第1讲--必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-教师版(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算教学目标知识目标：（1）掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系（3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用  (4)通过探讨集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.能力目标：(1) 发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界(2) 初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力(3) 使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力 .教学重点与难点重点：集合间的基本关系以及基本运算难点：子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论教学过程课堂导学1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个(2)ABABAABB.【考点1】集合的含义新知一：集合的表示法1、 列举法：将集合的元素一一列举出来，并写在大括号内。2、 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。【例1】用列举法表示下列集合（1）不大于10的非负偶数： （2）我国古代的四大发明： （3）方程组的解集： 【例2】用描述法表示下列集合（1）： （2）大于3的全体偶数构成的集合： （3）由所确定的点组成的集合： 【点评】用描述法表示集合的步骤为：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。变式1：用列举法表示下列集合（1） ；（2）；（3）。变式2：用描述法表示下列集合（1）偶数集； （2）； （3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合。解析：【例1】解：（1）； （2）；（3） 【例2】解：（1）；（2）大于3的全体偶数构成的集合； （3）。 注意对比（1）与（3）中的两个集合，一个是数集，一个是点集，有着本质上不同，分析时一定要细心。变式1、解：（1）； （2）； （3）变式2、解：（1）；（2）；（3）温馨提示：1、列举法要注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开（2）集合的元素必须是明确的；（3）各元素的出现无顺序；（4）集合里的元素不能重复2、描述法要注意：（1）写清楚该集合中元素满足性质；（2）不能出现未被说明的字母；（3）多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；（4）所有描述的内容都要写在集合的括号内。新知二：集合的含义1、集合的含义：指定的某些对象的全体就构成一个集合。2、集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合一般用大写字母表示，如集合,等，元素一般用小写字母表示。如等。3、元素与集合的关系：（1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 （2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作 【例1】下列研究的对象能否构成集合？（1）世界上最高的山峰； （2）我国的小河流；（3）中国国旗的颜色； （4）著名的数学家；（5）立方等于本身的实数； （6）不等式的正整数解。变式1、下列各组对象不能组成集合的是（ ）A大于6的所有整数 B高中数学的所有难题C被3除余2的所有整数 D函数图象上所有的点【例2】由三个实数构成一个集合，若是集合中元素，求实数的值。变式2、由三个实数构成一个集合，求实数的取值范围。解析：【例1】解：（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能；（5）能；（6）能【点评】判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性。变式1、B【例2】解：当时，解得，而此时与集合中的元素具有互异性矛盾，当时，解得或（舍去），时，符合题意，。【点评】要认清集合中元素的属性，特别要注意元素的无序性和互异性。变式2、解：由集合的互异性可知：，得且且。【考点2】集合间的基本关系新知一：区别集合与元素、集合与集合关系的表示例1：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用表示合格产品的集合，表示质量合格的产品的集合，表示长度合格的产品的集合。则下列包含关系哪些成立？。试用Venn图表示这三个集合的关系。 解：Venn图：略变式1：用适当的符号填空：（1） ； （2） ；（3） ； （4） 。（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 . 变式1、解：（1）；(2) ；（3）；（4）（5）AB新知二：集合相等注意：检验集合元素的互异性如果，则。即例2：已知集合，且，求的值。解：分两种情况讨论：；，这与集合的性质矛盾，。【点评】含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性。变式2：集合，又，则有（ ）A B C D不属于中的任一个答案：B 解：设，。新知三： 子集、真子集、空集如果集合，并且存在元素且，我们称集合是集合的真子集，记作：。不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集。例3：写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：子集为：，。真子集为：，。【点评】若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个。变式3：已知集合，那么满足条件的集合的个数是（ ）A B C D答案：D 解：满足条件的集合可为：，共8个。例4：已知集合，若满足，求实数的取值范围。解：，。变式4：集合，若满足，求实数a的值组成的集合。答案：例5：已知集合，且，求实数的取值范围。解：（1）当时，则，解得。（2）当时，则，解得。综上所述，实数的取值范围是m3。【点评】当出现“”这一关系时，首先是讨论有没有可能为空集，因为 时满足。变式5：若集合，且，求实数的值。解：由，因此，。（1）若时，得，此时，；（2）若时，得。若，满足，解得。故所求实数的值为或或。【点评】当出现“”这一关系时，首先是讨论有没有可能为空集，因为 时满足。【考点3】集合的新定义问题例6若集合A具有以下性质：()0A,1A；()若xA，yA，则xyA，且x0时，A.