数学分析-第三讲-连续与一致连续(共18页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第三讲 连续与一致连续一、 知识结构1、 函数连续的概念和定义函数连续的概念: 如果函数在区间上有定义，并且函数的图象是连续不断的，我们称函数在区间上连续.(1) 函数在点连续的相关定义定义1 设函数定义在内，如果，则我们称函数在点连续. 记作.定义1设函数定义在内，对，当时，有,则我们称函数在点连续.定义2 设函数定义在内，对，当时，有,则我们称函数在点连续. 记作.定义3 设函数定义在内，对，当时，有,则我们称函数在点左连续. 记作.(2) 函数在区间上连续定义1 如果函数在区间内任意一点连续，则我们称函数在区间内连续.定义1固定, 对，当时()，有,则我们称函数在区间内连续.定义2 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续, 则我们称函数在区间连续.定义3 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点右连续, 则我们称函数在区间连续.定义4 如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续、点右连续, 则我们称函数在区间上连续.2、 函数一致连续的概念和定义 函数一致连续的概念: 如果函数在区间上有定义，函数的图象是连续不断的，并且函数的图象没有铅直的渐进线，我们称函数在区间上一致连续. 例如，函数在区间内连续，但不一致连续.定义1对, ，当时()，有,则我们称函数在区间内一致连续.定义1设函数在区间上有定义，是区间内的任意一点, 对，当时，有,则我们称函数在区间上一致连续.说明: 对给定的, 由于区间内的点对有无穷多个, 所以对每一对均存在一个, 进而有无穷多个, 无穷多个中有最小的, 我们称函数在区间上一致连续. 无穷多个中没有最小的, 我们称函数在区间上不一致连续.定理1 如果函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一致连续.说明: 如果函数在开区间内连续，则函数在开区间内不一定一致连续.3、 函数的间断点（不连续点）定义1 如果，我们称函数在点间断.(1) 第一类间断点定义2 如果极限存在，但不等于，我们称点为函数的可去间断点.定义2 如果极限与都存在但不相等，我们称点为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.(2) 第二类间断点非第一类间断点称为第二类间断点，即不存在，或不存在，或不存在，具体情况如下：；趋向于两个以上的数；趋向于两个以上的数；趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet）函数定义域上的任意一点为第二类间断点. 因为,所以不存在.再例如,对函数,是函数的第二类间断点. 因为不存在(不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上.二、解证题方法1、连续例1 (天津大学2006年)证明: 函数在处连续(用语言证明).证明因为, 对, 存在, 当时, 有, 所以函数在处连续.例2 (天津大学2005年)证明: 函数在处连续(用语言证明).证明 因为, , 所以, 对，当时，有. 又因, , 所以. 故函数在处连续.例3 (复旦大学2002年)证明函数在区间上不一致连续.证明 取,则.因为 所以, 存在,对所有,当时, 有故函数在区间上不一致连续.证法2 取,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续.例4(中北大学2005年)证明函数在区间内不一致连续, 在与上均一致连续.证明 取,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续.由于函数在区间上连续, 所以函数在区间上一致连续.由于函数在区间上连续, 所以函数在区间()上一致连续.因为,对,当时,有. 进而函数在区间()上一致连续.例5 (北京工业大学2005年)设和为区间上的连续函数，试证明为区间上的连续函数.证明 因为，所以只要证明为区间上的连续函数即可.对,由于和为区间上的连续函数, 所以,对，当时，有,.又因,所以为区间上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数为上的单调增函数,其值域为,证明在上连续.证明 因为函数为上的单调增函数,所以函数在上任意一点的极限都存在.如果函数在上不连续,则函数在上存在间断点,如果,则.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾. 如果,则.