2022年六级下数学思维训练教程.pdf

六年级下期第一讲整数、小数四则的巧算例 1 计算：676869666870。解：原式 68(67696670)，为了使括号里两个积有相同的因数69，可以让 6670666966，于是，原式 68(67696670)68(6769666966)68(6766)6966686966683204。例 2 计算1.22 19.25 37.2855.3173.3491.37109.40。解：观察发现，式中共有7 项，相邻两项的差： 19.251.22 37.2819.25 55.31 37.28 73.34 55.31 91.37 73.34 109.40 91.37 18.03 ，因此，这 7 个加数恰好组成一个等差数列，于是解法一：可以按照等公式“和( 首项末项 ) 项数 2”进行计算：1.22 19.2537.2855.31 73.3491.37 109.40 (1.22 109.40) 72 387.17。解法二：因为项数7 是奇数，可以按照公式“和中项项数”进行计算：1.22 19.2537.2855.31 73.3491.37 109.40 55.317 387.17。练习一1. 计算5624421244。2计算786871618167382129833214。3计算233322344433455544566655677766788877899988。4计算9938847746655554463362271178。5计算2008420075200662005720048。6计算2490.3 24.9 32.49 300.249300。7计算1800023456。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 8计算3703754。第二讲分数四则的巧算例 1计算717141412828156561。解：观察发现， 相邻两个加数的整数部分， 后一个数是前一个数的2 倍；相邻两个加数的分数部分，后一个数是前一个数的12。于是想到：(1)如果给整数部分再加上7,与原有的 7 合成 14，再与原有的14 合成28，依次类推，最后得到2 个 56，等于 112，所以，原来的整数部分应该是 1127105；(2)如果给分数部分再加上561，与原有的561合成281，再与原有的281合成141，再与原有的141合成17，最后得到 2 个17，等于27，所以原来的分数部分应该是275616551。于是，原式 (771428567)(56156114117561)(5627)(712561)1056551。例 2计算21177116512851。解：观察发现，原式可以化为73111711511119151，很像我们在上学期小学数学奥林匹克班上学习“裂项相消法”时所遇到的情况，于是猜想可能有类似的解决方法。试算发现，73114(1317)，117114(17111)，1511114(111511)，1915114(511911)。于是，原式7311171151111915114(1317)14(17111)14(111511)14(511911)14(131717111111511511911)14(13911)574。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 练习二1计算 (8119)19(7219)19(6319)19(5419)(4519)(3619)(2719)(1819)(919)19。2计算 206409501260157018。3计算 9631128411557118091216211244141271621304021。4计算9349934999349999341。5计算121612120130142117。6计算75197111913111115131。第三讲整除例 1 有一个五位数154，已知这个数能被 36 整除, 这个五位数最大是多少 ? 解：根据整除的知识：(1) 因为 3649, 所以这个数一定能被4 和 9 整除。(2) 一个数能 9 整除的条件是，各个数位上的数的和能被9 整除。