九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解(共4页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。 平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。 一般来说，求解定值问题的方法有： 图形分析法。画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。 特殊位置法。不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。参数计算法。图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。例题精讲例1：如图，已知O及弦AB，P为O上任一点，PA、PB分别交AB中垂线于E、F，求证：OE·OF为定值。分析 若在O上的点P运动到特殊位置点Q，则点E，点F都和Q点重合，于是得到OE·OF=OQ，由此可推想，该定值可能为O半径的平方。证明 因为OE是弦AB的中垂线，所以，所以AOE=BOE，所以又因为EPB =PABABP，所以AOE = EPB，所以A、O、F、P四点共圆，所以OFB =OAE.又因为FOB=AOE，所以FOBOAE，所以即OE·OFOA·OB.因为OA=OB，所以OE·OF=OA（定值）。例2：如图，设AB、CD是圆O的两条定直径，P是圆周上的任一点，过P作AB垂线，过P作CD的垂线，其垂足分别为Q、R，DTAB，垂足为T，求证：QR是定长。分析 把点P沿O运动到特殊的点D的位置，不难发现QR =DT，那么当P是圆周上的任一点时，只要证明QR =DT.证明 设圆的半径为r，作RSAB，连结OP.因为PQAB，PRCD，所以P、O、Q、R四点共圆，所以RQS =OPR，所以RtOPR RtRQS，所以=r·sinDOB =DT（定值）。例3：如图，已知ABC、ABD是在AB同侧的两个以AB为斜边的直角三角形，P是AB上的动点，但P不重合于A、B，求证：tanPCA·tanPDB是定值。分析 因为P是AB上的动点，要考虑tanPCA·tanPDB是定值，需要把点P移动到特殊的位置，即取P为AB的中点时，tanPCA· tanPDB=tanPAC·tanDBP（定值）。证明 过点P作PEAC，垂足为E，过P点作PFBD，垂足为F点。因为所以又因为EPAC，ACB=90°，所以EPBC，得所以同理可得故=，即（定值）。例4：平面上有两个边长相等的正六边形ABCDEF和A'B'C'D'E'F'，且正六边形A'B'C'D'E'F'的顶点A'在正六边形ABCDEF的中心。当正六边形A'B'C'D'E'F'绕A'转动时，两个正六边形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论正确吗？试证明你的判断。解 两个正六边形的重合部分的面积是一个定值。证明如下：如图，重合部分的面积是一个定值。连结A'B、A'D，由A'为正六边形ABCDEF的中心知A'B = A'D=AB，A'BG =A'DH=60°.又当A'B'与A'B重合时，必有A'F'与A'D重合，故知GA'B =HA'D.在A'GB和A'HD中，故 因此两个正六边形的重合部分的面积必然是定值。例5：由圆外定直线上任意点引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点。分析 设直线AA'为O外定直线，A为此线上任一点由A引两切线为AE、AF，E，F为切点，连结EF，应过某一定点。若A点运动到C点(OCAA')的特殊位置，因图形的对称性判定点一定在OC上，而EF与OC的交点P可能就是此定点，如能确定OP的长，问题就解决了。证明 如图，连结AO与EF交于B，连结OE.因为AOEF，又因为OEA=90°，所以OE=OA·OB.又因为四边形ABPC中，对角ABF=PCA=90°，所以A、B、P、C四点共圆，所以OB·OA = OP·OC，OP·OCOE因为OE，OC均为定值，所以OP为一定值，且OP在定直线OC上。所以不论点A在直线AA'上何处，弦EF恒过P点。例6：如图，A、B为两定点，O为一动点在AB所在平面上异于O点的一侧取A'点及B'点，使OAA' =OBB'=90°，且BB' =OB，AA' =OA.设A'B'的中点为O'（1）试问当O点在线段AB的一侧移动时，A'B'的中点O'，的位置将怎样变化？（2）请证明你的猜想。分析 分别取O点的三个特殊位置：（1）在AB的垂直平分线上，且与AB相距AB的位置上；（2）在以A为垂足且与AB垂直的直线上；（3）在以B为垂足且与AB垂直的直线上可看出O'点不随O点的移动而变化。解 （1）取O点的几个特殊位置，可以看出O'点的位置将不随O点的变化而变化，即无论O点怎样移动，点O'位置保持不变。 (2)过O、A'、O、B'甘点分别作AB的垂线，垂足依次为C、D、E、F.因为OAC = 90°DAA'=AA'D，AA'=OA，所以RtOACRtAA'D.同理RtOCBRtBFB'，所以AD=OC=BF，A'D=AC，B'F=BC.点E既是DF的中点，又是AB的中点O'E是梯形A'DFB'的中位线，所以O'E=这就是说，无论O点在何处，O'点必在线段AB的垂直平分线上距线段AB为AB处，即A'B'的中点O'始终保持不变。专心-专注-专业