专题-高考中的抽象函数-教师版(共7页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上高考中的抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a>0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a>0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 。 解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ）2. 。2000 .( ,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则 CA.-1 B.1 C. 19 D. 43 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例4. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)例5.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)>0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例6、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，则时，函数的解析式为（ D ） A B C D 解：易知T=2，当时,;当时,.故选D。五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 例7.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1<x2, 则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). （x2-x1>0,f(x2-x1)<0）所以f(x)是R上的减函数, 故f(x)在-3,3上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.f(-3)=-f(3)=6.六、奇偶性问题例8. （1）已知函数f(x)(x0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1B.x=2C.x=D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于x=1对称。例9：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴Û是偶函数；对称中心（a,0）Û是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x)=±T=2f(x)= b-f(-x+a)对称中心6f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例10：已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = f (x)，则f (6)的值为（ B ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2解： 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = f (0) = 0。函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2）（重庆）已知函数满足：，则=_.解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算，寻得周期为6例11. 奇函数f (x)定义在R上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ） A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个解：f (0) = 0x1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.又因为 令x = 0得,=0.(本题C 易错选为A)例12 f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调。求a的值。解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 又 f(x)= f(2-x) f(x)关于x=1对称 T=8 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a =6练习1、函数是偶函数，则的图象关于 x=1 对称。2、函数满足，且，则 -1 。3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且,则 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法4.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= f(x),当0x1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5 5、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ D ）A.4 B.5 C.6 D.76、设函数f(x)的定义域为1,3,且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x 2,3时f(x)= 2x,求当x 1,2时,f(x)的解析式.解:由已知得f(x)=-f(4-x)又当x 1,2时,4-x 2,3,f(4-x)=(4-x) -2(4-x) 由得f(x)=- (x- 4) +2(4-x)当x 1,2时,f(x)=-x +6x-87、（山东）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则-8专心-专注-专业