已知的三个数 15410, 所以，其余两个数的和只有是8 或 17 时, 10 818，101727，这个五位数才能被9 整除。为了使得到的数最大，要填的两个数的和取 17，这样，百位和十位上两个里就只能填9 和 8。(3) 一个数能被 4 整除的条件是末两位数能被4 整除。这个五位数的末两位是 4, 所以十位上的里只能填8。于是，这个五位数是15984。例 2 有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果每只船人数相等，每只船坐 6 人就要比每只船坐9 人多租 2 只船。这个班有多少人？解：每只船人数相等，既可以坐6 人，也可以坐 9 人，说明这个班的人数是 6 和 9 的公倍数。可能是18人、36人、54 人、72 人如果是 18 人，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 两种坐法所需船数的差是1861891（只） ，不合题意；如果是 36 人，两种坐法所需船数的差是3663692（只） ，符合题意；如果是 54 人，两种坐法所需船数的差是5465493（只） ，不合题意；如果是 72 人，两种坐法所需船数的差是7267294（只） ，不合题意。随着人数的增多，两种坐法所需船数的差越来越大，就不必再试下去了。所以，这个班有36 人。练习三1在四张卡片上分别写着数字1、2、4、7 四个数字。随意从其中取出三张， 可以排成许多三位数， 其中能被 3 整除的 , 从小到大第五个数是多少？2有一堆苹果 , 3个 3 个地数剩 2 个；4 个 4 个地数剩 3 个, 5个 5 个地数剩 4 个。这堆苹果至少有多少个? 3六一班开展“我爱我班”活动。王老师准备把 22 块橡皮和 33 支铅笔，奖给参加打扫卫生的同学(每份奖品相同 ) ，结果橡皮多 1 块，铅笔少 2 支。参加打扫卫生的同学有多少人？每人得到橡皮多少块，铅笔多少支？4甲、乙、丙三人到图书馆去借书， 甲每 6天去一次， 乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次，如果3 月 5 日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ (1998 年小学数学奥林匹克竞赛题) 5一个三位数正好等于它各个数位上数字之和的18 倍，这个三位数是多少？6. 有一些最简真分数，它们的分子和分母的乘积是42，这样的分数有多少个？第四讲多边形例 1 左下图 , 梯形 ABCD 的面积是 36 cm2, E 是 BC的中点。求阴影三角形 AED的面积。 A B A B E E D C D C F 解：让三角形 ABE绕 E点旋转 , 使 BE与 EC重合, 得到三角形 AFD, 如右上图。因为 AE EF, 所以, 三角形 AED 和三角形 EFD的面积相等。也就是说, 三角形 AED 的面积等于三角形AFD的一半。因为 , 三角形 AFD的面积与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 梯形 ABCD 相等, 所以, 三角形 AED的面积是36218 ( cm2) 。答：三角形 AFD的面积是 18 cm2。例 2 如图, 直角梯形 ABCD 中, 上底 AB 15cm, 高 BC 30cm, 两条对角线相交与 E。已知三角形 ABE的面积比三角形 ECD少 150 cm2, 求直角梯形ABCD 的面积。 A B E D C 解：题中关于三角形ABE和 ECD, 除了知道它们面积的差以外, 其他一无所知。因此 , 不可能直接从这两个三角形入手。观察发现, 如果给这两个三角形都拼上三角形EBC, 那么, 三角形 ABC与三角形 BCD面积的差仍然是150 cm2。三角形 ABC 的面积是 15302225(cm2) ，三角形 BCD 的面积是225150375(cm2) ，DC 的长是 375 23025(cm)，梯形 ABCD 的面积是(2515)302600(cm2) 。答：直角梯形 ABCD 的面积是 600 cm2。练习四1. 一个长方形 , 长和宽都增加 4cm, 面积增加 44 cm2, 原来长方形的周长是多少厘米？