立体几何专题评估测试题及详细答案(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上立体几何专题评估测试题时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013·济宁一模)已知m，n是空间两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A若，m，n，则mnB若m，n，mn，则C若m，则mD若m，m，则解析根据线面垂直的判定和性质可知，D正确答案D2(2013·课标全国)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为解析结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示故选A.答案A3在空间中，不同的直线m，n，l，不同的平面，则下列命题正确的是Am，n，则mnBm，m，则Cml，nl，则mn Dm，m，则答案D4(2013·大兴一模)已知平面，直线m，n，下列命题中不正确的是A若m，m，则B若mn，m，则nC若m，n，则mnD若m，m，则解析C中，当m时，m只和过m平面与的交线平行，所以C不正确答案C5(2013·滨州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A1B.C.D.解析由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为1×11，所以四棱锥的体积为×1×1，选B.答案B6下列命题正确的是A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直解析A不正确，满足条件的直线可能相交也可能异面；B不正确，当两个平面相交时也满足条件；由线面平行的性质定理可知C正确；D不正确，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交答案C7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B2C(21) D(22)解析由三视图可知该几何体是两个高相等、底面完全重合的圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为2×rl2××1×2.答案B8设m，n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中真命题的是A B C D解析正确，平行于同一平面的两平面平行；中m可能在平面内，也可能m，m，正确中可能m.答案A9(2013·临汾模拟)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A10 B50 C25 D100解析由三视图可知该几何体为三棱锥，并且在同一顶点上的三条棱两两垂直，且棱长分别为3、4、5，故该几何体的外接球也就是棱长分别为3、4、5长方体的外接球，则该外接球的半径R，所以S4R250.答案B10(2013·太原模拟)几何体ABCDEP的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是ABD平面PCE BAE平面PBCC平面BCE平面ADP DCEDP解析由三视图可知，该几何体的底面是正方形，且棱EB和PA都与底面ABCD垂直若CEDP，则CE在平面PDA上的射影和DP平行，这和几何体的侧视图矛盾，故选项D不成立答案D11若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a为正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为A. B. C. D.解析由题意知正四棱锥的每个侧面面积为a2.设正四棱锥的侧棱长为x，则正四棱锥的斜高h，所以有 ·aa2，解得xa.所以正四棱锥的侧棱与底面所有角的余弦值为.答案C12如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别是、，则等于A120° B60° C75° D90°解析选BC的中点M，连接FM、MG，则GFM为GF与AB所成的角；连接ED1，则EC1D1为C1E与AB所成的角计算出MF，MG，ED1的长度可知，故RtGMFRtC1ED，GFMEC1D190°.选D.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于_解析如图所示，设O是正方形ABCD的对角线AC和BD的交点，AH是点A到平面BCD的距离，因为SBCD2，所以当AH最大时，所求三棱锥的体积就最大，由图可知当点H与点O重合时，AH最大，此时AHAO，则三棱锥的体积最大值为V×2×.答案14(2013·扬州模拟)正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC是直角，则的值为_解析如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，由条件知O是正三角形BCD的重心，所以BOCO，AD.设MOx，则CM2BM2x2.又因为BMC是直角，所以BC2CM2BM2，即42，解得x，MO，即MOAO，故1.答案115如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE1，AED30°，则异面直线BC与AE所成的角的大小为_解析由题意，正方形和菱形的边长均为1.又面ABCD平面CEFB，所以CE平面ABCD，于是CECD，从而DE.在ADE中，AD1，DE，AED30°，由正弦定理得，所以sinEAD，故EAD45°.又BCAD，所以异面直线BC与AE所成角为EAD，即45°.答案45°16设l，m，n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数为_解析正确中当直线l时，不成立中，还有可能相交于一点，不成立正确，故有2个正确的命题答案2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2013·济南模拟)如图，斜三棱柱A1B1C1ABC中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，A1AC60°，E、F分别是A1C1、AB的中点(1)求证：EC平面ABC；(2)求三棱锥A1EFC的体积解析(1)证明在平面AA1C1C内，作A1OAC，O为垂足因为A1AC60°，所以AOAA1AC，即O为AC的中点，所以OC綊A1E.因而EC綊A1O.因为侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1OAC，所以A1O底面ABC，所以EC底面ABC.(5分)(2)F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，而BO，所以VA1EFCVFA1ECSA1EC·BO·A1E·EC····.