空间向量及其运算(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学过程：一.问题情境 由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题: 已知物体受三个大小都为1000N的力F1 ，F2，F3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为+?F1F2F3 此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广!二.数学理论 1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量； 方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作a 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：ab，0a 由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中(2)空间向量的有关概念： 在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量. 空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中， 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量； 方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作a 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：ab，0a 2.平面向量与空间向量的线性运算 我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关.所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内 因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样. 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作a，b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.baBAO 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OBbaCAabababOABabaAObBabaaOP ab（三角形法则） ab（平行四边形法则） ab a(R) 平面向量的线性运算满足下列运算律运算律：加法交换律：abba 加法结合律：(ab)ca(bc) 数乘分配律：(ab)ab(R)那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题?OABCabcababcbc 结合律的验证： 三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a0)，ab的充要条件是存在实数，使ba.三.数学运用A1B1C1BCAM例1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1);(2);(3)解：(1)(2)因为M是BB1的中点,所以，又，所以.(3).例2.如图，在长方体OADB-CADB中，OA3,OB4,OC2,OIOJOK1,，点E,F分别是DB,DB的中点，设i, j, k, ,试用向量i , j , k表示和.D/OA/ADEBFCB/解：33i，i.又44j,i4j.2k，i4j2k.ABCDABCD例3.已知平行六面体ABCD-ABCD.求证：2.证明：平行六面体的六个面均为平行四边形，()()+()2().又，2.【课堂练习】 已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)； (2)()； (3)()四、回顾总结 空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标： 1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理； 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学重点、难点： 空间向量共面定理的证明及其应用教学过程：一.知识回顾 复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 问题:空间中两个向量是否共面?空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b与向量a(a0)共线的充要条件是存在实数，使得ba.那么，空间的任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时，它们之间存在怎样的关系呢？三.数学理论 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使pxayb .证明：（必要性）向量a,b不共线，当p与向量a,b共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x,y)，使得pxayb（充分性）对于空间的三个向量p,a,b，其中a,b不共线，如果存在有序实数组(x,y)，使pxayb，那么在空间任意取一点M，作a, b, xa,过点A作yb,（如图），则 xayb p,，于是点P在平面MAB内，从而,共面，即向量p与向量a,b共面这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示四数学运用例1如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BMBD，ANAE求证：MN平面CDE分析：要证明MN平面CDE，只要证明向量可以用平面CDE内的两个不共线的向量和线性表示证明：如图，因为M在BD上，且BMBD，所以同理，又，所以()()又与不共线，根据共面向量定理，可知,共面由于MN不在平面CDE内，所以MN平面CDE例2设空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系xyz（其中xyz1），试问：P, A,B,C四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P, A,B,C是否共面，可考察三个共起点的向量，是否共面解：由xyz1，可得x1z y则(1z y)yzy()z()，所以y()z()，即yz.由A,B,C三点不共线，可知和不共线，所以，共面且具有公共起点A从而P, A,B,C四点共面思考：如果将xyz1整体代入，由(xyz) xyz出发，你能得到什么结论？例3从ABCD所在平面外一点O作向量k,k,k,k,（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC平面EG解：（1）四边形ABCD是平行四边形，kkk ()kk()k()，,共面且共起点，E,F,G,H四点共面（2）k()k，平面AC，同理平面AC，又E，平面AC平面EG练习：已知两个非零向量e1, e2不共线，如果e1 e2, 2 e18 e2, 3 e13 e2.求证：A,B,C,D四点共面五回顾小结1共面向量定理的证明；2共面向量定理的简单运用六布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一 的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论教学过程：一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a0)，ab的充要条件是存在实数，使ba.e2e1a平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a= xe1+ ye2 .二.问题情境 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示对于空间向量是否有相应的结论呢？