三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性(共22页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上考点56 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性1.（13大纲T12）已知函数，下列结论中错误的是 （ ）A.的图象关于中心对称 B.的图象关于直线对称C.的最大值为 D.既奇函数，又是周期函数【测量目标】三角函数的周期性、最值，对称性.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】A项，因为的图象关于点中心对称，故正确.（步骤1）B项，因为所以的图象关于直线对称，故正确，(步骤2)C项，由题意知.令，则.（步骤3）令，得.当时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为. ，即的最大值为.故选C.（步骤4）D项，由知其为奇函数，综合选项A、B知为周期函数，故正确.(步骤5)2.（13辽宁T17）设向量（I）若求的值； （）设函数，求的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】（） （步骤1）又，. （步骤2）（）当时，取最大值1. （步骤3）的最大值为. （步骤4）3.(13天津T15)已知函数. () 求f (x)的最小正周期; () 求f (x)在区间上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性和最值.【难易程度】容易【试题解析】(I)，故的最小正周期；（步骤1）(II)因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，并且，故在上的最大值为，最小值为.（步骤2）4（13上海T21）已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为，根据题意有（步骤1）(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，（步骤2）故若在上至少含有30个零点，则的最小值（步骤3）5.（13新课标 T15）设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【测量目标】三角恒等变换，利用三角函数求最值.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】f(x)sin x2cos x，（步骤1）令cos ，sin ，则f(x)sin(x)，（步骤2）当x2k(kZ)时，sin(x)有最大值1，f(x)有最大值，（步骤3）即2k(kZ)，所以cos sin .（步骤4）6.（13江西T11）函数的最小正周期为为 .【测量目标】三角函数的周期.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】，故最小正周期为. 7.(13江苏T1)函数的最小正周期为 .【测量目标】三角函数的周期性.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】函数的最小正周期.8(13安徽T16)已知函数f(x)4cos x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数的图象与性质，三角函数的 单调性、周期性.【难易程度】中等【试题解析】(1)f(x)4cos xsinsin xcos xcos2x(sin 2xcos 2x).(步骤1)因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.（步骤2）(2)由(1)知，f(x).若0x，则.（步骤3）当，即时，f(x)单调递增；当，即时，f(x)单调递减（步骤4）综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减（步骤5）9.（13陕西T16）已知向量,设函数.(1)求的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的周期、最值.【难易程度】容易【试题解析】.（步骤1）（1）最小正周期为,即函数的最小正周期为.（步骤2）（2）（步骤3）由正弦函数图象的性质得，当，即时，取得最大值1.（步骤4）当，即时，.（步骤5）当，即时，（步骤6）的最小值为.因此，在上的最大值是1，最小值是.（步骤7）10（13浙江T4）已知函数，则“是奇函数”是的（ ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式和三角函数的奇偶性.【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】若=，则f(x)=Acos(x+)f(x)=Asin(x)(A0，0，xR)是奇函数；若f(x)是奇函数f(0)=0，f(0)=Acos(×0+)=Acos=0.=k+，kZ，不一定有=，“f(x)是奇函数”是“=”必要不充分条件.故选B.11（12湖北T17）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【难易程度】容易【试题解析】（I）因为 （步骤1）.由直线是图象的一条对称轴，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期为. （步骤2） （II）由的图象过点，得，（步骤3） 即即. 故（步骤4） 由有 所以，得 故函数在上的取值范围为.（步骤5）12.（12安徽T16）设函数.（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式.【测量目标】两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的性质，求分段函数解析式.【难易程度】中等【试题解析】.（步骤1）（1）函数的最小正周期.