高中数学空间几何体的内切球与外接球问题(共6页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上空间几何体的内切球与外接球问题12016·全国卷 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B. C8 D4解析A因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4·()212.22016·全国卷 在封闭的直三棱柱ABC ­ A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.解析B当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，ABBC，AB6，BC8，8r16r110，解得r12，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r23，即r2.球的最大半径为，故V的最大值为×.3.2016·郑州模拟 在平行四边形ABCD中，CBA120°，AD4，对角线BD2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为_答案：；解析：因为CBA120°，所以DAB60°，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)242AB22×4·AB·cos 60°，解得AB2，所以ABBD.折起后平面ABD平面BCD，即有AB平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC2，所以球的体积为.4.2016·山西右玉一中模拟 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为()A. B. C2 D4选A；解析 (1)由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S­ABC的体积最大因为ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径rOCCH××2.在RtSHO中，OHOC，所以SH1，故所求体积的最大值为××22×1.5.2016·赣州模拟 如图7­38­19所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且ABAC，若ADR(R为球O的半径)，则球O的表面积为()图7­38­19A B2 C4 D8选D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC，所以AE，ADR，DE2R，则有R26(2R)2，解得R，所以球的表面积S4R28.6.2016·安徽皖南八校三联 如图所示，已知三棱锥A­BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC，BC2，CD，则球O的表面积为()A12 B7 C9 D8解析A由AC平面BCD，BCCD知三棱锥A­BCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.72016·福建泉州质检 已知A，B，C在球O的球面上，AB1，BC2，ABC60°，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为_答案：20解析 在ABC中用余弦定理求得AC，据勾股定理得BAC为直角，故BC的中点O1即为ABC所在小圆的圆心，则OO1平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半径r，则球O的表面积S4r220.8. 2016·河南中原名校一联 如图K38­16所示，ABCD­A1B1C1D1是边长为1的正方体，S­ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()图K38­16A. B. C. D.选D；解析 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1x，则OB1SO2x，同时由正方体的性质知B1G1，则在RtOB1G1中，由勾股定理得OBG1BOG，即(2x)2x2，解得x，所以球的半径R2，所以球的表面积S4R2.92013·课标全国如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：设球半径为R，由题可知R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为×53(cm3)，故选A项答案：A10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12B36C72D108选B；解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×6，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4×3236.112014·石家庄质检一已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120°，则球O的表面积为()A. B. C4 D.解析：如图，球心O在截面ABC的射影为ABC的外接圆的圆心O.由题意知OO1，OAR，其中R为球O的半径在ABC中，AC 2.设ABC的外接圆半径为r，则2r4，得r2，即OA2.在RtOO1A中，OOO1A2OA2，即4R2，解得R2，故球O的表面积S4R2，故选A.答案：A122014·郑州模拟在三棱锥A­BCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R243.答案：43132014·全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案：A；解析 如图所示，E为AC与BD的交点因为正四棱锥的底面边长为2，所以AEAC.设球心为O，球的半径为R，则OE4R，OAR.又因为AOE为直角三角形，所以OA2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以该球的表面积S4R242.142016·湖南八校联考 如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为()A8 B16 C32 D64答案：C；解析 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4×(2)232.15已知四棱锥S ­ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616，则球O的体积等于()A. B. C. D.答案：D；解析 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球O的半径为R，则AC2R，SOR，ABR，则有(R)24××R·1616，解得R2，球O的体积是R3.162016·武汉调研 已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC90°，则该球的体积等于_答案：4；解析 设该球的球心为O，ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1平面ABC且OO11.在ABC中，因为ABAC2，BAC90°，所以ABC外接圆的半径rBC，所以该球的半径R，所以该球的体积VR34. 专心-专注-专业