与二次函数与三角形面积或相似问题(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上1、如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3 911AB图2（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得 二次函数的表达式为 （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得 ，解得m0，不合题意，舍去 m=6点P与点Q关于对称轴对称，点Q到x轴的距离为62、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E.过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为（4，8） 1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4抛物线的解析式为：y=-x2+4x 3分（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t点的坐标为（4+t，8-t）.点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，当t=4时，线段EG最长为2. 7分共有三个时刻. 8分t1=， t2=，t3= 11分3，已知二次函数解析式为y=-2x-3, 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。问：是否存在直线y=kx+b交抛物线于P、Q两点，使y轴平分CPQ的面积，若存在，求出k、b满足的条件。若不存在，说明理由。答：存在k=-2，b-3使y轴平分CPQ的面积。解：过P作PMy轴于M，QNy轴于NXYy轴平分CPQ的面积=PM=QN -=联立-（2+k）x-3-b=0+=2+k=0 k=-2又=-3-b0 b-3反思： 这类题其实根据所给出的几何特性：y轴平分CPQ面积，将等分面积的问题转化为线段相等的问题，即P、Q到y轴的距离相等，再将线段相等转化为点的坐标关系，即：-=建立方程，得出本题的解，完成了从形到数的转化。,4、已知二次函数。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。解（1）因为=所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2分）（2）设x1、x2是的两个根，则，因两交点的距离是，所以。（4分）即：变形为：（5分）所以：整理得：解方程得：又因为：a<0所以：a=1所以：此二次函数的解析式为（6分）（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=（8分）所以：SPAB=所以：即：，则（10分）当时，即解此方程得：=2或3当时，即解此方程得：=0或1（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(2,3), (3,3), (0, 3)或(1, 3)。（12分）5，如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；图12-2xCOyABD11(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.,解：(1)设抛物线的解析式为：1分 把A（3,0）代入解析式求得所以3分设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 4分把，代入中解得：所以6分(2)因为C点坐标为(,4)所以当x时，y14，y22所以CD4-228分(平方单位)10分(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则12分由SPAB=SCAB得：化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为14分6，如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (04)，PQA的面积记为S. 求S与的函数关系式； 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的值，使得PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.PBACOQ图3（1） 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)， .解得 . 所求抛物线的函数关系式为. (注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2） 过点B作BE轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 由tanBAE=，得BAE =60°. EFPBACOQ图13 （）当点Q在线段AB上运动，即02时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF轴于F，则QF=， S=PA·QF. （6分） （）当点Q在线段BC上运动，即24时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这时，S=. （）当02时，. ， 当=2时，S有最大值，最大值S=.（）当24时， ， S随着的增大而减小. 当=2时，S有最大值，最大值. 综合（）（），当=2时，S有最大值，最大值为. PQA是等边三角形. 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2， . P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). 当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得PQA是直角三角形，则必须5-=， P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,). 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【关键词】二次函数解析式 对称点 相似三角形 三角形面积ACxyBO【答案】（1）由题意得解得此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.OACxyBEPD设直线的表达式为则解得此直线的表达式为把代入得点的坐标为（3）存在最大值理由：即即连结 =当时，图87、如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.一、 解（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到： 解得：b=-2,c=-3所以，该抛物线的解析式为：y=x2-2x-3（2）要满足SPAB=8，已知AB=4，而SPAB=AB*Py/2所以：AB*Py/2=8=> Py=4，即P点纵坐标为4=> x2-2x-3=4,或者x2-2x-3=-4当x2-2x-3=4时，x=1+22或者x=1-22当x2-2x-3=-4时，x=1 P点坐标为(1+22，4)或(1-22，4)或(1，-4)（3）由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1 令Q点坐标为Q(1，y)那么，QAC的周长=QA+QC+AC=(y+4)+1+(y+3)+10可以看出，要使得QAC的周长最小，即只要保证(y+4)+1+(y+3)最小即可令f(y)=(y+4)+1+(y+3),在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是QAC的周长有最小值。此时，Q点坐标为Q(1,-2)5、如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD轴交抛物线于D，过B作BC轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S. 求S与之间的函数关系式. 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.EO1备用图D图5EBACO1EO1DBACP5、（1） 抛物线顶点为F（1,0） （1分） 该抛线经过点E（0,1） ， 即所求抛物线的函数关系式为. （2） A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上， B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). . . 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16， 此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形. 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得PAE的周长最小. AE=4（定值），要使PAE的周长最小，只需PA+PE最小. 此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点. 点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） 直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P(,) 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. 已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由【关键词】抛物线关系式及图形的存在性问题【答案】（1）求出：，抛物线的对称轴为：x=2 3分(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是梯形 5分在和中，OD= ，BE=OD= BE四边形ODBE是等腰梯形 7分(3) 存在， 8分由题意得： 9分设点Q坐标为（x，y），由题意得：=当y=1时，即， ， ，Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) 11分当y=-1时，即， x=2，Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= 12分EFQ1Q3Q2如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为，连结C、D，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.【关键词】二次函数、一次函数、菱形的判定【答案】 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，解得抛物线的解析式为 的坐标为 直线的解析式为直线的解析式为由求得交点的坐标为 连结交于，的坐标为又，且四边形是菱形如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3） AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。27.（本题满分12分）解：（1）(5) 抛物线与轴交于点（0，3），设抛物线解析式为(1)根据题意，得，解得抛物线的解析式为(5)(2)(5)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） （2)设对称轴与x轴的交点为F四边形ABDE的面积=9（5）（3）(2)相似如图，BD=；BE=DE= , 即： ,所以是直角三角形,且, (2)专心-专注-专业