（步骤2）（2）当时，（步骤3）当时， ，当时， .（步骤4）得：函数在上的解析式为（步骤5）13.（12北京T15）已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间. 【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性.【难易程度】容易【试题解析】=，(步骤1)(1) 原函数的定义域为，最小正周期为；（步骤2）(2) 由.解得又,原函数的单调递增区间为，. （步骤3）14.（12天津T15）已知函数.()求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性、最值.【难易程度】中等【试题解析】() （步骤1） 函数的最小正周期为（步骤2）（）（步骤3） 当时，当时， （步骤4）15.(12新课标T9)已知 >0,函数在单调递减，则的取值范围是( ) 【测量目标】三角函数的单调性.【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】由题意得，函数的单调递减区间为,则，(步骤1)所以，则，解得.(步骤2)故选A.16(11福建T9)对于函数(其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 （）A和 B和 C和 D和【测量目标】三角函数的奇偶性【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】，因为，则为偶数，四个选项中，只有D，不是偶数17.（11上海T8）函数的最大值为 【测量目标】三角函数的最值.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】= =.18.（11安徽T9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D.【测量目标】三角函数的单调性、最值.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】对时，恒成立，所以，可得，（步骤1）因为，故，所以，所以，（步骤2）函数单调递增区间为，所以,答案为C. （步骤3）19（11北京T15）已知函数.（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值.【测量目标】函数的图像及其变换，两角和的正弦.【难易程度】中等【试题解析】（）因为(步骤1) （步骤2）所以的最小正周期为（步骤3）（）因为于是，当时，取得最大值2；（步骤4）当取得最小值.（步骤5）20.(11全国T5)设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于 （ ）A. B. C. D.【测量目标】三角函数的周期性,三角函数图象的平移变换.【参考答案】C【试题解析】由题意得,解得,又,令,得.21（11山东T6）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 ( )A. B. C. D. 【测量目标】三角函数的单调性.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，答案应选C.另解1：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C.另解2：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C.另解3：由题意可知当时，函数取得最大值，则，结合选择项即可得答案应选C.22（11四川T17） 已知函数.( 1 )求的最小正周期和最小值；（2）已知，求证：【测量目标】两角和差的正余弦，三角函数的周期性、最值.【难易程度】中等.【试题解析】(1)（步骤1）(2)（步骤2）23.（11新课标T11）设函数的最小正周期为，且，则 （ ） A.在单调递减 B.在单调递减 C.在单调递增D.在单调递增【测量目标】三角函数的周期性、奇偶性、单调性.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】，所以，（步骤1）又为偶函数，选A（步骤2）24.（11新课标T16）在中，则的最大值为 .【测量目标】正弦定理、三角函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】,（步骤1）；（步骤2），故最大值是.（步骤3）25（11重庆T16）设满足，求函数f(x)在上的最大值和最小值【测量目标】由的部分图象求解析式，利用函数的单调性求最值,二倍角.【难易程度】中等【试题解析】=(步骤1)由得解得所以，(步骤2)所以时，是增函数，(步骤3)所以 时，是减函数，(步骤4)函数在上的最大值是：；(步骤5)又，；(步骤6)所以函数f(x)在上的最小值为：；(步骤7)26（10湖北T16）已知函数，（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性、最值.【难易程度】容易【试题解析】（I） = 的最小正周期为.（步骤1） （II）当时，取得最大值.（步骤2）取得最大值时，对应的的集合为.（步骤3）27.（10陕西T3）对于函数，下列选项中正确的是 （ ） A.在（，）上是递增的 B.的图象关于原点对称 C.的最小正周期为2 D.的最大值为2【测量目标】三角函数的单调性、对称性、周期性、最值.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】，易知在上是递减的，选项错误.，易知为奇函数，的图象关于原点对称，选项正确.，选项错误.，的最大值为，选项错误.故综上知，本题应选.28（10湖南T16）已知函数（）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点.【难易程度】中等【试题解析】（）因为（步骤1）所以，当即时，函数取得最大值1（步骤2）（II）解法1 由（）及得（步骤3），所以或即或（步骤4）故函数的零点的集合为（步骤5） 解法2 由得，（步骤3）于是或即（步骤4）由可知；由可知（步骤5）故函数的零点的集合为（步骤6）29.