六年级同步第1讲-：整数和整除---教师版(共33页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数【例1】 判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）（1） 最小的自然数是1 ；（2） 最小的整数是0；（3） 非负整数是自然数；（4） 有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5） 有最小的正整数，但没有最大的负整数【难度】【答案】（1）×；（2）×；（3）；（4）×；（5）×【答案】【解析】（1）错误，最小的自然数是0； （2）错误，不存在最小的整数； （3）正确； （4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数； （5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是1【总结】本题主要考查与整数有关的概念【例2】 把下列各数放入相应的圈内：15，1，0.2，0，63，0.7，13，0.2323， 整数自然数正整数负整数【难度】【答案】整数：15，1，0，63，13； 自然数：15，0，13； 正整数：15，13； 负整数：1，63【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零【总结】本题主要考查整数的分类【例3】 （1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小【难度】【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零； （2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数； （3）自然数大于负整数；【解析】略；【例4】 五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是_、_、_、_若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数【难度】【答案】 这五个数是：2、3、4、5、6【解析】列方程： 解得： 这五个数是：2、3、4、5、6【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数【例5】 有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：，试求这三个自然数【难度】【答案】3，10，0【解析】设这三个数分别为，； 则 解得： 这三个数是3，10，0【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示1、整除的意义整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除【例6】 老师问：“当时，时，能被整除吗？”一个同学回答：“因为商是，是整数，所以能被整除”你认为对吗？【难度】【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件【例7】 下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“”，不能整除的打“×”18和9（ ）15和30（ ）04和4（ ）14和6（ ）17和35（ ）9和05（ ）【难度】【答案】横向：×××××【解析】整除的意义：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件【例8】 已知下列除法算式：57÷7=81；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0；2÷4=0.5 （2）21÷7=3； 0÷3=0【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别【例9】 把表示下列算式的序号填入适当的空格内（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷01；（4）18÷3；（5）04÷2；（6）39÷03；（7）27÷9；（8）16÷4除数能整除被除数的：_；能够除尽的：_【难度】【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）； 能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别 【例10】 若两个整数a、b ()都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？【难度】【答案】能，原因略；【解析】设，（是整数，且）； 则：； ； ； 它们的和、差、积也能被 c 整除 【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用【例11】 一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数【难度】【答案】35【解析】能被5整除的数字，位数是0或5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不能是0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35【总结】本题主要考查能被5整数的数的特征【例12】 15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【难度】【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支【解析】将15分解可得： 题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法： （1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题【例13】 2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【难度】【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节 间隔366天，则：， 2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题【例14】 学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：组别12345678910人数31168101247138一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？【难度】【答案】第6组【解析】设听语文讲座的人数为，那么听英语讲座的人数为， 则在教室里的一组人数为人； 由已知得：，且为整数 解得：因为x为整数，所以x的取值为10或者11 当时，第6组； 当时，（舍）； 留在教师的是第6组【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题1、因数和倍数的意义整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）【例15】 有一个算式，则可以说_能被_整除，也可以说_能整除_，还可以说_和_是_的因数，_是_和_的倍数【难度】【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因数和倍数的意义：整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）【总结】本题主要考查因数和倍数的概念【例16】 分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）【难度】【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36 19的因数：1，19；倍数是：19，38，57 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108【解析】； 12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36 ； 19的因数：1，19；倍数是：19，38，57 ； 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108【总结】本题主要考查因数和倍数的概念【例17】 在圈内填写满足条件的数： 既是18的因数又是27的因数【难度】【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18； 27的因数：1，3，9，27； 既是18的因数又是27的因数：1，3，9【解析】； 18的因数：1，2，3，6，9，18； ； 27的因数：1，3，9，27； 既是18的因数又是27的因数有：1，3，9【总结】本题一方面考查如何求一个正整数的因数，另一方面考查如何求两个正整数相同的因数【例18】 下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出（1）6和9；（2）27和51 【难度】【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3【解析】（1），；6和9含有相同的因数：1和3； （2），；27和51含有相同的因数：1和3；【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数【例19】 从小到大依次写出10个2的倍数：_；从小到大依次写出10个3的倍数：_；其中_既是2的倍数，又是3的倍数【难度】【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30；【解析】略【例20】 已知：，则和相同的因数有哪些？