则称集合A是“好集”下列命题正确的个数是()(1)集合B1,0,1是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”，若xA，yA，则xyA.A0 B1 C2 D3答案C解析(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为1B,1B，所以112B，这与2B矛盾(2)有理数集Q是“好集”，因为0Q,1Q，对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时，Q，所以有理数集Q是“好集”(3)因为集合A是“好集”，所以0A，若xA，yA，则0yA，即yA，所以x(y)A，即xyA.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质(2015·湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49 C45 D30答案C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故AB中元素的个数为45.故选C.典例分析1. 典例例1(1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9(2)已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案(1)C(2)解析(1)当x0，y0时，xy0；当x0，y1时，xy1；当x0，y2时，xy2；当x1，y0时， xy1；当x1，y1时，xy0；当x1，y2时， xy1；当x2，y0时，xy2；当x2，y1时， xy1；当x2，y2时，xy0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2,1,2，共5个(2)由题意得m23或2m2m3，则m1或m，当m1时， m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，故m.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5 D6(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.答案(1)B(2)2解析(1)因为集合M中的元素xab，aA，bB，所以当b4时，a1,2,3，此时x5,6,7.当b5时，a1,2,3，此时x6,7,8.所以根据集合元素的互异性可知，x5,6,7,8.即M5,6,7,8，共有4个元素(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1，所以ba2.例2(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)已知集合Ax|x22 017x2 016<0，Bx|x<a，若AB，则实数a的取值范围是_答案(1)D(2)2 016，)解析(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4满足ACB的集合C可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个(2)由x22 017x2 016<0，解得1<x<2 016，故Ax|1<x<2 016，又Bx|x<a，AB如图所示得a2 016.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题(1)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，则下列结论正确的是()AAB BABCAB DBA(2)已知集合Ax|log2x2，Bx|x<a，若AB，则实数a的取值范围是_答案(1)D(2)(4，)解析(1)Ax|x>3，Bx|x2，结合数轴可得：BA.(2)由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而Bx|x<a，由于AB，如图所示，则a>4.例3(1)设全集UxN*|x<6，集合A1,3，B3,5，则U(AB)等于()A1,4 B1,5C2,5 D2,4(2)设集合UR，Ax|2x(x2)<1，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|1x<2Cx|0<x1 Dx|x1答案(1)D(2)B解析(1)由题意可知U1,2,3,4,5，AB1,3,5，所以U(AB)2,4故选D.(2)易知Ax|2x(x2)<1x|x(x2)<0x|0<x<2，Bx|yln(1x)x|1x>0x|x<1，则UBx|x1，阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x<2例4(1)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A0或 B0或3C1或 D1或3(2)集合Mx|1x<2，Ny|y<a，若MN，则实数a的取值范围一定是()A1a<2 Ba2Ca1 Da>1答案(1)B(2)D解析(1)由ABA得BA，有mA，所以有m或m3，即m3或m1或m0，又由集合中元素的互异性知m1，故选B.(2)Mx|1x<2，Ny|y<a，且MN，如图只要a>1即可思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化(1)(2015·天津)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)等于()A2,5 B3,6 C2,5,6 D2,3,5,6,8(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，则m的值是_答案(1)A(2)1或2解析(1)由题意知，UB2,5,8，则A(UB)2,5，选A.(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)×(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)×(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.2.易错题（视情况而定）1遗忘空集致误典例设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若BA，则实数a的取值范围是_易错分析集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)<0，解得a<1. 综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1.答案(，11温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高一的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)已知集合B，若已知AB或AB，则考生很容易忽视A而造成漏解在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论巩固提高1、 已知集合，求实数的值。 解：，或或，当时，则，符合题意；当，即时，则，与集合中元素互异性矛盾，不合题意；当，即或，上面已讨论不合题意；当时，则，符合题意；综上可知：符合题意的或。