整式的加减(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上整式的加减概念总汇1、整式加减的有关概念（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。如： 6x2y2和-4x2y2就是同类项，3和5也是同类项；但与就不是同类项，因为相同字母的指数不相同。（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。如：6x2y2（-4x2y2）2x2y2说明：只有同类项才可合并，不是同类项的不能合并； 合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数不变； 合并同类项后若其系数是带分数，要把它化成假分数； 多项式中，如果两同类项的系数互为相反数，合并后这两项互相抵消，结果为0。（3）去括号法则：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号。如：A+（5A+3B）（A2B）A+5A+3B-A+2B5A+5B。说明：去括号法则相当于乘法分配律的应用，如：A+（5A+3B）（A2B）A+1×(5A+3B)+（1）×(A-2B)A+5A+3B+(-1)A+(-1)×(-2B)A+5A+3B-A+2B=5A+5B。如果括号前面有数字因数，就按乘法分配律去括号。如：（3a2-2ab+4b2）-2(a2-ab-3b2) =a2-ab+2b2-a2+2ab+6b2=ab+8b2（4）添括号法则：给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号。说明：去括号与添括号是互逆的过程，它们的依据是乘法分配律的顺逆运用。可把+（a-b）看作（+1）（a-b），把-（a-b）看作（-1）（a-b）则有+（a-b）=a-b，-（a-b）= -a+b，这样乘法分配律的一个应用便是去括号；添括号可理解为乘法分配律的逆用。2、整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：如果遇到括号，按去括号法则去括号；合并同类项.。说明：整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0，不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉，在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求：结果按照某个字母的降幂或升幂排列；每一项的数字系数写前面；结果不出现带分数；带分数要化成假分数；结果不出现“÷”号，“÷”改写成分数的形式；结果中不再有括号（一般情况）。方法引导 1、同类项的概念及合并同类项的注意点例1 已知代数式是同类项，那么a、b的值是( )A. B. C. D. 难度等级：A解：依题意得故选A.【知识体验】要使含字母的单项式是同类项，则必须满足两个条件：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数也相同这里两个单项式都含有字母x，y，因此还需满足x的指数和y的指数分别相等。【搭配练习】1、 若单项式和是同类项，求m、n的值2、 已知与是同类项，求m-n的值例2 三角形的周长为48，第一边长为3a+2b,第二边的2倍比第一边少a-2b+2,求第三边长是多少？难度等级：A 解：48-（3a+2b）-(3a+2b)-(a-2b+2) =48-3a-2b-(2a+4b-2) =48-3a-2b-a-2b+1=49-4a-4b.答：第三边长为49-4a-4b. 【知识体验】本题已知三角形的周长和一边，又已知第二边的2倍比第一边少a-2b+2,，所以可以用代数式表示第二边，用周长减去第一边的长，再减去第二边的长就得到第三边的长。运算过程用到去括号、合并同类项，其中去括号就是乘法分配律的应用。【解题技巧】在运算中，遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。要注意是同类项才能合并成一项，不是同类项不能合并，就照抄下来即可。【搭配练习】已知一个三角形的周长为，第一条边长为，第二条边比第一条的2倍还少2，试求第三条边2、求代数式值要注意的问题（1）化简求值法例3若，求代数式的值？难度等级：B解：当时，原式【知识体验】求代数式的值的常用方法是先化简再把字母的值代入化简式求值。本题是个分数，代数式又比较繁琐，如果直接代入计算，运算量很大而且易错，所以要先化简再代入求值。这种求代数值值的方法叫“化简求值法”。【解题技巧】先化简再代值是求代数式值的一般方法。化简时用乘法分配律去括号，要注意括号外面的因数要与括号内的每一项相乘，不要只与首项相乘，忘了与其它项相乘。