无穷等比数列各项的和(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把的无穷等比数列的前n项的和，当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S表示，记作2. 无穷递缩等比数列的定义：把的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列本身是等比数列；(2)当时，数列单调递减，故称“递缩”；(3)当时，数列为无穷数列。强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q满足时，其前n项和的极限才存在；（当时，极限不存在；当时，不存在；当时，不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列的极限！(3)应用：化循环小数为分数。问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算分析：是无穷等比数列前n项和的极限，即等于+，可以利用无穷等比数列各项和的公式来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。解： = =例2. 无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。解：设首项为a，公比为则各项的立方和：二、无穷等比数列各项和的应用例3. 已知等比数列的首项为，公比为，且有， 求首项的取值范围。解： 一定存在。或 当时， 当时，由得， ，且 综上，得且或例4. 已知无穷等比数列各项和等于3，各项的平方组成的数列各项的和等于，求数列（即各项的立方组成的数列）各项的和。解：设数列的首项为，公比为，依题意， 可知，据题意，得 数列各项的和为点评：无穷等比数列各项的和是指前n项和的极限，当时，；当时，这一极限不存在，换言之，在无穷等比数列中是存在的充要条件，一定要特别注意公式的含义及适用范围，要注意S和S的区别与联系。例5. 化下列循环小数为分数： (1)；(2)3.4解(1) =0.29+0. 002 9+0. 00029+。 等式右边是首项为0. 29，公比是0. 01的无穷等比数列的各项的和， 所以 = (2) 3.4=3. 4+0. 031+0. 000 31+0. 000 003 1+， 等式右边是3. 4加上一个首项为0. 031，公比是0. 01的无穷等比数列的各项的和，所以 3.4= 循环小数化为分数的法则： (1)纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母上的数字都是9，9的个数是循环节上数字的位数； (2)混循环小数化分数：所得到分数的分母上的数字，前面都是9，后面是0，数字9的个数等于一个循环节上数字的位数，数字0的个数等于不循环数字的个数；所得到分数的分子上的数是一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差。例6. 如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形 A。B，C，D，；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A。B。C。D。；如此无限继续下去，求所有这些正方形周长的和与面积的和。分析：关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系。解：由题意得：第1个正方形的边长，第n个正方形的边长 ，即所有正方形的边长组成的数列为1，于是所有正方形的周长组成的数列4，2，4，这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为。所有正方形的面积组成的数列为1，这是首项为1、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和：知识内化 1. 把循环小数化为分数_。 2. 无穷等比数列1，的各项和等于_。 3. 在等比数列中，（为锐角），且前n项和满足，那么的取值范围_。 4. 若数列的通项公式是，前n项和为，的值为（ ） (A)0(B)(C)(D) 5. 如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长、面积分别为、。求(1)；(2) 能力迁移 数列的首项为，且对任意，与恰为方程的两根，其中，当，求c的取值范围。基本练习一、填空题1. 一个无穷等比数列的各项和为S，首项，公比q<0，则S的取值范围是_。 2. 已知无穷等比数列中，则_。 3. 若数列1，2cos，(2cos)，且，则_。 4. 计算 _。 5. 设等比数列的公比，且，则_。6. 若，则的值为_。7. 无穷等比数列的前以项和为，且，则=_。8. a，bR，且，则无穷数列：1，的和为_。9. 如图，一动点由原点出发，首先向右移动1个单位到达A(1，0)点，然后沿着原方向逆时针旋转90°的方向，移动个单位到达，若照此继续下去，每次都沿着逆时针方向旋转90°方向，移动上次所移动距离的一半，则动点移动的极限位置_。10. 正方形上连接等腰直角三角形，再连接正方形，无限重复同一过程，设正方形面积为S，S，S，三角形面积为T，T，T，当S的边长为2时，这些四边形与三角形的面积的总和是_。二、选择题11. 一个无穷等比数列的第一项是自然数，公比是一个自然数的倒数，此数列的各项之和是3，那么数列的前两项之和是( ) (A)(B)(C)2(D)12. 若数列的通项公式是，则等于( ) (A)(B)(C)(D)13. 数列中，则等于( ) (A)(B)(C)(D)14. 等腰三角形ABC中，是顶角，作一个以底角么B为顶角，以BC为腰的等腰三角形ABC，再作一个以为顶角，以BC为腰的等腰三角形ABC，如此下去，则=（ ） (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°三、解答题15. 无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。16. 设数列的首项，且记 (1)求； (2)判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (3)求。17. 在数列中，对非零自然数，是方程的两根，求的值。18. 如图，已知AOB中，OA，OB，(，是锐角)，作AB，；再作，；如此继续作下去，设ABB，ABB，的面积分别为S，S，求无穷数列S，S，所有各项的和。专心-专注-专业