【难度】【答案】1，3，5，15【解析】，A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；，B的因数有：1，3，5，9，15，45和相同的因数有：1，3，5，15【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数【例21】 一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【难度】【答案】2，3，5，7【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；【总结】本题主要考查因数的概念【例22】 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】【答案】30【解析】， 这两个数是12和18，和是30【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用【例23】 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因数是奇数的数是平方数，1100之间的平方数是1，4，9，16，25，36，49， 64，81，100；【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个【例24】 李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【难度】【答案】15分钟【解析】因为5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60；6的倍数有：6，12，18，24， 30，36，42，48，54， 60； 所以至少再经过30分钟又同时发车【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题【例25】 用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？【难度】【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4【解析】； 答：可以拼成3种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1或8，2或4，4【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题【例26】 一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？ 【难度】【答案】60【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60， 所以至少再经过30分钟又同时发车【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题【例27】 小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【难度】【答案】不能【解析】31张纸的所有页码中，共31个奇数和31个偶数相加，答案是奇数，不可能是2010 另：拓展来看， 每一张纸的页码和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11， 共同点：加上1后都是4的倍数， 整体考虑，32页纸的页码和+31应是4的倍数，但2010+31不能被4整除， 所以是不可能的【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数【例28】 我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数，我们把小于的正的因数叫做的真因数如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数把一个正整数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”如10的“完美指标”是一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10完美根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是_；（2）6的“完美指标”是_；（3）9的“完美指标”是_（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数【难度】【答案】 （4）28；【解析】（1）5的“完美指标”：； （2）6的“完美指标”是： （3）9的“完美指标”是：； （4）素数的“完美指标”为，不够完美； 合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美； 所以验证24和28的完美指标： 24的“完美指标”是：； 28的“完美指标”是； 28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决新的问题1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数【例29】 已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】【答案】奇数：11，15，19，123，787； 偶数：32，56，312，566【解析】32，56，312，566能被2整除，是偶数， 11，15，19，123，787不能被2整除，是奇数【总结】本题主要考查奇数和偶数的概念【例30】 已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_【难度】【答案】25，70，105，370【解析】个位上是0或5的整数是能被5整除的数【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征【例31】 在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760能同时被2和5整除的数【难度】【答案】能被2整除的数：12，40，80，94，210，354，760； 能被5整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760； 能同时被2和5整除的数：40， 80，210，760【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数； 能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数【总结】本题主要考查能被2和5整除的数的特征【例32】 三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是_【难度】【答案】16【解析】设三个数分别是： 则：，解得：=16 最小的数是16【总结】本题考查如何用字母来表示三个连续的整数【例33】 请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“”，奇数则打“×”（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）【难度】【答案】横向： ×× × 【解析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数； 奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数；【例34】 的和是奇数还是偶数？