将分式不等式移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 .2）（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解，解题 x+10x·(x1)(x+1)(x+2)(x+5)0，且x1、2，由图可知，原不等式的解集为：x|x5或2x1或0x1收获（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式；（2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正。（3）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根。.（6）。2已知为方程的两根，求：（1）；（2）。(用韦达定理)（略）3. 若不等式对于一切成立，求a的取值范围。4已知关于x的方程有解，求a的取值范围。解析 原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根 令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2 补充：不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?它的操作程序如下：1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2. 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.3. 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,例9：(2005年春考，北京卷，理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 分析及解：第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）AB. C D求实数m的范围，使对任意恒有意义。专心-专注-专业