【搭配练习】 先化简，再求值。 1、，其中x=22、，其中x=2，y=1.（2）整体代入法例4 若，求代数式的值？难度等级：B解：当时， ，所以【知识体验】本例题中并没直接给出a，b的值，观察到互为倒数，可把分别看作一个“整体”，将“整体”的值直接代入求值式，这样就可以避免求其中字母的值，简化了求值过程。这种求代数式值的方法叫整体代入法。【解题技巧】求代数式的值，一般用化简求值法，只有当所给的题目有一定的特殊性，我们观察到含未知数的部分可以们用整体代入法，这样会使运算简便，问题得解。【搭配练习】 1、当时，求的值。2、已知，求的值例题讲解(一）题型分类全析1、整式加减类型题整式包括单项式和多项式，因此，整式的加减就包括单项式与单项式、单项式与多项式及多项式与多项式的加减.。求两个多项式的和或差时，要把每个多项式应作为一个整体，用括号括起来，再进行加或减，然后去掉括号，合并同类项，化简。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算中，有括号要先去括号.去括号时一定要注意括号前的符号，如（x2+x）-(1-3x+2x2)=x2+x-1+3x-2x2=-x2+4x-1,要特别注意括号前是负号的时候，不要只对括号中的首项变号，其他项也要变号。例1：求与的和与差。难度等级：A【思维直现】本题有两问，一问是求两个多项式的和，一问是求两个多项式的差，就和时将两个多项式相加即可，求差时要把每个多项式看成一个整体，加括号相减，然后去括号合并同类项。解：（1）与的和：（2）与的差：【阅读笔记】审题要清晰，本题有两问，不要漏掉一问。求差将两个多项式相减时要给多项式加括号，然后再去括号，括号前是负号，去括号时，每一项都要变号，不要只变首项，其余项不变。【题评解说】本题是多项式的加减法的常规题，解题时要注意把每个多项式看成一个整体加括号，然后再相加减。后面去括号、合并同类项要要一步一步的算，不要着急不写步骤出错。【建议】去括号时一定要看清括号前是正号还是负号，按去括号法则运算，遇到括号前是负号，一定要注意去掉括号后，括号中的每一项都要变号。【搭配练习】 1、求多项式2x-3y与5x+4y的和2、求多项式8a-7b与4a-5b的差例2：.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2, 并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式.难度等级：B【思维直现】已知A+B+C=0,还知道A和B的多项式，求C表示什么多项式，这里C就是(A+B)的相反数，所以求A+B,再取相反数就可以了。 解: A+B+C=0 C=-(A+B)又A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2 C=-(a2+b2-c2)+(-4a2+2b2+3c2) =-a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2 =-3a2+3b2+2c2=3a2-3b2-2c2 C是3a2-3b2-2c2【阅读笔记】已知多项式的和及其中几个加数，求另一个加数的问题，用减法解决，即用和减去每一个加数。实质就是多项式的减法，要分清被减数和减数，去括号时要注意去括号法则。【题评解说】本题虽然考的也是多项式的加减法，但问法不同，要学生自己思考出多项式之间的运算关系，然后计算。在进行运算时要注意把每个多项式当作一个整体，这是整体思想；要把A用a2+b2-c2代替，这是换元的思想，本题用到的数学思想要仔细体会。【建议】把多项式作为整体代换时，特别应注意各项符号的变化.【搭配练习】 已知多项式，且A+B+C=0，则C为（ ） （A） （B）（C） （D）例3 已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红年龄的还多1岁，求这三名同学的年龄之和是多少？难度等级：B 【思维直现】已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，可以用含m的代数式表示小红的年龄；小华的年龄比小红年龄的还多1岁，可以用含m的代数式表示小华的年龄，这样三个人的年龄和就是三个多项式的和。 解：m+(2m-4)+(2m-4)+1 =m+2m-4+m-2+1=4m-5答：这三名同学的年龄之和是（4m-5）岁.【阅读笔记】要用含m的代数式把小红、小华的年龄都表示出来，才能求三个人的年龄和。审题时要注意，小红的年龄与小明的有关，小华的年龄与小红的有关，所以要先用代数式表示小红的年龄，再用代数式表示小明的年龄，然后求三个代数式的和。【题评解说】本题用到了多项式求和的知识，但要先理解题意列代数式，所以考了两个知识点，有一点的综合性。很多学生难在列代数式上，由于审题不仔细列错了代数式，以为小华的年龄也是与小明有关。