【点评】求解后一定要检验，关键是要兼顾集合中的元素具有互异性这一特征。2、若集合，则中元素的个数为（ ）A B C D答案：C. 由题意得当x=y时,有,即-1x1,又xM,则有序实数对(x,y)有两对;当xy时,若x=0,则有,即y,又yM,则有序实数对(x,y)不存在;若x=1,则有,即0y1,又yM,y=0,则有序实数对(x,y)有一对;若x=2,则有,即y,又yM,y=1,则有序实数对(x,y)有一对.综上所述,集合N中元素的个数为4.拓展提升【例1】三个元素的集合，也可表示为，求的值。分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论。解：依题意得，则，则，由集合中的元素具有互异性知，。【点评】从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征【例2】已知，试用列举法表示集合A。解：当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；。【点评】对于含参数的集合问题通常运用分类讨论的思想。本题实际上是要求满足被整除的整数的值，若将题目改为，则集合。变式训练已知集合，若中的元素最多只有一个，求的取值范围。解：当时，中的元素有一个，符合题意，当，的取值范围是或。 方法与技巧1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现 失误与防范1解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心课后作业：A组专项基础训练 (时间：20分钟)1下列集合中表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合选项C中的集合M表示由直线xy1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线xy1上的所有点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合2设集合A1,2,4，集合Bx|xab，aA，bA，则集合B中的元素个数为()A4 B5 C6 D7答案C解析aA，bA，xab，x2,3,4,5,6,8.B中共有6个元素3已知集合A，则集合A中的元素个数为()A2 B3 C4 D5答案C解析Z，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x的值分别为5,3,1，1，故集合A中的元素个数为4，故选C.4(2015·课标全国)已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则AB等于()A1,0 B0,1 C1,0,1 D0,1,2答案A解析由A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0x|2x1，得AB1,0，故选A.5已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则A(UB)等于()A3 B4 C3,4 D答案A解析U1,2,3,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3，又UB3,4，A(UB)36已知全集UR，集合Ax|lg(x1)0，Bx|3x1，则U(AB)等于()A(，0)(0，) B(0，)C(，1(0，) D(1，)答案C解析lg(x1)00<x111<x0,3x1x0，则AB(1,0，U(AB)(，1(0，)7已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个答案B解析M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224个8已知集合Ax|1<x<0，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为()A(，0 B0，)C(，0) D(0，)答案B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由AB得a0.9已知集合Ax|x22xa>0，且1A，则实数a的取值范围是_答案(，1解析1x|x22xa>0，1x|x22xa0，即12a0，a1.10已知UR，集合Ax|x2x20，Bx|mx10，B(UA)，则m的可能取值组成的集合为_答案0,1，解析A1,2，B时，m0；B1时，m1；B2时，m.11已知集合A(0,1)，(1,1)，(1,2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示点集，AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合，代入验证即可12已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|<3xR|5<x<1，由AB(1，n)可知m<1，则Bx|m<x<2，画出数轴，可得m1，n1.B组专项能力提升(时间：15分钟)13已知集合A(x，y)|ylog2x，B(x，y)|yx22x，则AB的元素有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析在同一直角坐标系下画出函数ylog2x与yx22x的图象，如图所示：由图可知ylog2x与yx22x图象有两个交点，则AB的元素有2个14设集合Ax|>1，xR，Bx|y，则(RA)B等于()Ax|1x1 Bx|1<x<1C1,1 D1答案C解析集合Ax|>1x|1<x<1，Bx|yx|1x1，RAx|x1或x1，(RA)B1,115设集合M，N，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫作集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是()A. B. C. D.答案C解析由已知，可得即0m；即n1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N，所以MN，此时集合MN的“长度”的最小值为，故选C.16已知全集U2，1,0,1,2，集合A，则UA_.答案0解析因为A，当n0时，x2；n1时不合题意；n2时，x2；n3时，x1；n4时，xZ；n1时，x1；n2时，xZ.故A2,2,1，1，又U2，1,0,1,2，所以UA017已知集合Ax|1x<5，Cx|a<xa3若CAC，则a的取值范围是_答案(，1解析因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得<a1.综上，a的取值范围是(，118已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b>0，b1，若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合AB只有一个真子集，那么ybx1(b>0，b1)与ya的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，)专心-专注-专业