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    简谐运动位移公式推导(共3页).docx

    • 资源ID:13921862       资源大小:27.42KB        全文页数:3页
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    简谐运动位移公式推导(共3页).docx

    精选优质文档-倾情为你奉上简谐运动位移公式推导问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图(a)所示,将物体略向右移,在弹簧力作用下,若接触面光滑,m物体将作往复运动,试求位移x与时间t的函数关系式。图(a)分析:m物体在弹力F的作用下运动,显然位移X与弹力F有关,进而由弹簧联想起胡克定律,但结果只有位移与时间,故要把弹力F替换成关于X与t的量,再求解该微分方程。推导:取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴,向右为正。设弹力为F,由胡克定律 F=-kX,K为劲度系数,负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律,m物体加速度a=dvdt=d2Xdt2=Fm=-kmx (1)可令km=2 (2)代入(a),得d2Xdt2=-2X或d2Xdt2+2X=0 (3)显然,想求出位移X与时间t的函数关系式,须解出此微分方程求解:对于d2Xdt2+2X=0,即X+ 2X=0 (4)(4)式属可将阶的二阶微分方程,若设X=u,消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数,那么X=dX"dt= dudxdxdt=ududx ,u dudx+2X=0, u dudx=-2X下面分离变量再求解微分方程,然后两边积分,得udu=-2Xdx得 12u2=- 122 x2+C,即u2=- 2 x2+C1 (5)u=x,x=C1- 2 x2 =dxdt (6)再次分离变量,dxC1- 2 x2=dt (7)两边积分,右边=t,但左边较为复杂,经过仔细思考,笔者给出一种求解方法:运用三角代换,令X=C1cosz(7)式左边化为dcoszsinz=-sinzdzsinz=-dz,两边积分,得 -z=t+C2由此可得, X=C1cos(t+C2),即 X=Acos(t+) (8)其中 A, 皆为常数此方程即为简谐运动方程若=0,X-t为余弦曲线,如图(b)所示图(b)验证:通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线,与X=Acos(t+)图像基本吻合,故可判断X=Acos(t+)即为所求,如图(c)所示。图(c)专心-专注-专业

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