5年高考题-3年模拟题-分类汇编--空间向量在立体几何中的应用部分(共37页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第三节 空间向量在立体几何中的应用一、 填空题1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_ 2在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_。【解析】设由可得故【答案】(0,-1，0) 二、解答题3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III）又由题设，平面的一个法向量为 4（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面6.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)=· 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos· 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分7.（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.8.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。19（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 （）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 设B(0,2, )，0，则2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取点G，设G（），使GECD .由故 又点G在直线CD上，即，由=（），则有联立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 .作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.10.（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB/DC，BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC=3，ED=，求： （）直线AB到平面EFCD的距离： （）二面角F-AD-E的平面角的正切值，18.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I） 证明平面平面（II） 求直线和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n·)=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。11.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0)易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则 解得故可取n=（,0,-3，）于是 = 由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为12（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45°,所以AFE= 90°.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,于是·=·=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM平面BCE. 8分()设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。故二面角FBDA的大小为arccos。12分14.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 简答：第一部分 五年高考荟萃2009年高考题20052008年高考题解答题1. ABCDEA1B1C1D1（2008全国19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小以为坐标原点，射线为轴的正半轴，ABCDEA1B1C1D1yxz建立如图所示直角坐标系依题设，（）证明 因为，故，又，所以平面（）解 设向量是平面的法向量，则，故，令，则，等于二面角的平面角， 所以二面角的大小为2. （2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)证明 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)解 设与所成的角为, , 与所成角的大小为.(3)解 设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）证明 因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB. ()解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（）证明 在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.()解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，()解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.5. （2007福建理18）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；（）证明 取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面（）解 设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）解 由（），为平面法向量，点到平面的距离6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角.解 ()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450.()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，.设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为7.（2005江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）证明 （2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）解 设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.第二部分 三年联考汇编2009年联考题解答题1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中 （1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距离以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）证明 设E是BD的中点，PABCD是正四棱锥， 又， ， 即。（2）解 设平面PAD的法向量是， 取得，又平面的法向量是 ， 。MPDCBA（3）解 到平面PAD的距离。2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M为BC的中点()证明：AMPM ；()求二面角PAMD的大小；zyxMPDCBÁ()求点D到平面AMP的距离。() 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得 即,AMPM . ()解 设，且平面PAM，则 即 ， 取，得 取，显然平面ABCD， 结合图形可知，二面角PAMD为45°； () 设点D到平面PAM的距离为，由()可知与平面PAM垂直，则=即点D到平面PAM的距离为 3.(厦门市第二外国语学校20082009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，HDA=ABCDxyzH（）求DH与所成角的大小；（）求DH与平面所成角的大小解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系设则，连结，设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即DH与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得DH与平面所成的角为ACDOBEyzx4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离 证明 连结OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则， 异面直线AB与CD所成角的余弦值为解 设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离ABCDEF5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，.  (1) 证明 ， ，平面，平面.  (2) 证明 ， ，. 平面，又平面，平面平面.  (3) 解 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知等腰直角三角形，其中=90º，点A、D分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值（1）证明 点A、D分别是、的中点，. =90º. , ,平面. 平面,. （2）解 建立如图所示的空间直角坐标系则（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）.=（1，1，0），=（1，0，1）, 设平面的法向量为=（x，y，z），则：， 令，得，=（1，1，1）.显然，是平面的一个法向量，=（） cos<，>= 二面角的平面角的余弦值是. 9月份更新1. 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M 弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5 MN的最小值为l，其中真命题的个数为 A1个 B2个 C3个 D4个答案 C2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A.B.C.D.答案 C3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ACBDP答案 .4.如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解法一：（）取中点，连结，ACBEP，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，ACBDPH是二面角的平面角在中，二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离ACBPzxyHE由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为点到平面的距离为5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（4分）；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（4分）；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，所以，故，共面又它们有公共点，所以四点共面（2）如图，设，则，而，由题设得，得因为，有，又，所以，从而，故平面（3）设向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）于是故20072008年联考题1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点,又知. ()求证：平面； ()求到平面的距离； ()求二面角的大小.()证明 如图,取的中点,则,又平面,以为轴建立空间坐标系,则,由,知,又,从而平面. ()解 由,得.设平面的法向量为,设,则点到平面的距离. ()解 设面的法向量为,设,则,故,根据法向量的方向可知二面角的大小为.2. (山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 （1）求证：； （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）； （3）求点到平面的距离.（1）证明 建立如图所示， ， 即AEA1D， AEBD ， AE面A1BD（2）解 设面DA1B的法向量为由 ， 取设面AA1B的法向量为 ， 由图可知二面角DBA1A为锐角，它的大小为arcos .（3）解 ，平面A1BD的法向量取,则B1到平面A1BD的距离d= .3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的大小。（I）证明 如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）解 由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。（III）解 再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135°.（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz由平面几何知识知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)·0，AF与BG所成角为 . (2) 可证明AD平面APB，平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 Þ 故m(1,1,2)cos<m,n>平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°.( 1 )求二面角A-BD-C的大小；（2）求点C到平面ABD的距离.解 （1）如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 又平面的一个法向量 结合图形可知，二面角的大小为 （）由（）知DA1D1C1B1E1BACPO点到平面的距离6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （）求证：平面；（）当时，求直线与平面所成角的大小； zxyDA1D1C1B1E1BACPO() 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? 以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、 ()证明 由上得、，设得解得， ， 平面 _（）解 当时，由、得、设平面的法向量为，则由，得， ，直线与平面所成角的大小为.() 解 由()知的重心为，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得当时，在平面内的射影恰好为的重心. 7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB等边三角形. （1）求二面角BACP的大小；（2）求点A到平面PCD的距离.解 （1）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）设为平面PAC的一个法向量，则又令z=1，得得又是平面ABC的一个法向量，设二面角BACP的大小为，则（2）设为平面PCD的一个法向量.则 由D（1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2.得，设点A到平面PCD的距离为d，则点A到平面PCD的距离为8. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，在正四棱锥中，,点在棱上 ()问点在何处时，并加以证明；()当时,求点到平面的距离；()求二面角的大小.解 ()当E为PC中点时，连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为中点，OE为ACP的中位线，又，.()作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.则, , ， ， ，设面的法向量为 , 点到平面的距离为. ()设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, . 9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . .，. （）证明 . 又. （）解 作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. 在中， ， 从而， 即二面角的大小是. （）解，EO1OD1C1B1DCBAA1 异面直线和所成角的大小为arccos.10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60°的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求二面角O1BCD的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离.解 (1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，DAB=60°的菱形，OA=2，OB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则，则z=2，则x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）cos<，>=，设O1BCD的平面角为， cos=60°.故二面角O1BCD为60°. （2）设点E到平面O1BC的距离为d， E是O1A的中点，=（，0，），则d=，点E到面O1BC的距离等于.专心-专注-专业