【建议】列式要体现问题的实际意义，然后进行化简.结果4m-5要加括号，再写单位。【搭配练习】某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克2、求代数式值的题型例4 已知：|x+2|+(y+1)2 =0，求的值。难度等级：B【思维直现】求代数式值的题目一般先化简再求值，需要知道字母的值。本题没有给出字母的值，需要先求出字母的值。解：x+2=0，y+1=0x=-2，y=-1当x=-2，y=-1时，原式【阅读笔记】绝对值和平方数都是非负数，几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零，这样就得到了关于字母的方程，可以求出字母的值，然后先化简再代值计算。整个过程书写要有步骤。【题评解说】本题是要用化简求值的方法求代数式的值，条件是要知道代数式中字母的值，而字母的值已知中没有直接给出，要先通过所给你的已知求出。在求字母值时要用到“几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零”这个知识点，所以本题有一点综合性。【建议】理解和熟记“几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零”，有很多问题解决时要用到这个结论。【搭配练习】已知，求的值。例5设a= -0.7，b=0.49，求代数式的值：难度等级：B【思维直现】本题要是先化简再求值，数字很奇怪，运算量会很大，而且都是分数和小数的运算，所以观察代数式，发现如果直接代值，前面两个括号的值为0，这样使计算变得简单起来。解：a=-0.7，b=0.49a+2b-0.28=-0.7+0.98-0.28=03a-b=3×(-0.7）-4.9= -2.59原式=12.95【阅读笔记】本题求代数式的值是先代入求值的方法。即根据求值式的结构特征，直接代入求值。如果先将求值式化简，反而破坏了代数式的结构特征，失去化简求值过程的时机。所以，观察代数式的特征，选择适当的方法可以简化运算，提高准确率。【题评解说】本题介绍了一种先代入求值的方法，根据求值式的结构特征，直接代入求值。题目不难，关键是学习这种方法，让学生意识到求值的方法很多，要根据题目的特征选择合适的方法。【建议】知道先代入求值的方法。要明白为何不化简而直接代值，目的只有一个就是简化运算，提高准确率。例6：已知：，当a=1,b=2时，求A-2B+3C的值，难度等级：B【思维直现】此题有两种解法，一种为将a与b的值代入A、B、C中，可以得到A、B、C的值，再将A、B、C的值代入A-2B+3C中可以得到所求值，但这种做法，计算步骤多，容易出错，不如用第二种方法。第二种方法为：将A、B、C代入A-2B+3C，先化简得到关于a，b的式子，再将a，b的值代，用一步计算就可以算出所求的值。解：选用第二种方法，先化简再求值：， a=1,b=2原式 =50-3+5+6-6 =52【阅读笔记】这种所求代数式中字母又是一个多项式的求值题，要先观察如果将值代入字母中，先求字母的值是否简单（比如0），如果值不简单，运算也比较复杂，那就应该先将字母用多项式代替，将代数式先化简，再代入求值，这样可以少一次具体的计算，可以减少出错的机会，提高准确率。【题评解说】本题解法很多，但要选择简便一点的计算方法，是要仔细观察和动手先算一算的。所以选择合适的方法是本题的难点，另一个难点是运算量较大。题目不是难而是运算较复杂。【建议】要注意方法的选择，要学会如何选择较为简便的方法。【搭配练习】已知m2与-2n2的和为A，1+n2与-2m2的差为B，求2A-4B（二）思维重点突破例7 两个多项式的次数都是n，这两个多项式的差的次数能否小于n？为什么？难度等级：C【思维直现】本题没有给出具体的多项式，如果用特例判断差的次数能否小于n，可以回答第一问，却不能完整回答第二问，所以要先把多项式的一般情况设出来，通过计算说明问题。解：次数为n的多项式可表示为：a0xn+a1xn-1+an-x+an,由题意设第一个多项式为：a0xn+a1xn-1+an-1x+an,第二个多项式为：b0xn+b1xn-1+bn-1x+bn两个多项式的差为： （a0xn+a1xn-1+an-1x+an,）-（b0xn+b1xn-1+bn-1x+bn） =(a0-b0)xn+(a1-b1)xn-1+(an-1-bn-1)x+(an-bn).当a0=b0时，两个多项式差的次数小于n;当a0b0时，两个多项式差的次数等于n.【阅读笔记】问答题如何答？只用特例回答可以吗？特例法在解答填空和选择题时可以用，在问答题里要严密回答问题就不可以了，所以本题设多项式的一般形式，这种方法要掌握。【题评解说】这是一道没有给具体的多项式，但给了多项式和的次数，判断差的次数的题目。如果只回答第一问，可以用特例回答，但本题还要回答问什么，这就要有推理判断的过程了，这样题目的难度就加大了许多。【建议】仔细体会本题的解答过程，掌握问答题的答题步骤。