新三第23讲-定义新运算(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上定义新运算古时候没有乘号，一天，一个数学家在计算2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2时，觉得算式太长、太烦琐了，心想：既然是9个2相加，就先写出一个相同加数“2”，再写出相同加数的个数“9”，然后在2和9之间加上一个符号。表示9个2相加用什么符号呢? 既然这个符号与加法有关系，不如就把“+”号倾斜45度，于是一种新的运算符号“×”就诞生了。所谓定义新运算，就是给出新定义的运算符号，规定新的运算顺序，按照新定义用新的运算方法进行运算的一种运算问题。解决这一类问题，关键有三点：第一是正确理解新运算的意义，第二是严格按照新运算的定义所指定的计算程序进行计算，不得随意改变运算顺序，有括号时，先计算括号内的部分；第三是许多新定义的运算里往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这条定律来解题。【例1】 定义a b = a × b + a b，例如1 2 = 1 × 2 + 1 2 = 1，2 3 = 2 × 3 + 2 3 = 5，那么5 8是多少?分析 根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。即学即练1（1）假若：a = a x（a + 1），a = a ×（a + 1）那么1 = _。（2）定义f（1）= 1，f（2） = 1 + 2 = 3，f（3）= 1 + 2 + 3 = 6，那么，（100）的结果是_。【例2】 设a b = a × a 2 × b，那么，（1）5 6 = ?（2）（5 2） 3 = ?分析 根据运算规则：（1）5 6 = 5 × 52 × 6 = 13；（2）括号里的5 2作为一个整体与3进行新的运算，所以应先算小括号里的。即学即练2（1）M * N表示（M + N）÷ 2，那么（2008 * 2010）* 2009 = _。（2）如果P、Q表示数，P Q = （P + Q）÷ 2，那么3 （ 6 8）等于多少?【例3】 如果4 2 = 14，5 3 = 22，3 5 = 4，7 18 = 31，求6 9的值。分析 分析可以发现， 的运算规则是：第一个数与它自己的乘积减去第二个数，如4 2 = 4 × 4 2 = 14；5 3 = 5 × 5 3 = 22；3 5 = 3 × 3 5 = 4；即学即练3（1）下两是一位同学的规定，你能看懂他的规定，并按规定计算吗? 如果2 4 = 8，5 3 = 13，3 5 = 11，9 6 = 24，那么6 3 = ?（2）如果3 * 2 = 3 + 33 = 36，2 * 3= 2 + 22 + 222 = 246，1 * 4 = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234，那么4 * 5等于多少?【例4】 规定：符号“§”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算：（2 § 9） 5 × 4§（8 6）。分析 根据运算规则有：（2 § 9） 5 × 4§（8 6） = 9 5 × 4 § 6 = 5 × 6 = 30。即学即练4（1）规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算：（2 & 9） 5 × 4 （8 & 6）。（2）规定运算“”为：若 a > b，则a b = a + b；若a = b，则a b = a b + 1；若a < b，则a b = a × b。那么，（2 3）+（4 4）+（7 5）的结果是多少?【例5】 规定：1 2 = 1 + 2 = 3，2 3 = 2 + 3 + 4 = 9，5 4 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26。如果a 15 = 165，那么a是多少?分析 a 15表示自a开始15个连续自然数之和为165，说明中间数（第8个）是165 ÷ 15 = 11，所以a = 11 8 + 1 = 4。即学即练5（1）规定：符号“”表示一种新的运算符号，已知：53 = 5 + 4 + 3；72 = 7 + 6；75 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3；按此规则，如果y6 = 75，那么y等于多少?（2）规定：符号“”表示一种新的运算符号，已知：4 3 = （4 + 5 + 6）÷ 3；7 2 =（7 + 8）÷ 2；3 5 =（3 + 4 + 5 + 6 + 7）÷ 5；按此规则，如果P 5 = 8，那么P等于多少?【例6】 有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A：将输入的数加上5；装置B：将输入的数除以2；装置C：将输入的数减去4；装置D：将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。（1）输入9，经过A·B·C·D，输出几?（2）经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几?分析 （1）由于装置A是将输入的数加上5，所以输入9，输出的却是14；将14输入装置8，因为14 ÷ 2 = 7，所以输出的是7；将7输入装置C，7 4 = 3，所以输出的是3；将3输入装置D，3 × 3 = 9，所以最后输出的是9。（2）用还原法按照C·A·D·3的顺序倒着想。输入装置C后得到100，也就是一个数减去4后得到100说明输入的数是104；同样地，输入A的数是104 5 = 99；输入D的数是99 ÷ 3 = 33；输入D的数是33 × 2 = 66。即学即练6 一个特殊的计算器上面有个“X#”键。当计算器上显示的数是a时，按一下“X#”键后，计算器上的a立即消失并显示一个新数：（2 × a + 1）的得数。当某人按了3次“X#”键后发现计算器上显示的是199。（1）最初计算器上显示的数是多少?（2）如果这个人接着按一次，计算器上显示的数又是多少?能力检测1如果A B = A × 2 B ÷ 2，试问：2 6和6 2各等于多少?2规定：P Q = P × Q + P + Q；P Q = P × Q P Q。计算：（3 5）等于多少? （5 3）等于多少?3规定：当a b时，a b= a × 2 + b；当a < b时，ab = a + b。试求：（1）38和31各等于多少?（2）（38）（31）等于多少?4规定AB =（A + 3）×（B2），那么1217的结果是多少?5规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，3 5 = 5，3 5 = 3。请计算下式：（7 3） 5 × 5 （3 7）6两个数之间写上一个“&”，用所连成的字串表示前面的数除以后面的数所得的余数，例如8 & 8 = 2；10 & 5 = 0。计算：24 &（11 & 6）。7如果3 2 = 3 + 33 = 36；2 3 = 2 + 22 + 222 = 246；1 4 = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234，则2 5 =?8设ab表示a与b的积减去a与b的差，即 ab = a × b（ab），试求84。9有一种运算“!”满足：4 ! = 4 × 3 × 2 × 1；5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1；6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1；请问：3 ! 等于多少？7 ! 等于多少？10将一个两位数的数字相乘，称为一次“操作”。如果积仍是一个两位数，重复以上操作，直到得到一个一位数。例如：“29 18 8（停止）”共经历两次操作。一个两位数经过三次如上操作，最终得到一位数，这个两位数最小是多少?11红光可乐推出新一代的可乐产品，为打开市场，进行一系列的促销活动。他们将“”和“”作为幸运符号。当它们和19这9个数字组合在一起，就可获得相应的奖金。例如45可获得奖金10元；67可获得奖金32元；37可获得奖金52元：45可获得奖金29元。某一天，乐乐买了一瓶可乐，瓶盖上出现的图案是“（99）9”。乐乐可得奖金多少元?12用n ! 表示从1开始的连续n个自然数的积：1 × 2 × 3 ×× n，如：3 ! = 1 × 2 × 34 ! = 1 × 2 × 3 × 4则5 ! = ?，50 ! ÷ 49 ! = ?13对运算和，规定a b = a × b + b，a b = a × ba，那么（2 3）（2 4）是多少?14“”表示一种新的运算符号，已知：2 3 = 2 + 3 + 4；7 2 = 7 + 8；35 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7； 按此规则，如果P8 = 68，那么P等于多少?15已知1 6 = 1×2×3×4×5×6，6 5 = 6×7×8×9×10，按此规定计算：（25）÷（34）。专心-专注-专业