导数极难压轴题解法罗比达法则(共5页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上导数极难压轴题解法：罗比达法则应用 (2010年全国新课标理)设函数。若，求的单调区间；若当时，求的取值范围原解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故综上，知a的取值范围为。(2011年高考新课标数学理科22)已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，求k的取值范围解（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，（由（）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，h（x）递减。而故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0解法：（2）由（1）知故要证： 只需证为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：当x>1时，需证即 即需证 （1） 设，则由x>1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立同理0<x<1时，需证 （2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以 当0<x<1时 g（x）<0 即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算罗比达法则方法原解：略 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g (x)= (),则，再令()，则，易知在上为增函数，且；故当时，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数 =0当时，当x（1，+）时，当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。(2012)郑州第一次质量检测21.解：（I）当p =1时，其定义域为.所以.2分由得，所以的单调增区间为；单调减区间为.5分（II）由函数,得.由（I）知，当p =1时，即不等式成立. 7分 当时，即g(x)在上单调递减，从而满足题意； 9分 当时，存在使得，从而，即g(x)在上单调递增，从而存在使得不满足题意；当时，由知恒成立，此时不满足题意.综上所述，实数p的取值范围为. 12分解法二:二次求导分离变量型由函数,得.由（I）知，当p =1时，即不等式成立. 因而，要使g(x）0成立，只需，分离变量，再二次求导，即可得。解法三：直接分离变量，然后罗比达法则求出最值即可设函数f(x)=ln(x1)+2a/x (aR)(1) 求函数f(x)的单调区间。（2）如果当，恒成立，则求实数a的取值范围。解：（1），对分子讨论，当，即，在（1，+）上增函数。 当a0,对称轴x=a0,f(1)=1>0,增函数。 当a>2时，在（1,x1）是增函数，在（x1,x2）是减函数，在（x2,+）是增函数可得结论：当（2）方法一：利用第一问结论构造函数。转化为，令h(x)=f(x)-a,利用第一问结论可知a2时，h(x)在（1，+）是增函数，因为1<x<2,h(x)<h(2)=0,所以原式成立。当x>2时，h(x)>h（2）=0成立，所以当a2时，原式成立。当a>2时，因为f（x）在（x1,2）是减函数，所以，h(x)在（x1,2）是减函数，所以当x1<x<2时，h(x)>h(2)=0不成立。综上可知，a的取值范围是（，2.方法二：分离变量，罗比达法则a<,=（去掉分子中的分母）=；令分子为h(x)=(2-2x)ln(x-1)+x2-2x.二次取导。令R(x)=.则。R(x)在（1,2）负，在（2，+无穷）上正；所以，h(x)在（1,2）减，在（2，+无穷）上增，且h(2)=0，所以h(x)>0g(x)>0，而g(2)=0.可知，g(x)在（1,2）是减函数，在（2，+无穷）上是增函数，所以，g(x)min>g(2),此处开始罗比达法则，可得最后结果。（2012年河南省六市高中毕业班第一次联合考试数学理科）已知函数f(x)=x(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1） 求实数a的值；（2）若x>1，mlnx>成立，求正实数m的取值范围。解法:（一）常规讨论二次取导法（1）f（x）=1-（1+a）/x , 有导数=0可知a=0. (2)当x>1时，去分母。，进入讨论若m>1,则导函数分子大于零，所以原函数是增函数，g(x)>g(1)=0,显然成立。若m<1,二次取导，令，此时，当m1/2 时，导函数大于零，这样h(x)为增，则0,所以g(x)0,成立，而m1/2时，二次取导，导函数mlnx+2m1=0,解得x=此时在（1，）为减函数。可推得，g(x)先减再增，但是g(1)=0,这样与题设矛盾。（二）罗比达法则分离变量=g（x）=令h(x)=令则，令M（x）=r(x)，<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)<g(1),而g(1)不存在，对g(x)在x=1处用罗比达法则，则m1/2.已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线为y=g(x).(1) 证明：对于，f(x)g(x);(2) 当x0时，f(x) 1+,恒成立，求实数a的取值范围。解答：方法一常规讨论二次取导法去分母，移项，证明h(x)= 0(h（0）=0)取导=，二次取导恒成立。所以，在（0，+）为增函数。而=1-a.当1-a0,即a1时候，0，则原函数为增函数，h(x) h(0) 0,显然成立。当1-a0,即a1时，因为=1-a0，此时，=0有解，记为x1,所以，在区间0,x1中，h(x) 0,显然不成立。所以，a1方法二：罗比达法则分离变量分离变量：a=h(x),去导数，=（x>0），分子r(x)=,(x0, )，扩展定义域，求导0，可知，r(x)为定义域内增函数，而r（x）r(0)=0.所以0.为增函数。则ah(0)-不存在，罗比达法则可得为1专心-专注-专业