2. 图中，平行四边形ABCD 的底 AD 13.2 cm,E 是 AD的中点 , 已知梯形EBCD 的面积是 79.2 cm2, 求梯形的高。 A E D B C 3. 下图，长方形 ABCD 的面积是 64 cm2。E、 F 分别是相邻两条边的中点 , 三角形 AEF的面积是多少平方厘米 ? A D F B E C 4. 学校体育场是长方形 , 宽 100m 。张老师晚饭后散步 , 以每小时 3 km的速度绕体育场走了一周, 正好用了 10分钟。这个体育场占地多少公顷? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 5. 一个长方形 , 长与宽的比是 85, 如果长减少17, 宽增加 13cm, 就变成一个正方形，那么这个长方形的面积是多少平方厘米? 6如图，ABCD 是边长为 12cm的正方形， E、F分别是 AB 、BC边的中点，AF与 CF交于 G ，四边形 AGCD 的面积是多少平方厘米？D C G F A E B 第五讲长方体和正方体例 1 一个正方体木块 , 表面积是 16 cm2, 把它截成 8 个体积相等的小正方体木块 , 每个小木块的表面积是多少平方厘米? 解法一：解答这类题目, 绝对不能不假思索地认为每个小木块的表面积是 1682(cm2)。首先应该想到 , 怎样才能把一个大正方体截成8 个体积相等的小正方体。第一步 , 沿着垂直于高的方向 , 把正方体截成体积相等的2“片” ；第二步 , 沿着垂直于宽的方向 , 把正方体截成体积相等的4“条” ；第三步 , 沿着垂直于长的方向 , 把正方体截成体积相等的8“块” 。从上面截的过程可以想到, 小正方体一个面的面积等于大正方体一个面的14。由此可以算出小正方体的表面积是：1661464(cm2)。解法二：上面的过程说明 , 小正方体的棱长是大正方体棱长的一半, 即棱长缩小了 2 倍。根据正方体的棱长扩大或缩小2 倍, 表面积扩大或缩小224 倍, 体积扩大或缩小2228 倍, 小正方体的表面积是：1644(cm2)。例 2 一个长方体 , 高 18cm, 底面是正方形 , 侧面展开后恰好也是正方形, 这个长方体的体积是多少立方厘米? 解： 长方体的侧面展开后是一个长方形, 长等于长方体底面的周长 , 宽就是长方体的高。已知这个长方体侧面展开后是一个正方形, 说明这个长方体的底面周长等于18cm。又知道这个长方体的底面是正方形, 所以这个正方形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 的棱长是1844.5(cm)。由此可以求出：长方体的底面积是(184)220.25(cm)，长方体的体积是0.2518364.5(cm3)。练习五1 把两个同样的正方体拼成一个长方体后, 棱长的总和是 96cm, 原来一个正方体的棱长是多少厘米？2一个棱长 3cm 的正方体木块 , 表面上涂满了漆 , 把它全部切成棱长1厘米的小正方体木块。 其中, 三个面上有漆的有多少块？两个面上有漆的有多少块？一个面上有漆的有多少块？各面上都没有漆的有多少块？3用长 6cm、宽 4cm、高 3cm的长方体 , 拼成一个体积尽可能小的正方体, 需要多少个这样的长方体？拼成的正方体的体积是多少平方厘米？4把一根 100cm长的长方体木料截成5 段后, 表面积增加了 80cm2, 这根木料原来的体积是多少立方厘米？5. 有一根长方体木料, 两个底面都是正方形, 4 个侧面的总面积是7.2m2。如果这根木料的长度是4.5m, 表面积和体积各是多少 ? 6. 某建筑工地挖一个地基坑 , 长 50m、宽 24m、深 2.5m。挖出的土每立方米重量 1.5t。用载重 4.5t 的汽车把这些土运走 , 需要运多少车 ? 7. 一个长方体 , 表面积是 184 cm2, 底面积是 20 cm2, 底面周长是 18cm, 求这个长方体和体积。8. 工人体育场有一个长50m、 宽 20m、 深 2m 的游泳池。如果用边长 2dm的正方形瓷砖把它的四壁和底面都贴一下, 并且围着游泳池再贴一圈2m 宽的走道 , 总共需要这种瓷砖多少块 ? 