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾. 如果，则不等式及至少有一个成立,不妨设.由函数在上的单调性知, 函数无法取到上的值, 这与函数的值域为矛盾. 故函数在上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程的惟一不恒为零的连续函数是指数函数,其中.分析:要说明函数是指数函数,应证明;,其中是实数;.证明首先证明.因为,又因为(因为在上不恒为零,所以存在,使).所以,进而.其次证明,其中是实数.a) 当时, 由得得.b) 当,为正整数时,.c) 当,为正整数时, ,又因为,所以.进而.d) 当,为正整数时, ,e) 当为无理数时,有有理数列,使得.因函数连续,所以.最后证明.因为,所以.例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数是区间上的单调函数，定义.证明函数在区间上的每一点都右连续.分析：不妨设函数是区间上的单调增函数.要证明函数在区间上的每一点都右连续，只要证明对任意一点，当时，有.证明 不妨设函数是区间上的单调增函数.设是区间上的任意一点, 因为,即,所以,对，当时，有,即.,又因函数是区间上的单调增函数, 所以,故.又因函数是区间上的单调增函数,所以,进而.所以函数在区间上的每一点都右连续.例9(中北大学2005年)设函数问:(1)为何值时,在处连续;(2) 为何值时, 是的可去间断点.解 (1) 因为,所以,当时,即时,函数在处连续.(2)当时, 是的可去间断点.即时, 是的可去间断点.例10设函数,试讨论在点的连续性、偏导数存在性、可微性.解 （1）连续性因为，所以在点连续. （2）偏导数存在性因为，所以与均存在，且都等于零. （3）可微性因为，所以，进而函数在点可微.练习1 (电子科技大学2005年)设函数定义在上,又设和分别在上连续且在和内是的原函数.令,其中选择使在处连续,就下列情况,回答是否是在上的原函数.(1)在处连续;(2) 是的第一类间断点;(3) 是的第二类间断点.解(1)当在处连续时,因为,所以是在上的原函数.(2)因为 是的第一类间断点,且在处连续, 所以或.当时,由得, ,所以不是在上的原函数.当时, 不存在,即.所以不是在上的原函数.(3)不能判断.例如当时,是的第二类间断点,取当时,故是在上的原函数. 当时,故不是在上的原函数.2 (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间上的单调函数的一切不连续点都为第一类间断点.证明 不妨设函数是单调增函数,并且设是函数的间断点.因为, ,并且函数在不连续,所以不等式,至少有一个取或号,所以是跳跃间断点,即区间上的单调函数的一切不连续点都为第一类间断点.3(上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:, (),证明在区间上的无理点处连续,而在区间上的有理点处不连续.证明 设是区间上的任意一个有理点,则在区间内一定存在无理点(根据无理数的稠密性),对我们只要取,使得.所以在区间上的有理点处不连续.设是区间上的任意一个无理点,我们只要证明: 对，当时，有即可.因为的值有有限个,不妨设为.令,当时，有.即在区间上的无理点处连续.4 (南京理工大学2004年)设函数在上连续,且在上的任意有理点为,证明函数在上恒为零.证明 设为上的任意一点,当为有理点时,.当为无理点时,存在有理数列,使.故,进而函数在上恒为零.5 (江苏大学2004年)设在上连续,又有,使得,证明:存在,使得. 证明 因为，由致密性定理，存在收敛的子列，使.又因在上连续, 故.6( 上海交通大学2003年)设定义在实数集上的函数在两点处连续，且对任意的有，证明：为常函数.证明 对，由得，.因为,并且在点处连续,所以.又在点处连续,所以.又因,所以为常函数.7(陕西师范大学2003年)设在上有定义且恒不为零,存在,且对任意的都有,求.解 因为,并且在上恒不为零,所以.由存在,则在点连续.设对,因,所以,故函数在上连续.对任意的有理数,有,对任意的无理数,存在有理数列,使得.进而.所以.所以.8(中北大学2005年)设在上有定义,且,在区间上定义函数,证明:函数右连续.证明 对,所以对,存在,当,有.因为,所以,，即函数右连续.9（中北大学2005年）证明: (1)函数在内不一致连续，(2) 函数在与上均一致连续.证明 (1)取，,则.因为,而,所以函数在内不一致连续.(2)因为在上连续,所以在上一致连续.因为,所以,对,存在,当时，有，即在上连续（当时，显然有时，）.因为在上连续,所以在上一致连续.10（复旦大学2002年、汕头大学2003年、中北大学2005、浙江师范大学2003年）证明:函数在内不一致连续.证明 取，,则.因为,而,所以函数在内不一致连续.专心-专注-专业