请说明理由【难度】【答案】奇数【解析】1001个数字中，501个奇数，500个偶数，根据奇数偶数的运算性质，和为奇数【总结】奇数与偶数的和是奇数，奇数与奇数的和是偶数【例35】 用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？【难度】【答案】有因数2： 10种；有因数5： 6种【解析】有因数2，则个位数字是2或0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032， 1302，3012，3102，共10种； 有因数5，则个位数字是0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6种；【总结】本题主要考查如何利用能同时被2和5整除的数的特征来进行数字的排列组合【例36】 下面的乘式的积中，末尾有多少个0？【难度】【答案】7个【解析】每一个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数； 将130中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力【习题1】 先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？1，2，0.3，15，0.7，0，3.83，0.3，1，4.，8，10整数自然数正整数负整数【难度】【答案】整数：1，2，15，0，1，8，10； 自然数：2，15，0，1，10； 正整数：2，15，1，10； 负整数：1，8； 从小到大排序为：8，1，0.7，0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.， 10，15； 其中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是1【解析】略【习题2】 一个三位数，能被2整除时，中最大填_；能被5整除时，中最小填_【难度】【答案】8，0【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8；能被5整除的数个位数字是0，5；【总结】本题主要考查能被2整除以及能被5整除的数的特征【习题3】 判断题：(1) 若，则一定能整除（ ）(2) 整数的最大因数正好等于整数的最小倍数，则一定大于 （ ）(3) 因为，所以是的倍数（ ）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除（）【难度】【答案】× × × × 【解析】（1）整除要求被除数和除数也要为整数； （2）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此a和b相等； （3）因数和倍数的概念是在整除的前提下存在的，本题不属于整除，不存在倍数 的概念； （4）能被2整除的数字特征是个位数字为2，4，6，8，0，不是任意一位；【总结】本题主要考查学生对基本概念的理解【习题4】 已知，那么的全部因数的个数是(）A10个B12个C14个D16个【难度】【答案】D【解析】本身和1：2个；任意一个数：4个；任意两数乘积：6个； 任意三个数乘积：4个；2+4+6+4=16个 【总结】本题主要考查如何去根据乘积的形式去求一个正整数的所有因数【习题5】 一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？【难度】【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48， 其中是3的倍数的是3，6，12，24，48【总结】本题主要考查因数和倍数的概念【习题6】 如果表示的全部因数的和，如，则_【难度】【答案】7【解析】（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32， （18）（21）=7【总结】本题主要考查学生的理解能力，通过对的理解完成相关的计算【习题7】 用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？【难度】【答案】10个【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250， 8520，5082，5802，8052，8502，共10个【总结】本题主要考查如何利用能被2整除的数的特征来进行数字的排列组合【习题8】 先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止若是13的倍数，则这个数就是13的倍数试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）【难度】【答案】（2）12805是13的倍数【解析】（1）9062： 906+8=914， 91+16=107， 10+28=38，不是13的倍数； （2）12805： 1280+20=1300，是13的倍数，故12805是13的倍数； （3）： 15850+24=15874， 1587+16=1603， 160+12=172， 17+8=25， 不是13的倍数；【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用 【作业1】 是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数【难度】【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0，不存在最大的正整数，最大的负整数是1，不存在最大的自然数【解析】略【作业2】 78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内奇数偶数【难度】【答案】奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78【解析】78的因数有1，2，3，6，13，26，39，78； 其中，奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78【总结】本题主要考查对因数、奇数、偶数这些基本概念的理解【作业3】 求26以内能被5整除的所有数的和【难度】【答案】75【解析】26以内能被5整除的数有5，10，15，20，25，和为5+10+15+20+25=75【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【难度】【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数【解析】第一次擦除，变为奇奇偶， 第二次分为两种情况：（1）擦掉奇数，变为奇奇偶，（2）擦除偶数，变为奇奇偶； 之后一直保持为奇奇偶，所以100次后也为奇奇偶，乘积为偶数【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查奇数与偶数相乘的特征【作业5】 求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和【难度】【答案】1005【解析】1000以内能被3、5同时整除的数是15的倍数，最小的偶数是30， 最大的奇数是975，和为1050【总结】本题主要考查能同时被3、5整除的数的特征【作业6】 一个大于1的自然数，只有两个因数，那么有几个因数？【难度】【答案】当时，3a有4个因数；当时，3a有3个因数【解析】，由已知得：， 当时，3a有4个因数：1，3，a，3a； 当时，3a有3个因数：1，3，3a；【总结】本题主要是考查如何根据题目中的条件去求一个正整数的因数【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【难度】【答案】略【解析】票价有三种，5角、1元、1元5角，都是5的倍数，但是36不是5的倍数【总结】本题主要考查如何利用倍数的概念来解决实际问题【作业8】 凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数下列各数，哪些是11的倍数？ (1)64273 (2) (3)【难度】【答案】（1）、（2）、（3）都是11的倍数【解析】（1）64273：（6+2+3）（7+4）=0，是11的倍数； （2）：（2+8+4）（0+5+9）=0，是11的倍数； （3）：（7+6+8+2）（7+3+0+2）=11，是11的倍数； （1）、（2）、（3）都是11的倍数【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用专心-专注-专业