第六讲圆例 1 以一个边长10 的正方形的两个顶点为圆心, 以边长为半径作四分之一圆。求两个四分之一圆重叠部分( 阴影部分 )的面积。解法一：作正方形的一条对角线把阴影部分分成两半, 每一半都是四分之一圆去掉一个直角三角形。所以阴影部分的面积是 (3.14 102410102)257(2) 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 解法二：上面的方法可以简化。阴影部分的每一半都是四分之一圆去掉一个直角三角形，阴影部分就相当于一个半圆减去一个正方形。所以阴影部分的面积是 3.14 1022101057(2) 。解法三：如果把每个四分之一圆都想象成“一层” ，图中的空白部分就只有“一层”，而阴影部分有“两层” ，去掉“一层”正方形，剩下的就是阴影部分。所以阴影部分的面积是 3.14 10242101057(2) 。例 2 在一个等腰直角三角形内有一个半圆( 左下图), 已知阴影部分的面积是 1.72 2, 这个半圆的面积是多少平方厘米? 解：作圆的两条半径和等腰三角形斜边上的高, 把原来的等腰直角三角形分成四个小等腰直角三角形( 右上图 ) 。这四个小等腰直角三角形可以拼成两个相等的正方形。设圆的半径为r，每个正方形的面积是r2，原来等腰直角三角形的面积是2r2, 半圆的面积12r2。于是：2r2123.14 r21.72 (21.57) r21.72 0.43 r21.72 r24 由此得到 , 半圆的面积是123.14 r2123.14 46.28( 2) 。练习六1. 如图, 大圆直径 10cm,四个小圆的直径分别是1 、 2 、3 、4 。这四个小圆的周长之和大, 还是大圆的周长大 ? 2. 把一张正方形纸片剪成1 个、4 个或 9 个同样大的圆形纸片 , 哪种剪法纸的利用率最高 ? 3假如一个身高 1.7m 的人，沿地球赤道绕行一周，那么他的头顶比他的脚底要多行多少米？ ( 得数保留两位小数。 ) 4. 图中正方形的边长是10 。以它的四条边为直径 , 作四个圆 , 这四个圆重叠部分面积的总和是多少平方厘米? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - - CABD5. 图中正方形边长 2cm ，四个圆的半径都是1 , 求这五个图形所覆盖的总面积。6. 在例 1中如果把已知条件改成 , 已知对角线长 10, 那么阴影部分的面积是多少平方厘米 ? 7. 右图中，直角三角形ABC 的直角边 AC长 20 ，以这条直角边为直径作半圆, 得到一个弓形 , 和一个曲边三角形。已知弓形的面积比曲边三角形大7 2，直角三角形的 BC边长多少厘米 ? 8. 右图中 , ABCD 、AEFG 都是正方形。已知阴影部分的面积是 502, 如果以 A 为圆心 , 分别以 AB和 AE 为半径作圆, 那么, 所得环形的面积是多少平方厘米? 第七讲圆柱和圆锥例 1 在一个底面直径20cm 的圆柱形容器里装满了水, 水中放着一个底面直径 8cm, 高 12cm的铁质圆锥形物体。 当把这个物体从水中取出后, 水面下降多少厘米 ? 解：当圆锥形物体被取出后 , 原来它所占的空间由 “一层”水来填补 , 可以想象 , 这层水当然是圆柱形的 , 因此, 它的高是：133.14(82)2123.14(202)20.64 (cm) 答：水面下降 0.64cm。例 2 一个圆柱体 , 底面半径 10cm, 高 20cm。 它的表面积是多少平方厘米? 解：按照常规方法 , 因为圆柱体的表面积包括侧面和两个底面, 所以, 它的表面积是 : 23.1410203.1410221884 (cm2) 还可以这样想：在推导圆面积公式的时候, 曾经把圆变成过一个和它面积相等的长方形。既然如此 , 如果我们首先把圆柱的底面, 变成一个和它面积GABEFCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 相等的长方形 , 并且让这个长方形的长 , 等于圆柱底面的周长 , 那么, 圆柱的表面展开后 , 就可以合成一个长方形 , 这样就会使计算变得比较简单。