空间向量及其运算(共13页).docx
精选优质文档-倾情为你奉上1.1 空间向量及其运算（精讲）思维导图常见考法考点一 概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ）A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.【一隅三反】1（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：若向量共线，则所在的直线平行；若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以错；因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以错；若、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、三向量不一定共面；所以错；若三向量、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以错.故选：A.考法二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。【一隅三反】1（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，又因为，所以.故选：C2（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.3（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（ ）A B C D【答案】C【解析】-，+（-）故选C考点三 空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使与，一定共面的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C与，一定共面的充要条件是，【一隅三反】1（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t_【答案】【解析】P，A，B，C四点共面，且，解得.故答案为: 2（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x_.【答案】【解析】已知且M，A，B，C四点共面，则 ，解得x=3（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）ABCD【答案】A【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A4（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量，求证：四点E，F，G，H共面【答案】证明见解析【解析】；EF/AB，且EF|k|AB；同理HG/DC，且HG|k|DC，ABDC；EF/HG，且EFHG；四边形EFGH为平行四边形；四点E，F，G，H共面.考点四 空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90°，BAADAA60°.（1）求AC的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）可得，+2（）42+32+52+2（4×3×0+4×）85故AC的长等于（2）由（1）可知，故（）（）又5故与的夹角的余弦值求两个向量的夹角有两种方法：方法一：(1) 结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小(2) 先求a·b，再利用公式cosa·b求cosa，b，最后确定a，b方法二：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小【一隅三反】1（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且|=1,|=2,|=3,则|等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案选A2（2020·延安市第一中学高二月考（理）四棱柱的底面为矩形，则的长为（ ）AB46CD32【答案】C【解析】由,.由底面为矩形得；，另；，,3（2020·四川雨城雅安中学高二月考（理）若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ）ABCD0【答案】D【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为.而，则所以.故选：D4（2020·全国高二课时练习）.平面ABC，且ABC是B90°的等腰直角三角形，AB、BC的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线与AC所成的角.【答案】60°【解析】如图所示.因为故因为ABBC，BB1AB，BB1BC，故故又故.而，故可得，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC成60°角.专心-专注-专业