（10广东T16）已知函数在时取得最大值为4.(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若，求sin【测量目标】函数的性质，三角函数的周期性.【难易程度】中等【试题解析】（1）.（步骤1）（2）由最大值为4，,，即，（步骤2）.（步骤4）（3），即，（步骤5），.（步骤6）30.（10上海T22）若实数、满足，则称比远离.（1）若比1远离0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】（1），或（舍去）（步骤1）；（步骤2）（2）对任意两个不相等的正数、，有，（步骤3），即比远离；（步骤4）（3），（步骤5）性质：1° 是偶函数，图象关于轴对称；2° 是周期函数，最小正周期；3°函数在区间（）单调递增，在区间（）单调递减；4°函数的值域为（步骤6）31.（10天津T17）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值.【测量目标】三角函数、二倍角公式和三角函数的周期、最值.【难易程度】中等【试题解析】 （1）由，得所以函数的最小正周期为(步骤1)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为（步骤2）（）由（1）可知又因为，所以由，得从而所以（步骤3）32（10浙江T11）函数的最小正周期是_ 【测量目标】二倍角，两角和与差的正弦，三角函数的周期性 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】 =（步骤1）=（步骤2），故最小正周期为,故答案为：.33. (10安徽T9)动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 （ ）A. 0，1B. 1，7C. 7，12D. 0，1和7，12【测量目标】平面解析几何.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由于12秒旋转一周，则每秒转过=，而时，=sin，那么动点的纵坐标关于的函数关系式为=sin（+）（ 0，12），（步骤1）则对应的单调递增区间为+， +，（步骤2）则有 125，12+1，由于 0，12，则当时， 0，1，当时， 7，12；（步骤3）34.（09湖南T11）若则2tanx+tan(x)的最小值为 .【测量目标】诱导公式，基本不等式求最值.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】,（步骤1）（当且仅当时，等号成立.）（步骤2）故答案为：.35.（09全国 T16） 若，则函数的最大值为 .【测量目标】三角函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】令, 36.（09安徽T8）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 （ ）A. B.学科网C. D.学科网【测量目标】两角和的余弦，三角函数的单调性，函数的图象、性质及其变换.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】(步骤1)由题设的周期为，（步骤2）由得,故选C.（步骤3）37.（09山东T17）设函数.(1) 求函数的最大值和最小正周期.(2) 设，为的三个内角，若，且为锐角，求.【测量目标】三角函数的最值、周期性，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦，二倍角.【难易程度】容易【试题解析】（1）函数的最大值为,最小正周期.（步骤1）（2）,（步骤2）为锐角,（步骤3）.（步骤4）38.（09江西T4）若函数，则的最大值为 （ ）A.1 B.2 C. D. 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的最值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】.（步骤1）当时，. 故选B.（步骤2）39（09上海T6）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是_【测量目标】三角函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】1【试题解析】=1+（步骤1）当=2k，有最小值1，故答案为1.（步骤2）40（09上海T12）已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列an满足an（,），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，则当k=_时，f（ak）=0【测量目标】三角函数的奇偶性.【难易程度】中等【参考答案】14【试题解析】因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图像关于原点对称，图像过原点（步骤1）而等差数列an有27项，an（,）若f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14故答案为：14.（步骤2）41（09重庆T16）设函数（）求的最小正周期 （）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值【测量目标】三角函数的周期性、最值和两角和与差的正弦.【难易程度】容易.【试题解析】（）= = =（步骤1）故的最小正周期为 =8（步骤2）()解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点由题设条件，点在的图象上，从而 （步骤3） 当时，因此在区间上的最大值为（步骤4）解法二：因区间关于的对称区间为，且与的图象关于对称，故在上的最大值为在上的最大值（步骤1）由（）知，当时，因此在上的最大值为（步骤2）专心-专注-专业