人教2012版数学第二十七章相似第21讲相似三角形的综合应用(共11页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第21讲相似三角形的综合应用考点·方法·破译 能熟练运用三角形相似的判定定理证明三角形相似，并能把证角等、求边长、求比值、求面积等问题转化为相似问题； 能熟练运用相似的典型模型求解、证明； 能运用相似解决一些数学综合问题。经典·考题·赏析【例】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点时，发现身后他影自得顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,，则两路灯之间的距离是（）A24m B25m C28m D30m【解法指导】本题可利用平行比例求解解：设身高为h，由平行比例得=,设AP=BQ=x,则 = ,解得x=5，两路灯之间的距离AB20+5+5=30（m）.本题应选D【变式题组】1.如图（1）是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CD垂直BD，且测的AB1.2米，BP1.8米，PD12米，那么该古城墙的高度是（）A米B米C米D米【例】如图（），一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了个部分.、这三块的面积比依次为：，那么，、这两块的面积比是（）A3：4 B9：14 C4：5 D9：16【解法指导】本题首先要找出的直角边、的宽与正方形边长的关系。根据相似，先找出正方形边长与的直角边的关系，最后以的直角边为单位量，表示出正方形边长、的直角边、的宽，即可求解。解法：设的直角边为k，可判定,相似。由相似性质得直角边为2k。再设正方形的边长为x，可列方程为3k·x=42·（k·k÷2），解得x=7k。所以的宽为4k，的直角边为6k，则,这两块的面积比是9：14，选B.【变式题组】2如图G是ABC的重心（三边中线的交点），直线l过点与平行，若直线G分别与AB、l交与D、E两点，直线BG与AC交与F点，则AED面积：四边形ADGF的面积为（）A：B：C：D：3.如图，点A1，A，A，A在射线OA上，点B，B，B，在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3,A2B1A3B2A4B3.若A2B1B2,A3B2B3的面积分别为，则图中三个阴影三角形面积之和为4.图为ABC与DEC重迭的情形，其中在BC上，AC交DE与F点，且ABDE，若ABC与DEC的面积相等，且EF，AB，则DF（ ）【例】已知四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE·AC，BD=8,求ABD的面积。【解法指导】由题设得AB2=AE·AC，AB：AC=AE：AB,又EAB=BAC，ABEACB，ABE=ACB,从而AB=AD，连接AO交BD于F，则BF=DF=1，连接OB，由勾股定理得AF=OAOF=2，故S=BD·AF=8，【变式题组】5.如图，若PA=PB，APB=2ACB,AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3,则AD×DC等于（ ）A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 6.如图，在ABC中，D是边AC上一点，下面种情况中，ABDACB不一定成立的情况是（）A. AD·BC=AB·BD B.AB2=AD·AC C.ABD=ACB D.AB·BC=AC·BD【例3】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P，求证:DPPQ【解法指导】根据条件BPHC，只要证明DPC=BPQ即可，但本题从边角代换证角等无处下手，可考虑用相似证明。解：BPHCBPH=CPB=90°,PCB+PBC=HBP+PBC=90°,HBP=BCP,HBPBCP,BP：CP=HB：HC,又BH=BQ,BC=CDBP：CP=BQ：CD,ABCD,DCP=BHP又BHP=QBP,DCP=QBP,DCPQBP,DPC=BPQ,又BPQ+CPQ=90°DPC+CPQ=90°,即DPPQ【变式题组】7.如图，等边ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若APD=60°，则CD的长为（ ）A. B. C. D. 8.已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5,EF=2，则FG的长是【例】在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60°，点E、F分别在线段AD，DC上（点E与点A、D不重合），且BEF=120°，设AE=x，DF=y.（）求y与x的函数表达式；（）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【解法指导】本题是“直线上架直角”相似模型的变式探究。解：（）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60°，AD120°，AEBABE180°120°=60°，BEF=120°,AEBDEF180°120°60°ABEDEF。ABEDEF。 = AE=x,DF=y,=,y与x的函数表达式是y=·x·（6-x）=x2+x;（2）y=x2+x=（x-3）2+,当x=3时,P有最大值，最大值为【变式题组】9.阅读理解：如图，在直角梯形ABCD中， ABCD,900, 点P在边BC上，当APD=90°时，易证ABPPCD，从而得到BP·PC=AB·CD，解答下列问题：（）模型探究：如图，在四边形ABCD中，点P在上，当B=C=APD时,求证BP·PC=AB·CD（）拓展应用：如图，在四边形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6,B=C=600，AOBC与于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）当APD=600时，求点P的坐标；过点P作PEPD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.演练巩固·反馈提高1.如图，已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OCOD）量零件的内孔直径AB，若OC:OA=1:2，量得CD=10mm,则零件的厚度x= mm2.如图，在正三角形ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点，DEAC,EFAB,FDBC,则DEF的面积与ABC的面积之比等于（）A. 1:3 B. 2:3 C. :2 D.:33.如图，在梯形ABCD中，ABDC，D=900，AD=DC=4，AB=1,F为AD的中点，则点F到BC的距离是（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 4.如图，RtABC中，ABAC，AB=3，AC=4，P是BC边上的一点，作PEAB于E，PDAC于D，设BP=x，则PD+PE=（ ）A. +3 B.4 C. D. -5.如图，直线AB经过O上的点C，且OAOB，CACB，O交直线AB于点E、D，连接EC、CD（）求证：直线AB是O的切线（）试猜想BC、BD、BE三者之间的等量关系，并加以证明；（）若O半径为，求OA的长6.如图在平面直角坐标系中，直线y=x-12分别交x轴，y轴于，两点，点在x轴上，且ABCAOB（）求点C的坐标（）若点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ，设APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（）在（）的条件下，是否存在t的值，使以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。培优升级·奥赛检测1如图，ABC为等腰直角三角形，C=90°,若AD=AC，CE=BC，则1与2的大小关系是（）A.12 B.12 C.1=2 D.无法确定2如图，在ABC中，BAC=90°，D是BC中点，AE交CB延长线于点E，则结论正确的是（）A.AEDACD B.AEBACD C.BAEACE D.AECDAC3如图ABC中,ABC=60°，点P是ABC内一点，使得APB=BPC=CPA，且PA=8，PC=6，则PB=4如图，ABC和A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：AA1CC15如图，设P是等边ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP·PC=BM·CN6.如图，在RtABC中,ACB=90°，CD是角平分线，DEBC交AC于点E,DFAC交BC于点F，求证：（1）四边形CEDF是正方形；（2）CD2=2AE·BF7.如图，AB是O的直径，AB=d，过A作O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC交O于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。8如图，在O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交O于点E，DE与BC交于点N，求证：BN=CN专心-专注-专业