三.数学理论空间向量基本定理：如果三个向量 e1, e2 , e3不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使px e1y e2ze3.证明：（存在性）设e1, e2 , e3不共面过点O作e1, e2, e3, p,，过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P，在平面OAB内，过点P作直线PAOB, PBOA,分别与直线OA,OB相交于点A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使xxe1，yye2，zze3，xyzxe1ye2ze3（惟一性）假设还存在x,y,z使px e1y e2ze3，那么xe1ye2ze3x e1y e2ze3(xx)e1(yy)e2(zz)e30不妨设xx即xx0，e1 e2 e3,e1, e2 , e3共面此与已知矛盾，有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1, e2 , e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2 , e3线性表示，我们把 e1, e2 , e3叫做空间的一个基底，e1, e2 , e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i,j,k表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使xyz.四.数学运用 例1 如图，在正方体OADB-CADB中，点E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点，试分别用向量,表示和.OA/CMED/B/ADB解：,.由OMEDMC,可得OMMDOD,. 例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量.G 解：()()(),.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算教学过程一.知识回顾 复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若pxiyj（i，j分别是x，y轴上同方向的两个单位向量），则p的坐标为(x, y)；（2）若a(a1, a2)，b(b1, b2)，则加（减）法：ab(a1b1, a2b2)；ab(a1b1, a2b2)数乘：la(la1, la2)（lR）数量积：a·ba1b1a2b2特别地，aba1lb1，a2lb2（lR）；aba1b1a2b20（3）若A (x1, y1)，B(x2, y2)，则(x2x1, y2y1)二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？三数学理论1空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使axiyjzk有序实数组(x, y, z)叫做向量a在空间直角坐标Oxyz中的坐标，记作a(x, y, z)2在空间直角坐标Oxyz中，对于空间任意一点A(x, y, z)，向量是确定的，容易得到xiyjzk，因此，向量的坐标为(x, y, z)这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标3向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算）（1）设a(a1, a2, a3)，b(b1, b2, b3)，则ab(a1b1, a2b2, a3b3)，ab(a1b1, a2b2, a3b3)la(la1, la2, la3)（lR）（2）若A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，则(x2x1, y2y1, z2z1)4空间向量平行的坐标表示ab（a0）a1lb1，a2lb2，a3lb3（lR）说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四数学运用1例题：【例1】已知a(1, 3, 8)，b(3, 10, 4)，求ab，ab，3a解：ab(1, 3, 8)(3, 10, 4)(13, 310, 84)(4, 7, 4)，ab(1, 3, 8)(3, 10, 4)(13, 310, 84)(2, 13, 12)，3a3×(1, 3, 8)(3, 9, 24)【例2】已知空间四点A(2, 3, 1)，B(2, 5, 3)，C(10, 0, 10)和D(8, 4, 9)，求证：四边形ABCD是梯形证：依题意(2, 3, 1)，(2, 5, 3)，所以(2, 5, 3)(2, 3, 1)(4, 8, 2)同理(2, 4, 1)，(10, 1, 8)，(8, 5, 7)由2可知，|，又与不共线，所以四边形ABCD是梯形说明：与平面向量一样，若A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，则(x2x1, y2y1, z2z1)这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标【例3】已知a(1, 6, 3)，b(1, 2, 9)，c(4, 0, 24)，求证：a，b，c共面解：因为a(1, 6, 3)，b(1, 2, 9)，所以a与b不共线不妨设cxayb，则解得，所以ca3b，所以a，b，c共面【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP平面A1BD解：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B(1, 1, 1)，D(0, 0, 1)，B1(1, 1, 0)，C1(0, 1, 0)，N(, 1, 0)，M(0, 1, )，D1(0, 0, 0)，P(0, , 0)，于是(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(, 0, )，(0, , )，显然有，所以，因此平面MNP平面A1BD说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明五回顾小结：1会正确的确定空间向量及点的坐标； 2向量的坐标判断两个空间向量平行的方法； 六课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标 1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律 2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）； 3.了解空间向量数量积的几何意义教学重点，难点空间向量数量积教学过程一问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，有a·b|a|b|cosq，（0qp），其中q是向量a，b的夹角，并规定a·b0（2）平面向量的夹角：将与平移至同起点处所成的0qp 角（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>；范围：0<a,b>p，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a,b><b,a>若<a,b>0，那么向量a与b同向；若<a,b>p，那么向量a与b反向；若<a,b>，则称a与b互相垂直，记作：ab注意：正确使用两个向量夹角的符号<a,b>例如：<,>BAC 2.向量的模：设a，则有向线段的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|3.向量的数量积：已知a，b是空间两个非零向量，则|a|b|cos<a,b>叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b|a|b|cos<a,b>规定：0向量与任何向量的数量积为0注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cosq的符号所决定 零向量与任意向量的数量积等于零4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a·b的夹角<a,b>可以由cos<a,b>求得5.