二项式定理学案及课后作业答案(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第3讲二项式定理知 识 梳 理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，C2.二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.辨 析 感 悟1二项式定理的理解(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项(×)(2)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项(×)(3)(教材习题改编)在6的二项展开式中，常数项为160.()2二项式系数的性质(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.(×)(6)(2013·安徽卷改编)若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a.()感悟·提升1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr1Canrbr是展开式的第r1项，不是第r项，如(1)2二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr1Canrbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.考点一通项公式及其应用【例1】 (1)(2013·浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.(2)(2013·新课标全国卷改编)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于_解析(1)Tr1C()5rrC(1)rx，令r0，得r3，AC10.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5，又(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx，T3Cx2.展开式中x2的系数为Ca·C5，a1.答案(1)10(2)1规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解【训练1】 (1)(2013·大纲全国卷改编)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_(2)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_解析(1)(1x)8的通项为Cxk，(1y)4的通项为Cyt，(1x)8(1y)4的通项为CCxkyt，令k2，t2，得x2y2的系数为CC168.(2)6展开式的通项Tr1(a)rCx6r，A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a±2.又a>0，所以a2.答案(1)168(2)2学生用书第161页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)(2014·青岛模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是_(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_审题路线(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解(2)根据二项式系数性质，由CC，确定n的值，求出的系数解析(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为T4Cx320x3.(2)由题意知，CC，n8.Tr1C·x8r·rC·x82r，当82r2时，r5，的系数为CC56.答案(1)20x3(2)56规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为CC，而求错n的值(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，1.【训练2】 (1)二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_(2)若(12x)2014a0a1xa2x2a2014x2014(xR)，则的值为_解析(1)由二项式系数的性质，得n10，Tr1C()10rr2rC·x5r，令5r0，则r2，从而T34C180.(2)令x0，得a0(10)20131.令x，则a00，1.答案(1)180(2)1考点三二项式定理的应用【例3】 (2012·湖北卷改编)设aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，则a_.解析512 012a(521)2 012aC·522 012C·522 011C×52·(1)2 011C·(1)2 012a，C·522 012C·522 011C×52·(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C·(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.答案12规律方法 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，acrb，其中余数b0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用【训练3】 190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是_解析190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.答案11二项展开式的通项Tk1Cankbk是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法3二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系 创新突破9二项式的和与积问题【典例】 (2014·济南质检)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为_突破：展开式的常数项来源于：“x”中的x与5展开式中含的项相乘；与5展开式中含x的项相乘解析在5中，令x1，得(1a)(21)51a2，a1.5展开式的通项Tr1C(2x)5rrC·25r(1)r·x52r.令52r1，得2r4，即r2，因此5展开式中x的系数为C252·(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此5展开式中的系数为C253·(1)340.5展开式中常数项为804040.答案40反思感悟 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解【自主体验】(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为_解析(12x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(x)1C(2x)1·C14(x)0，其系数为C·C(1)C·2462.答案2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014·西安调研)若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab_.解析(1)41C·C·()2C()3()42816，由题设a28，b16，故ab44.答案442(2013·辽宁卷改编)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为_解析Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，当Tr1是常数项时，nr0，当r2，n5时成立答案53已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是_解析由题意知C·(a)41 120，解得a±2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案1或384已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是_解析由二项式定理知anC(n1,2,3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项a6C，则k的最大值为6.答案65若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，则实数m的值为_解析令x0，得a0(10)61，令x1，得(1m)6a0a1a2a6，又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.答案1或36(2013·四川卷)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析Tr1Cx5ryr(r0,1,2,3,4,5)，依题意，r3，含x2y3的系数为C10.答案107(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a_.解析(ax)4的展开式中的通项Tr1Ca4rxr，当r3时，有C·a8，所以a2.答案28设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中含x的项为_解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案150x二、解答题9已知二项式()n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意得CCCC256，2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为Tr1C()8r·rC·x，令0，得r2，此时，常数项为T3C28.10若(2xx2)3的展开式中的常数项为a，求(3x21)dx.解31，(2xx2)3的展开式中的常数项为a2×11×(3)1×32.因此(3x21)dx(x3x)(x3x)6.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013·陕西卷)设函数f(x)则当x>0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为_解析当x>0时，f(x)<0，所以ff(x)f()6，Tr1Cx(6r)·(x)r(1)rCx3，由r30，得r3.所以ff(x)表达式的展开式中常数项为(1)3C20.答案202若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)r·(1)5r，T4C·(1)2(1x)310(1x)3，a310.答案103若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.解析令x1，则a0a1a2a1236，令x1，则a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，则a01，a2a4a121364.答案364二、解答题4已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值解5展开式的通项为Tr1C5r·r5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C×16.又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n16，n4.(a21)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)254，解得a.方法强化练计数原理(对应学生用书P359)(建议用时：60分钟)一、填空题1A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有_解析可先排C，D，E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A60种答案60种2(2014·重庆质检)(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于_解析(13x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C·35C·36，解得n7.答案73(2014·济南调研)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有_解析由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成3×3×218个不同的四位数答案18个4组合式C2C4C8C(2)nC的值等于_解析在(1x)nCCxCx2Cxn中，令x2，得原式(12)n(1)n.答案(1)n5若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为_解析由题意知C15，所以n6，则n6，令x1得所有项系数之和为6.答案6(2014·杭州检测)甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有_解析甲、乙各选两个景点有CC9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种满足条件要求的选法共有936(种)答案6种7若(x1)8a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，则a6_.解析(x1)8(x1)28a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，a6C(2)24C112.答案1128(2014·长沙模拟)已知x，y满足(xZ，yZ)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为_解析如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有C56种取法其中三点共线的有1C11(种)故可作不同的圆的个数为45.答案459(2014·广州调研)已知a2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为_解析a2cosdx2sin2，则55，Tr1Cx2(5r)r(2)rCx103r.令103r1，得r3.展开式中x的系数为(2)3C80.答案8010(2014·衡水中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_解析先将3,5排列，有A种排法；再将4,6插空排列，有2A种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C种排法由分步乘法计数原理知，共有A·2A·C40种答案4011.n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于_解析依题意，令x1，有3n729，则n6，展开式第4项的二项式系数最大，则T4C(2x)33160x2.答案160x212(2014·郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种解析甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法将丙、丁插在3个空档中有A种方法由分步计数原理，共有AAA24种排法答案2413(2013·新课标全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.解析由二项式系数的性质，得aC，bCC，又13a7b，因此13C7C，解得m6.答案614甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有ACCCC210126336(种)答案33615(2014·无锡质检)(x22)5的展开式的常数项是_解析二项式5展开式的通项为：Tr1C5r·(1)rC·x2r10·(1)r.当2r102，即r4时，有x2·Cx2·(1)4C×(1)45；当2r100，即r5时，有2·Cx0·(1)52.展开式中的常数项为523.答案316将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有_解析将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有×15×645种分组方法将四组分赴四个不同场馆有A种方法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A1 080种方法答案1 080二、解答题17已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C·2·210·x1016 896x10.18(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A24种(2)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C×242种；若分配到3所学校有C35种共有7423584种方法法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C84种不同方法所以名额分配的方法共有84种.专心-专注-专业