直线与双曲线的位置关系（文）基础(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2.6直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】双曲线双曲线的定义与标准方程双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点 轴实轴长=，虚轴长= 离心率渐近线方程要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质（3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆共焦点，且过点(2，)的双曲线；(2)与双曲线有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线【解析】(1)椭圆的焦点为(0，±3)，所求双曲线方程设为：，又点(2，)在双曲线上，解得a25或a218(舍去)所求双曲线方程为.(2)双曲线的焦点为(±2，0)，设所求双曲线方程为：，又点(3，2)在双曲线上，解得a212或30(舍去)，所求双曲线方程为.【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。举一反三：【变式1】（2015 安徽卷）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】 C【解析】由题意：选项中A，B焦点在x轴，排除C项的渐近线方程为，即y±2x，故选C.【变式2】（2015 上海）已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 .【答案】；【解析】设点和的坐标为、，则有又因为的渐近线方程为，故设的方程为，把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即。故答案为。类型二：直线与双曲线的位置关系例2已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1k2)·x2+2k2xk24=0 (1)当1k2=0即k=±1时，方程可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当1k20时，即k±1，此时有=4·(43k2)若43k2>0(k21)，则k，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若43k2=0(k21)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若43k2<0且k21则k，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；当k时，直线与双曲线有两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点.【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l与双曲线=1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )A. B.C. D.【答案】B【变式2】直线y=x+3与曲线x·|x|+y2=1的交点个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.举一反三：【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y=kx+m(m0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。【答案】（1）（2）类型三：双曲线的弦例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.解：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，.（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或.方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：【变式】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程【答案】类型四：双曲线的综合问题例5.设双曲线C：(a>0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围【解析】由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0<a<，且a1.双曲线的离心率e，因为0<a<且a1.所以e>，且e.即离心率e的取值范围为(，)【总结升华】求离心率的范围应以双曲线几何量的限制为准，构建关于a，b，c的不等关系，从前求出离心率的范围.举一反三：【变式】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2bxc0无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A1<e<2 B1<e<2C1<e<3 D1<e<2【答案】D例6.设P是双曲线x21的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|PF|的最小值为_【答案】2【解析】设双曲线的另一个焦点为F，则有F(2，0)，F(2,0)，连结AF交双曲线的右支于点P1，连结P1F，则|P1F|P1F|2a2.于是(|PA|PF|)min|P1A|P1F|P1A|(|P1F|2)|AF|22.【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据举一反三：【变式1】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标.【答案】P点的坐标为【变式2】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.【答案】直线方程；双曲线方程【巩固练习】一、 选择题1双曲线的渐近线方程是( )A B C D2椭圆与双曲线有相同的焦点，则m的值是()A±1 B1 C1 D不存在3（2015 新课标文改编）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 4双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A B4 C4 D. 5. (2015 唐山二模)在中，AB=2BC，以A,B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为，则（ ）A. B. C. D. 6(2015 湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（） A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2 D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2二、填空题7已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_8过点P(3,0)的直线l与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线l共有_条9已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为_10设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是_三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率，求双曲线的标准方程及其渐近线12设双曲线C：相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围：13设双曲线=1（0<a<b）的半焦距为c，直线过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.14.两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.15. 如图所示，已知F1，F2为双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230°，求双曲线的渐近线方程【答案与解析】1.【答案】：C【解析】：将双曲线化为，以0代替1，得，即；即 ，故选C2.【答案】：A【解析】：验证法：当m±1时，m21，对椭圆来说，a24，b21，c23.对双曲线来说，a21，b22，c23，故当m±1时，它们有相同的焦点直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2m22.m21，即m±1.3【答案】：A【解析】：根据双曲线渐近方程为，可设双曲线的方程为，把代入得m=1.所以双曲线的方程为，故选A。4. 【答案】：A【解析】：双曲线mx2y21的方程可化为：y21，a21，b2，由2b4a，24，m.5. 【答案】：A【解析】以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（-1,0），B（1,0），C（），所以对于椭圆而言，2C=2，2a=AC+BC=所以对于双曲线而言，2c=2,2a=AC-BC=所以故故选：A。6. 【答案】：D【解析】 依题意，因为，由于m0，a0，b0，所以当ab时，所以e1e2；当ab时，而，所以，所以e1e2.所以当ab时，e1e2；当ab时，e1e2.故选D.7【答案】：【解析】：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.8【答案】：3【解析】：已知双曲线方程为，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)9. 【答案】：【解析】：由|PF1|PF2|2a及|PF1|4|PF2|得：|PF2|，又|PF2ca，所以ca，c，e，即e的最大值为.10【答案】：【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y04.代入双曲线方程得，所以，故|PO|.11. 解析：由条件知焦点在y轴上，；可求；所以双曲线的方程为渐近线方程为12.解析：由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率13【解析】：由已知，的方程为ay+bx-ab=0, 原点到的距离为，则有, 又c2=a2+b2, ，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，e2=4或. 0<a<b, ,得,e2=4，故e=2.14解析：证明：双曲线的离心率；双曲线的离心率.15. 【解析】：在RtF1F2P中，PF1F230°，|PF1|2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a.|F1F2|PF2|，即2c2a，c23a2.又c2a2b2，2a2b2.故所求双曲线的渐近线方程为y±x.专心-专注-专业