中国矿业大学(徐州)0401级数学分析(1)期末试题A与答案(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上中国矿业大学理学院2004级课程考试试卷 2005.01.19.一、叙述题(每题5分共20分)1叙述函数在区间上有界、无界的定义，以及函数在区间上的上确界和下确界的定义。(答案略,见教材)2 叙述极限存在的Cauchy准则，再据此叙述不存在的充要条件。(答案略,见教材)3叙述在区间上一致连续和不一致连续的定义。(答案略,见教材)4用“”语言叙述函数在区间上Riemann可积的定义。(答案略,见教材)二、计算题（每题8分共40分）1 设，求极限【解】取满足，由知，当时，有从而上式两边取极限并利用结论(为常数)和迫敛性得2设，求使在点可导。【解】首先要在点连续知, （*）下面可用导数极限定理或定义来做。用导数极限定理来做：，从而，要可导即要求得再由（*）式得用定义来做：（也可用洛必达法则求导得）其它同上3求【解】上一步用LHospital法则和Taylor展开都可以做用LHospital法则: 用Taylor展开: 4 求【解】(下面用到等价无穷小和LHospital法则等)5 求【解】从而三、证明题（每题10分共40分）1设函数在点存在左右导数，试证在点连续。【证】由存在知，从而，即在左连续。同理由存在，知在右连续。综上,在处连续注以上也可用增量公式写2证明：当时，【证】对在用L-中值定理,，3 设为上的非负可积函数，在连续且，证明：。【证】不妨假设。由连续函数的性质，存在，当时，有从而 4. 设是上的连续增函数，试证明也是上的增函数。【证】当时，由（以上用到了积分中值定理）知在上增，又(这里用了洛必达法则)知在点连续，从而在上增。=以下是备用题求【解】而求【解】当时，当时，由的连续性可得，这样（为任意常数）求（）【解】当时，显然原式当时，原式综上设在上可导，且证明，使。【证】令，则。由积分中值定理，存在使再由条件知。对在上用Rolle中值定理得：使：设是区间上的凸函数，证明在的任一内点（非区间端点）上连续。【证】（I）首先证明对任意固定的弦斜率函数是增函数。这一点由凸函数的充要条件：对上任意三点有易知。(II) 其次证明对的任一内点，和都存在。当时，由是增函数且有界（这里任取固定），由单调有界定理，得存在。同理存在。(III)最后证明在的任一内点上连续。由存在，即，即得在左连续。同理由存在，得在右连续。因此在处连续设在点二阶可导，证明【证】不【或】把和Taylor展开然后再相加设在内连续，在内可导，如果存在，则必存在且专心-专注-专业