【搭配练习】 如果A是x的3次多项式，B是x的5次多项式，那么A-B是（ ）A3次多项式 B2次多项式 C8次多项式 D5次多项式例8已知，求的值？难度等级：C【思维直现】本题是求代数式值的题目，没有给代数式中字母的值，而且字母的值也不好求，所以考虑能否用整体代入法解此题。解：原式=5×5-10=15【阅读笔记】本题因为没有给字母的值，字母的值也比较难求，所以考虑用整体代入法，从已知中找到代表“整体”的代数式。要将所求代数式都化成“整体”可以代入的形式，这是解题的关键。【题评解说】本题求代数式的值是使用整体代入法，即将已知式整体代入求值式。这样可以避免求式中字母的值，从而简化了求值过程。【建议】注意体会在整理代数式时要把代数式化成可将“整体”代入的形式，转化的方向是由可整体代入来指导的。【搭配练习】已知，代数式，求时，代数式的值。例9已知A2x24xy2x3，Bx2xy2。且3A6B的值与x无关，你能求出y的值吗？难度等级：C【思维直现】本题提出了合并后的式子是值，并且与x无关，那么从此可以推断出y是一个未知的常数，A和B是关于x的多项式，所以要先算出3A+6B的值。解：将A2x24xy2x3，Bx2xy2代入3A6B得：3A6B3（2x24xy2x3）6（x2xy2）6x212xy6x96x26xy1218xy6x3（18y6）x3。因为3A6B的值与x无关，所以18y60，所以y。【阅读笔记】本题出现了2个字母，根据最后结果是一个准确值，可以判断出合并后的结果是一个常数，那么就要先化简，看合并后的含有x项的系数，并且该系数应该为0【题评解说】本题是一种新的说法，“与x的取值无关”，那也就是说无论x取任何值，对式子的最后结果都没有影响，所以该题考察的是学生的思维能力，如何去用数学式子表述题目的意思。【建议】在解题时，时刻牢记题目的主体，还是要求化简，那么先合并同类项，从合并的结果出发，联合题中其他的条件，认真分析。【搭配练习】 （3xyz2yx3）（xyz24xy1）（2xyz2xy）的结果（ ） A. 与x、y、z的大小无关 B. 与x、y的大小有关，而与z的大小无关 C. 与x的大小有关，而与y、z的大小无关 D. 与x、y、z的大小有关课后作业A类作业：一、填空题1、化简： ， 。2、二、选择题1、下列去括号正确的是（ ）A. B. C. D. 三、解答题1、合并下列各式的同类项：（1）xy2-xy2； （2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； （3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b22、求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值，其中a=-，b=2，c=-33、水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？4、化简下列各式： （1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）B类作业：一、选择题1、若，则（ ）A. B. 2 C. D. 2、一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为，另一边比它大，则长方形的周长是（ ）A. B. C. D. 二、填空题1、2、个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为_.三、解答题1、 先化简再求代数式的值：5a 2a 2（5a 22a ）2（a 23a ），其中a ；2、设一个多项式与多项式的差比小，求这个多项式。3、大客车上原有(3a-b)人,中途下车一半人,又上车若干人,这时车上共有乘客(8a-5b)人,问上车乘客是多少人?当a=10, b=8时,上车乘客是多少人?C类作业：1、设多项式A和B都是五次多项式，那么A+B一定是（ ）A. 五次多项式 B. 十次多项式C. 次数不高于五次的整式D. 次数不低于五次的整式2、如果a-b=，那么-3（b-a）的值是（ ） A- B C D3、已知,求的值4、若代数式的值与字母的取值无关，求多项式的值。5、两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时 （1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？6、周长相同的正方形和圆，哪一个面积比较大？(提示：用字母表示其周长)7、某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？8、如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为2，求阴影部分的面积专心-专注-专业