下面就是按照这种思路 , 把圆柱表面展开后所得到的图形：上底面r2 侧面h 下底面r2 2r 由此得到圆柱表面积公式：S2r(hcm2) 答：圆柱休的表面积是1884 cm2。再想想看 , 如果圆柱体只有一个底面(比如圆柱形水桶 ), 那么求表面积的公式又该是怎样的呢 ? 练习七1. A、B、C 三个圆柱体 , A 的底面半径是 B 的一半 , 是 C 的 2 倍, C 的高是 A 的 2 倍, 是 B 的 4 倍。(1) B 的底面积是 A 的( )倍。(2) B 的侧面积是 C 的( )倍(3) B 的体积是 A 的( )倍。(4) A 的体积是 C 的( )倍。2. 一个圆柱和一个圆锥的体积相等。(1) 圆柱的高和圆锥的高相等 ,圆锥的底面积是圆柱的 ( )倍。(2) 圆柱的高是圆锥的2 倍, 圆锥的底面积是圆柱的 ( )倍。(3) 圆锥的高是圆柱的6 倍, 圆柱的底面积是圆锥的 ( )倍。3. 一个正方体木块 , 棱长 12cm, 把它旋成一个尽可能大的圆柱或圆锥, 木材的利用率分别是多少? 4. 一个圆柱体 , 底面半径 3cm, 表面积 150.72 cm2, 求它的体积。5. 一根圆钢 , 长 30cm, 把它截成 3 段后表面积增加了12.56 cm2。 这根圆钢的体积是多少立方厘米? 6. 一个圆锥 , 高 5cm, 侧面展开后恰好是一个直径12cm的半圆 , 求这个圆锥的体积。7. 一个圆柱和一个圆锥体积相等, 高也相等 , 已知圆柱的底面周长是188.4cm, 圆锥的底面积是多少平方厘米? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 8. 一个长方体 , 长 10cm, 宽 8cm, 高 6cm。把它旋成一个最大的圆柱体, 这个圆柱体的体积是多少立方厘米? 第八讲比和比例例 1 甲、乙两班学生人数的比是54, 为了使两班的人数更接近，从甲班调 2 人到乙班 , 结果甲、乙两班人数的比变成了87。原来两班各有学生多少人 ? 解：调整前 , 甲班人数占总人数的554, 调整后甲班人数占总人数的887, 所以, 两班共有2(554887)90(人)。甲班有9055450(人), 乙班有 9045440(人)。答：原来甲班有 50 人, 乙班有 40 人。例 2 一列客车和一列货车，同时分别从甲乙两站相向开出, 5 小时相遇。又过了 3 小时货车到达甲站 , 那么客车到达乙站要多少小时? 解：画出示意图客车相遇货车甲站乙站a 从图上可以看出， 行驶同一段路程 a, 客车用了 5 小时, 货车只用 3 小时, 即, 客车与货车行驶相同路程 , 所需时间的比是 53, 而货车行完全程要 53 小时。设：客车行完全程要x 小时。x(53)53 x()5353x1313答：客车到达乙站要1313小时。练习八1. 学校图书室有一种数学课外读物, 已经借出了总数的1112, 后来又买来 12 本同样的书。这时 , 图书室里这种图书现有的本数和原有本数的比是13。学校图书室原来有这种数学课外读物多少本? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 2. 赵老师不久前搬进了教师住宅小区。装修时，住室12m2共用 300 块地板砖。客厅地面长5.2m, 宽 3.6m, 需要多少块同样的地板砖? 3. 一个长方体 , 已知棱长的总和是72cm, 如果长、宽、高的比是234, 这个长方体的体积是多少立方厘米? 4. 一批货物重 720t, 运走了 198t, 余下的按 54 存放在甲乙两仓库 , 两个仓库各存多少吨 ? 5. 客车和货车同时从甲乙两地的中点反向行驶, 3 小时后 , 客车到达甲地, 货车离乙地还有30 km,已知货车与客车速度的比是34, 甲乙两地相距多少千米 ? 6. 甲、乙两个仓库，原有水泥袋数的比是43, 后来，从甲仓运给乙仓48 袋, 这时，甲、乙两个仓库水泥袋数的比变成了23。甲、乙两个仓库原来各有水泥多少袋 ? 7. 一块地 , 用它的25种冬瓜 , 其余的按32 种西红柿和茄子 , 已知种茄子 0.6 公顷, 这块地一共有多少公顷 ? 第九讲方程例 1 甲乙两座冷库原来共储存牛肉19.2t, 从甲库运给乙库2.8t 后, 乙库储存的牛肉比甲库的4 倍少 0.3t。