空间向量数量积的性质： （1）cos<a,b>；（2）aba·b0（a，b是两个非零向量）；（3）|a|2a·aa2注意：性质（2）是证明两向量垂直的依据； 性质（3）是求向量的长度（模）的依据。6空间向量数量积运算律：（1）交换律：a·bb·a；（2）数乘的结合律：(la)·bl(a·b)a·(lb)，（lR）；（3）分配律：a·(bc)a·ba·c注意：数量积不满足结合律 (a·b)·ca·(b·c)，为什么？思考：0·a是零向量吗？0a是零向量吗？0·a表示零向量与向量a的数量积，它的值为0，而不是零向量；0a表示实数0与向量a的积，其结果是零向量四数学运用1例题：【例1】已知|a|4，|b|3，a·b12，求a与b的夹角<a,b>解：cos<a,b>，0<a,b>p ，<a,b>变式：已知|a|4，|b|3，a·b12，求a与b的夹角<a,b>求出 cos<a,b>时，注意由<a,b>的范围得<a,b>的值【例2】如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AD3，AA15，BAA1DAA160°，求AC1的长解：由题意可得·0，·4×5×cos60°10，·3×5×cos60°7.5，因为，所以|2()2|2|2|22(···)4232522(0107.5)85从而得到AC1的长为注：通过数量积求长度是常见的方法，理解等式|a|2a2的意义，体会向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径【例3】已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC证明：（法一）·()· ()··2·· ()· ()·0（法二）选取一组基底，设a，b，c，ABCD，a· (cb)0，即a·cb·a，同理：a·bb·c，a·cb·c，c· (ba)0，·0，即ADBC2练习：（1）判断下列命题是否正确： 若a·ba·c，则bc； 若a·b0，则ab； (a·b)·ca·(b·c)； 0·a0（2）设ab，<a, c>，<b, c>，且|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc的模五回顾小结：1由平面向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律； 2会用向量的方法求线段的长度，求两异面直线所成的角，以及求证空间中的两线垂直六课外作业：课本P.84 练习5补充：已知向量ab，向量c与a，b的夹角都是60°，且|a|1，|b|2，|c|3，试求(ab)2，(a2bc)2，(3a2b)·(b3c)第二课时一问题情境1.知识回顾平面向量数量积的坐标表示及一些应用：（1）对于平面内两个非零向量a(x1, y1)，b(x2, y2)，则a·bx1x2y1y2（2）长度、夹角、垂直的坐标表示：长度：若a(x1, y1)，则|a|2x2y2，即|a|；两点间的距离公式：若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则；夹角：cosq；垂直的充要条件：aba·b0，即x1x2y1y20（注意与向量共线的坐标表示的区别）2.问题：类比平面向量数量积的坐标表示及其应用，思考对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？三数学理论 一般地，设空间两个非零向量为a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，则a·bx1x2y1y2z1z2 证：若i, j, k是空间的一个单位正交基底，则a(x1, y1, z1)x1iy1jz1k，b(x2, y2, z2)x2iy2jz2ka·b(x1iy1jz1k)· (x2iy2jz2k)x1x2i 2y1y2j 2z1z2k 2x1y2i·jx1z2i·ky1x2j·iy1z2 j·kz1x2k·iz1y2k·jx1x2y1y2z1z2从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式：a·bx1x2y1y2z1z2即：两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和1模长公式特别地，当ba时，可以得到向量的长度公式：若a(x1, y1, z1)，则|a|；2两点间的距离公式：使用向量方法推导A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)间的距离公式AB|，3夹角公式：设空间两个非零向量a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，它们的夹角为<a,b>由向量数量积的定义，可得cosq< a,b >特别地，aba·b0，即x1x2y1y2z1z20四数学运用1例题：【例1】已知A(3, 1, 3)，B(1, 5, 0)，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A，B两点距离相等的点的坐标x，y，z满足的条件解：（1）设M是AB的中点，O是坐标原点，则()(3, 1, 3)(1, 5, 0)(2, 3, )所以线段AB中点的坐标是(2, 3, )因为(2, 4, 3)，所以线段的长度为|（2）设P(x, y, z)到A，B两点距离相等，则，化简，得4x8y6z70所以到A，B两点距离相等的点的坐标x，y，z满足的条件是4x8y6z70【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：D1F平面ADE证明：如图以D为原点建立直角坐标系Dxyz，不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，D1(0, 0, 1)，B1(1, 1, 1)，E(1, 1, )，F(0, , 0)，则(1, 0, 0)，(0, , 1)，·(1, 0, 0) · (0, , 1)0，D1FAD，又(0, 1, )，·(0, 1, )· (0, , 1)0，D1FAE， 且ADAEA，所以，D1F平面ADE【例3】已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2, 0, 4)，(4, 2, 0)，求平行四边形ABCD的面积解：|2，|2，·(2, 0, 4) · (4, 2, 0)8，cos<,>，sinBAD， SABCD|sinBAD4yx【例4】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB中点，G在棱CD上，CGCD，H是C1G的中点，（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长解：如图以D为原点建立直角坐标系Dxyz，则B1(1, 1, 1)，C(1, 0, 0)，E(0, 0, )，F(, , 0)，G(0, , 0)，C1(0, 1, 1)，H(0, , )，（1）(, , )，(1, 0, 1)，·(, , )· (1, 0, 1)0，EFB1C（2）(0, , 1)，·(, , )· (0, , 1)，且|，|，cos<·>，EF与C1G所成的角的余弦为（3）(, , )，|2练习：（1）已知a(2, 3, 5)，b(3, 1, 4)，求ab，ab，|a|，8a，a·b解：ab(2, 3, 5)(3, 1, 4)(1, 2, 1)，ab(2, 3, 5)(3, 1, 4)(5, 4, 9)，|a|，8a8(2, 3, 5)(16, 24, 40)，a·b(2, 3, 5) · (3, 1, 4)29（2）课本P.84 练习1、2、3、4五回顾小结：1在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；2求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数六课外作业：课本P.86 习题12、13、15、19专心-专注-专业