人教版八年级数学上册-期中复习讲义(带解析)(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上期中复习7 题型一：轴对称思路导航典题精练【例1】 如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为EBD，那么下列说法错误的是（）AEBD是等腰三角形，EB=EDB折叠后ABE和CBD一定相等C折叠后得到的图形是轴对称图形DEBA和EDC一定是全等三角形【解析】ABCD为矩形A=C=90°，AB=CDAEB=CEDAEBCED（第四个正确）BE=DE（第一个正确）ABE=CDE（第二个不正确）EBAEDC，EBD是等腰三角形过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴（第三个正确）故选B将一个矩形纸片依次按图、图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，最后将图的纸再展开铺平，所得到的图案是（）【解析】A【例2】 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线作出图形并说明理由【解析】沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，A、E关于ON对称，AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，ET+TR+FREF，AC+CD+DBAT+TR+BR，即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线 题型二：全等三角形思路导航来源:典题精练【例3】 如图，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG请你确定ADG的形状，并证明你的结论【解析】连接DG，则ADG是等腰三角形BE、CF分别是AC、AB两边上的高，AFC=AEB=90°ACG=DBA又BD=CA，AB=GC，ABDGCA；AG=AD，ADG是等腰三角形【例4】 ABC中，CAB=CBA=50°，O为ABC内一点，OAB=10°，OBC=20°，求OCA的度数 【解析】作CDAB于D，延长BO交CD于P，连接PA，CAB=CBA=50°，AC=BC，AD=BD，CAB=CBA=50°，ACB=80°，ABC=ACB=50°，OBC=20°，CBP=OBC=20°=CAP，PAO=CAB-CAP-OAB=50°-20°-10°=20°=CAP，POA=OBA+OAB=10°+50°-20°=40°=ACD，在CAP和OAP中， ACPAOP，CAPOAPCAPOAP，AC=OA，ACO=AOC，OCA=（180°-CAO）=180°-（CAB-OAB）=（180°-40°）=70°【例5】 在RtABC中，ACB=90°，A=30°，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG=60°，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BNG=60°，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由【解析】在RtABC中，ACB=90°，A=30°，ABC=60°，BC=ABBD平分ABC，CBD=DBA=A=30°DA=DBDEAB于点EAE=BE=ABBC=BEEBC是等边三角形；结论：AD=DG+DM证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，ACB=90°，A=30°，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E，ADE=BDE=60°，AD=BD，又DM=DN，NDM是等边三角形，MN=DM，在NGM和DBM中，NMDB，MNDM，NMCDMBNGMDBM，BD=NG=DG+DM，AD=DG+DM结论：AD=DG-DN证明：延长BD至H，使得DH=DN由得DA=DB，A=30°DEAB于点E2=3=60°4=5=60°NDH是等边三角形NH=ND，H=6=60°H=2BNG=60°，BNG+7=6+7即DNG=HNB在DNG和HNB中，DNHN，DNGHNB，H2DNGHNB（ASA）DG=HBHB=HD+DB=ND+AD，DG=ND+ADAD=DG-ND题型三：因式分解典题精练【例6】 已知四个实数a、b、c、d，且ab，cd满足：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8求a+c的值；分别求a、b、c、d的值【解析】由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，得（a+c）2=a2+c2+2ac=12，a+c=由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，ab，cd，a+b+c=0，a+c+d=0，b=d=-（a+c），又（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4当a+c=时，a-c=，解得：a=，c=，b=d=；当a+c=时，a-c=，解得：a=，c=，b=d=【例7】 设a1=3212，a2=5232，an=（n为大于0的自然数）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）【解析】an=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，又n为非零的自然数，an是8的倍数这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数思维拓展训练(选讲)训练1. 阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合探究发现ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？（回答“是”或“不是”）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为 应用提升小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角【解析】ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，B=AA1B1；又将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C，B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；B=3C；如图所示，在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则BAC是ABC的好角证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180°，B=3C；由小丽展示的情形一知，当B=C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当B=2C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当B=3C时，BAC是ABC的好角；故若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC；由知设A=4°，C是好角，B=4n°；A是好角，C=mB=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：来源:学#科#网如图，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点E，求证：BPOPDE理清思路，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程特殊位置，证明结论若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD【解析】证明：PB=PD，2=PBD，AB=BC，ABC=90°，C=45°，BOAC，1=45°，1=C=45°，3=PBC-1，4=2-C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90°，在BPO和PDE中34，BOPPED，BPPDBPOPDE（AAS）；证明：由可得：3=4，BP平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP和CPD中AC，ABP4，PBPDABPCPD（AAS），AP=CD训练3. 因式分解【解析】训练4. 按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作现有数2和3求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由【解析】a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，取3和11，c2=3×11+3+11=47，取11与47，c3=11×47+11+47=575，扩充的最大新数575；5183可以扩充得到c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）-1，e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m（b+1）n，（式中m、n为整数）当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到复习巩固题型一 轴对称 巩固练习【练习1】 如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2来源:Z§xx§【解析】两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；故答案为：2题型二 全等三角形 巩固练习【练习2】 在等边ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）A4 B5 C6 D8【解析】COP=A+APO=POD+COD，A=POD=60°，APO=COD在APO和COD中，AC，APOCOD，OPODAPOCOD（AAS），AP=CO，CO=AC-AO=6，AP=6故选C【练习3】 如图，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N试说明：FG=（AB+BC+AC）；如图，BD、CE分别是ABC的内角平分线；如图，BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线则在图、图两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由【解析】证明：AFBD，ABF=MBF，来源:学#科#网Z#X#X#KBAF=BMF，MB=AB，AF=MF，同理可说明：CN=AC，AG=NGFG是AMN的中位线，FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）来源:学#科#网Z#X#X#K图中，FG=（AB+AC-BC）图中，FG=（AC+BC-AB）如图，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC），如图延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB）题型三 因式分解 巩固练习【练习4】 分解因式：【解析】 原式=（x2+y2）2-2x2y2+（x2+2xy+y2）2-2，=（x2+y2）2-2x2y2+（x2+y2）2+4xy（x2+y2）+4x2y2-2，=2（x2+y2）2+2x2y2+4xy（x2+y2）-2，=2（x2+y2）2+x2y2+2xy（x2+y2）-1，=2（x2+xy+y2）2-1，=2（x2+xy+y2-1）（x2+xy+y2+1）【练习5】 图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形图中的阴影部分的面积为 ；观察图请你写出三个代数式、mn之间的等量关系是 ；若x+y=7，xy=10，则 ；实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了 试画出一个几何图形，使它的面积能表示【解析】（1）阴影部分的边长为（m-n），阴影部分的面积为（m-n）2；（2）（m+n）2-（m-n）2=4mn；（3）（x-y）2=（x+y）2-4xy=72-40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。很多人想听听他成功的方法。他却淡淡一笑，说：“还是我出道题考考你们吧！”“某处发现了金矿，人们一窝蜂地涌了过去，然而一条河挡住了他们的去路。这时，如果是你，你将怎么办？”有人说绕道走，也有人说游过去。嘉宾只笑不说话，过了很久他才说：“为什么非要去淘金呢？不如买船从事运送淘金者的营生。”众人愕然。是啊，那种情形下，即便你将那些淘金者宰得身无分文，他们也心甘情愿呀-因为过去就是金矿！成功往往就隐藏在别人没有注意的地方，假如你能发现它，抓住它，利用它，那么，你就会有机会获得成功。敢于创新，变换思维去想问题，会得到意想不到的惊喜。今天我学到了 第十五种品格：创新专心-专注-专业