两座冷库原来各储存牛肉多少吨? 解：设甲库原来储存牛肉x 吨, 乙库原来储存的牛肉就是19.2x 吨。根据储存量变化后 , 乙库的储存量比甲库的4 倍少 0.3t, 得19.2x2.8(x2.8)40.3 22x4x11.5 33.55x(两端都加上 x 和 11.5) 即5x33.5 x6.7 19.26.712.5(t) 答：原来甲库储存牛肉6.7t, 乙库储存牛肉 12.5t。例 2 甲乙两箱皮球 , 甲箱比乙箱多15 个, 乙箱的皮球全是白色的 , 甲箱中有25是白色的 , 已知两箱共有白皮球69 个, 乙箱有皮球多少个 ? 解：设乙箱有皮球x 个, 甲箱的球数就是 x15 个。由此得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - - x(x15)2569 x45 答：乙箱有皮球 45 个。一般说来 , 方程法思路比较简捷 , 计算比较复杂；算术法思路比较曲折, 计算比较简单。在实际应用中, 可以根据自己的长处来选择。练习九1. 甲乙两座油库 , 甲库的存油量是乙库的3 倍。如果甲库的存油量减少900 t, 乙库的存油量增加350t, 那么甲库的存油量就是乙库的2 倍。 原来两座油库各存油多少吨 ? 2. 在一只笼子里装了一些鸡和兔子, 已知脚的总数是296 只, 鸡的头数比兔子多 22只, 鸡和兔各有多少只 ? 3. 今年姐姐的年龄是妹妹的4 倍, 再过 20 年, 姐姐的年龄比妹妹的年龄的 2 倍小 14岁。今年姐姐和妹妹各几岁? 4. 张明同学参加语文、 数学、英语三科考试 , 结果, 语文 83 分, 英语 74 分, 数学成绩比这三科平均分还多11 分, 数学多少分 ? 5. 光明小学去年六年级毕业人数, 比全校的61少 16 人, 今年招收新生200 人, 学生总数比去年增加101, 去年全校有学生多少人 ? 6. 粮店原有大米和面粉共2500kg, 大米卖出43, 面粉卖出32后, 还有大米和面粉 750kg, 原来有大米和面粉各多少千克? 7. 小明、 小刚共储蓄 251元, 小明储蓄钱数的74比小刚储蓄钱数的43多 6 元, 两人各储蓄多少元 ? 第十讲解决问题 (一) 例 1 玩具厂有甲乙两个车间。甲车间的人数比乙车间多100 人, 从甲车间调60 人到乙车间后 , 甲车间的人数是乙车间人数的1312, 调整后乙车间有多少人 ? 解： 从甲车间调整出60人后, 甲车间只比乙车间多1006040(人), 当这 60 人并入乙车间后 , 这时乙车间就反而比甲车间多604020(人)。 这精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 个差相当于此时乙车间人数的11312131, 所以调整后乙车间有20131260(人)。答：调整后乙车间有260 人。例 2 光明小学去年六年级毕业人数比全校的61少 16人, 今年招收新生200 人, 学生总数比去年增加110, 去年全校有学生多少人 ? 解：画出线段图：1616 人去年毕业人数今年新生 200 人110从图中可以看出 , 16 人与 200 人的和 , 对应于61与110的和。由此即可求出去年全校有学生 (16200)(61110)810(人)。答：去年全校有学生810 人。练习十1. 一根电线 , 第一次用去的差 10m 不到全长的一半 , 第二次用去的比全长的一半多 3m, 两次用去的恰好是全长的54, 求全长。2. 六一班的学生人数是六二班的87, 为了使两班的人数相同, 从六二班调给六一班 3 人, 六一班原来有多少人 ? 3. 甲仓库比乙仓库多存水泥230袋, 乙仓库调给甲仓库25袋后, 甲仓库水泥的袋数是乙仓库的213倍。这时乙仓库有水泥多少袋? 4. 学校组织冬季长跑活动 , 参加的学生比没参加的多251 人, 经过再次动员 , 原来没参加的学生中又有51报了名 , 结果 , 参加的学生比没参加的多307 人, 原来有多少学生没有参加活动? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 5. 学校图书馆对书架上的书进行调整。 