线性代数试题及答案(共10页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列的逆序数是。2. 若，则 3. 已知阶矩阵、和满足，其中为阶单位矩阵，则。4. 若为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是_5. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_。6. 设A为三阶可逆阵，则 7.若A为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式，则 9. 向量的模（范数）。10.若与正交，则 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组线性相关且秩为s，则(D)2. 若A为三阶方阵，且，则(A)3设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )4. 设阶矩阵的行列式等于，则等于。c 5. 设阶矩阵，和，则下列说法正确的是。 则 ,则或 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算阶行列式 。2设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求.3求矩阵的逆4. 讨论为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解； 有无穷多解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 6.已知向量组、，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示7. 求矩阵的特征值和特征向量四、证明题（本题总计10分）设为的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）115；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）1、 解： -3分 -6分 -8分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）解：（1）-1分 -5分 （2）-8分3. 设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求. 因A，故 3分 5分 8分4、解： -3分 -6分 故-8分 （利用公式求得结果也正确。）5、解； -3分 （1）唯一解： -5分 （2）无穷多解： -7分 （3）无解： -9分 （利用其他方法求得结果也正确。）6、解：-3分 基础解系为 ，-6分 令，得一特解：-7分 故原方程组的通解为：，其中-9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）7、解：特征方程 从而 (4分)当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为 (7分)当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为 四、证明题（本题总计10 分）证： 由为对应齐次线性方程组的基础解系，则线性无关。(3分) 反证法：设线性相关，则可由线性表示，即： (6分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是的解。这与已知条件为的一个解相矛盾。(9分). 有上可知，线性无关。(10分)(试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列的逆序数是 2.函数 中的系数是 3设三阶方阵A的行列式,则= A/3 4n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 5设向量，=正交，则 6三阶方阵A的特征值为1，2，则 7. 设，则.8. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_9设A为n阶方阵，且2 则 10已知相似于，则 ， 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设n阶矩阵A的行列式等于，则等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是 . (A) 矩阵有个线性无关的特征向量 (B) 矩阵有个特征值 (C) 矩阵的行列式 (D) 矩阵的特征方程没有重根3A为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 (A) (B) (C) (D) 4.设向量组A能由向量组B线性表示，则( )(A) (B)(C) (D)5. 向量组线性相关且秩为r，则 (A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n阶行列式: .2已知矩阵方程，求矩阵,其中. 3. 设阶方阵满足,证明可逆，并求.4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示6已知二次型：， 用正交变换化为标准形，并求出其正交变换矩阵Q四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设, , , , 且向量组线性无关，证明向量组线性无关.(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）1. 17 2. -2 3456-27或8 29、10、二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1、 解： -4分 -7分 -10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）2求解，其中 解：由得 (3分) (6分) (8分)所以 (10分)3解：利用由可得： -5分 即 -7分 故可逆且-10分4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 解： (2分) (4分)则有 (6分)取为自由未知量，令，则通解为： (8分)对应齐次线性方程组的基础解系为： (10分)5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示 解：= (2分) 为一个极大无关组. (4分) 设 ， 解得 ， . (8分) 则有 ， 6 解 的矩阵 (2分)的特征多项式 (4分) 的两个正交的特征向量 , 的特征向量 正交矩阵 8分) 正交变换：标准形 四、证明题（本题总计 10分）若设且向量组线性无关，证明向量组线性无关. 证明：设存在，使得 也即 化简得 又因为线性无关，则 (8分)解得 所以，线性无关.。专心-专注-专业