(10分)18(12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，D是BC的中点(1)求证：直线A1DB1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论解析(1)证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，所以AA1BC.在等边ABC中，D是BC中点，所以ADBC.因为在平面A1AD中，A1AADA，所以BC面A1AD.又因为A1D面A1AD，所以，A1DBC.(3分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1BC，所以A1DB1C1.(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中连接A1C，交于AC1点O，连接DO.则O为A1C中点在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，故DOA1B.(10分)因为DO平面DAC1，A1B平面DAC1，所以A1B面ADC1，故A1B与面ADC1平行(12分)19(12分)(2013·门头沟区一模)如图，已知平面，且AB，PC，PD，C，D是垂足(1)求证：AB平面PCD；(2)若PCPD1，CD，试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论解析(1)证明因为PC，AB，所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP，故AB平面PCD.(5分)(2)平面与平面垂直(6分)证明设AB与平面PCD的交点为H，连接CH、DH.因为PC，所以PCCH.在PCD中，PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90°.在平面四边形PCHD中，PCPD，PCCH，所以PDCH.(10分)又PD，所以CH，所以平面平面.(12分)20(12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，D是BC的中点(1)求证：A1B平面ADC1；(2)若ABBB12，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值解析(1)证明因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形连接A1C交AC1于O，则O是A1C的中点又D是BC的中点，所以在ADC1中，ODA1B.(3分)因为A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(5分)(2)因为ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以ADBC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系Dxyz.由已知ABBB12，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A1(，0,2)，C1(0，1,2)(6分)则(，0,0)，(0，1,2)，设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)由，得到，令z1，则x0，y2，所以n(0,2,1)(8分)又(，0,2)，得n·0×2×01×22，所以cos，n.设A1D与平面ADC1所成角为，则sin |cos，n|，(11分)所以A1D与平面ADC1所成角的正弦值为.(12分)21(12分)(2013·南京模拟)如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP2，D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD. (1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小解析(1)证明PD平面ABCD，PDCD.CDAD，CD平面PAD.CD平面PCD，平面PCD平面PAD.(5分)(2)如图以D为原点，以，为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz.则有关点及向量的坐标为G(1,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，(0，1,0)，(1,1，1)(7分)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，.取n(1,0,1)平面EFG的一个法向量(10分)(1,0,0)为平面EFD的法向量，cos，n.面GEF与面EFD所成锐二面角的大小为45°.(12分)22(12分)(2013·朝阳一模)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2.四边形ABCD满足BCAD，ABAD，ABBC1，点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且.(1)求证：EF平面PAD；(2)当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；(3)是否存在实数，使得平面AFD平面PCD？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解析(1)证明由已知，所以EFBC.因为BCAD，所以EFAD.而EF平面PAD，AD平面PAD，所以EF平面PAD.(4分)(2)因为平面ABCD平面PAC，平面ABCD平面PACAC，且PAAC，所以PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因为ABAD，所以PA，AB，AD两两垂直如图所示，建立空间直角坐标系，因为ABBC1，PAAD2，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)当时，F为PC中点，所以F，所以，(1,1,0)设异面直线BF与CD所成的角为，所以cos |cos，|，所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为.(8分)(3)设F(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z02)，(1,1，2)由已知，所以(x0，y0，z02)(1,1，2)，所以所以(，22)设平面AFD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)因为(0,2,0)，所以即令z1，得n1(22,0，)设平面PCD的一个法向量为n2(x2，y2，z2)因为(0,2，2)，(1,1,0)，所以即令x21，则n2(1,1,1)若平面AFD平面PCD，则n1·n20，所以(22)0，解得.所以当时，平面AFD平面PCD.(12分)专心-专注-专业