原来乙书架上的书比甲书架少51, 调整中把甲书架上书的41搬到乙书架上 , 又从乙书架取出 30本放到别的书架上, 这时甲、乙两个书架上书的本数恰好相等。甲书架原来有书多少本? 6. 六一班 的人数是六二班的54, 如果从六二班调12 人到六一班 , 六二班的人数就反而是六一班的54。六一班原来有多少人 ? 7. 小明和小刚都攒了一些零用钱, 小刚的钱数是小明的74, 在支援灾区活动中 , 小明向灾区捐了22 元, 小刚捐了 10 元, 这时他们剩下的钱数相等 , 小明原来攒了多少钱 ? 8. 新城粮管所有两个仓库。一号仓库存放大米318t, 二号仓库存放大米408t。 从两个仓库运走同样多的大米以后, 一号甲仓库剩下的大米吨数是二号仓库剩下大米吨数的32, 这时二号仓库有大米多少吨? 第十一讲解决间题 (二) 例 1 东西两个仓库共存粮食750t。东仓存粮的53与西仓存粮的32一共470t, 两仓各存粮食多少吨 ? 解：因为3253, 如果东仓库的存粮也取32, 那么, 与西仓库存粮的32合在一起 , 就会大于 470t, 它们的差对应于东仓库存粮的3253。于是得到，东仓库存粮 (75032470)(3253)450(t)，西仓库存粮 750450300(t)。答：东仓库存粮 450t，西仓库存粮 300t。想想看，还可以怎样解？例 2 甲乙两箱皮球 , 甲箱比乙箱多 15 个。乙箱的皮球全是白色的, 甲箱中有25是白色的。已知两箱共有白皮球69 个, 乙箱有皮球多少个 ? 解： 首先把甲箱的皮球数分成两部分, 一部分与乙箱同样多 , 另一部分是比乙箱多的15 个。这样 , 按照乘法分配律 , 甲箱的52, 也可以看成两部分：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 与乙箱同样多的那部分的52、15 的52。经过这样处理以后 , 69 就包括三部分：乙箱的球数、乙箱球数的32、 15 的52， 所以乙箱有皮球 (691552)(152)45(个)。答：乙箱有皮球 45 个。练习十一1. 粮店原来有大米和面粉共2500kg, 大米卖出43, 面粉卖出32后, 还有大米和面粉 750kg, 原来有大米和面粉各多少千克? 2. 小明、小刚一共储蓄了251 元。如果告诉你，小明储蓄钱数的74比小刚储蓄钱数的43多 6 元，你知道两人各储蓄了多少元吗? 3. 六年级选出男生人数的61和 14 名女生，参加区里举行的小学数学竞赛。如果已知剩下的男、 女生人数相等 , 并且六年级共有学生146 人, 男、女生各有多少人 ? 4. 两段公路共长6500m, 后来第一段延长了61, 结果与第二段的长度相等。原来第一段公路长多米? 5. 有两根钢筋共长18m, 如果把第一根截去51, 把第二根接上0.9m, 两根钢筋就同样长。这两根钢筋原来各长多少米? 6. 兴华小学五年级学生比六年级多24人, 据上学期期末统计 , 两个年级共有少先队员 275 人。 其中, 六年级学生已经全部入队, 五年级的队员人数占全年级人数的1211。六年级有少先队员多少人? 7. 阅览室里有 36名同学在看书 , 其中94是女同学 , 又来了几位女同学以后, 女同学的人数达到总人数的199, 又来了几位女同学 ? 8甲、乙、丙三根铁棒竖直地插在水池中，已知三根铁棒的长度之和为360cm，并且甲铁棒有43露在水面外， 乙铁棒有74露在水面外， 丙铁棒有52露在水面外。那么，水池中的水有多深? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 第十二讲工程问题例 1 一件工作 , 甲单独做 20 天完成 , 乙单独做 12天完成。现在先由甲单独做一些天 , 再由乙接替甲继续完成 , 前后一共用了 14 天。甲乙各工作了多少天 ? 解：假如这 14 天一直由甲单独做 , 就只能完成全部工作量的12014710, 还差 1710310不能完成。现在由乙来替换甲, 每替换一天 , 可以多完成112120130, 替换几天能完成所差的工作量, 就是乙实际工作了几天。乙工作的天数： (112014)(112120)9(天) 甲工作的天数： 1495(天) 答：甲工作了 5 天, 乙工作了 9 天。想想看，还可以怎样解 ? 例 2 师徒二人接受生产240 个零件的任务 , 合作 6 天可以完成。如果师傅单独做4 天能完成全部任务的25, 徒弟每天可以生产零件多少个? 解： 已知零件总数 , 要求徒弟每天生产多少个零件, 就要知道徒弟每天的生产量是零件总数的几分之几, 即徒弟的工作效率。这可以从师徒合作的工作效率16和师傅的工作效率254 求出。240(16254)16 (个) 答：徒弟每天可以生产零件16 个。练习十二1. 甲、乙两位打字员合打一份稿件, 完成时甲打了这份稿件的59, 已知甲单独打 6 小时可以完成 , 乙单独打几小时可以完成 ? 2. 一项工程 , 甲、乙合作 12 天可以完成。由于在合作期间, 甲因事请假5 天, 结果, 完工日期推迟了3 天。如果这项工程由甲、乙单独完成, 各需要多少天 ? 3. 蓄水池有一根进水管和一根出水管。单开进水管16小时可以将空池注精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 满, 单开出水管14小时可以将满池水放完。如果两管一齐开，多少小时可以把空池注满 ? 4. 一辆货车从甲地到乙地要8 小时, 一辆客车从乙地到甲地要10小时。两车同时从两地相对开出, 不久, 货车发生故障 , 修理 1 小时后继续前进 , 相遇时, 客车已经行了多少小时 ? 5. 一份稿件 , 甲、乙两位打字员合作12 小时可以完成 , 甲单独完成需要20 小时, 现要由二人合作 , 完成任务时 , 甲比乙多打 0.9 万字, 这份稿件有多少万字 ? 6. 一列快车从 A 地到 B 地需要 12小时, 一列慢车从 B 地到 A 地需要 15小时。两车同时从A、B 两地相对开出 , 3 小时后还相距 374km, A、B 两地相距多少千米 ? 7. 一件工作 , 师傅单独做 20 天可以完成 , 徒弟单独做可以30 天完成。结果师徒二人合作完成共用了15天，不过，这期间师傅曾经因病休息过, 师傅休息了几天 ? 8. 一项工程 , 甲队先做 20 天, 乙队再做 15 天, 即可完成；或者，两队合作 18 天也可以完成。如果两队单独做, 各需多少天才能完成 ? 第十三讲枚举与计数例 1 把 28 表示成若干个不相同的奇数之和(如果加数一样，相加的次序不同，则只算一种表示法。 如 1513 和 1315 算同一种表示法 ) ，共有多少种不同的表示法？解：小于 28 的奇数有 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27。因为 28 是偶数，所以加数的个数只能是偶数。为了避免重复，让加数的个数从少到多，让加数的排列从小到大，于是得到：(1) 2 个加数的有： 127，325，523，721，919，1117，1315；(2) 4 个加数的有： 13519，13717，13915，131113，15715，15913，17911，35713，35911。共有 16种。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 例 2 学校开运动会，所设的项目有：田赛5 项、径赛 4 项、军体 3 项。如果每人可以报一项田赛或径赛, 同时必须报一项军体，那么有多少种不同的选择？解：每人报一项田赛或径赛有549 种选择；再报一项军体又有3 种选择，共有 9327 种不同的选择。练习十三1解答下面两道题，并注意它们的区别。(1) 三个自然数的积等于15, 求这三个数 , 可以有哪几组解 ? (2) 甲、乙、丙三个自然数的积等于15, 求这三个数 , 可以有哪几组解 ? 2有两个方木块 , 每块的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6。任意抛掷这两个木块 , 落下后顶面两个数的和是偶数的有哪几种可能? 3五一班开展数学课外活动 , 每组 6 人余 3 人；每组 7 人余 3 人；每组8 人, 余 5 人。五一班有多少人 ? 4分子、分母都是二十以内的质数， 并且大于21、小于41的分数有哪些 ? 5书架上有 4 本故事书、 5 本画册