2019-2020年高三数学一轮复习讲义-等差数列及其前n项和-新人教A版(共25页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2019-2020年高三数学一轮复习讲义 等差数列及其前n项和 新人教A版自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的_差_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ an1and _ (nN*，d为常数)(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是_ A_，其中A叫做a，b的_等差中项_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_ a1(n1)d_，anam_ (nm)d _ (m，nN*)(2)前n项和公式：Sn_ na1d _.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.4等差数列的性质(1) 若mnpq (m，n，p，qN*)，则有_amanapa q _，特别地，当mn2p时，_ aman2ap _.(2) 若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_2d _(3) 若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_ md _的等差数列.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为_递增数列_；若d<0，则数列为_递减数列_；若d0，则数列为_常数列_(6)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最_值；若a1<0，d>0，则Sn存在最_值. 大小6方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)中项公式：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq (p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可视具体情况而定 (6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.自我检测1已知等差数列an中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为 ()A130B260C156D1682等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于 ()A1B.C2D33设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于 ()A1B1C2D.4若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7等于 ()A12B13C14D155设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A.18 B.20 C.22 D.246.设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_24_.7.有两个等差数列2,6,10，190及2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列an的通项公式an_.12n10_.8.已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_.9数列an是等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n()A11 B17 C19 D21解析由题意，可知数列an的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因为1，所以a100，a11a10，由等差数列的性质有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以Sn取得最小正值时n19.题型一等差数列的基本量的计算例1等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050，(1)求通项an； (2)若Sn242，求n.解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n×2242.解得n11或n22(舍去)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1； (2)求d的取值范围.解(1)由题意知S63， a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列an的公差为d (d0)，它的前10项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5. 又kN*，故k7.题型二等差数列的判定或证明例2已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*). (1)求证：数列bn是等差数列； (1)证明an2 (n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数.当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.探究提高1证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an1and；(2)等差中项法：2an1anan2.就本例而言，所用方法为定义法.2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可变式训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn (n2)，a12.求证：是等差数列； 求an的表达式. 证明由Sn，得2，2，是以即为首项，以2为公差的等差数列. 解由知(n1)×22n，Sn，当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an(2)已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)求a2，a3的值 是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说解a15，a22a122113， a32a223133.假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2×.，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列题型三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20. 所以该数列的项数为20项变式训练3已知数列an是等差数列(1)若Sn20，S2n38，求S3n；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数解(1) Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，S3n3(S2nSn)54. (2) 设项数为2n1 (nN*)，则奇数项有n项，偶数项有n1项，中间项为an，则S奇n·an44，S偶(n1)·an33，.n4，an11.数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n项和及综合应用例4(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和.解(1)方法一a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130，即当n12时， an>0，n14时，an<0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S1212×20×130.方法二同方法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a14×12521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令由得n<6；由得n5，所以n6.即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a74×7243.设|an|的前n项和为Tn，则Tn点评：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：若an是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a1>0，d<0，且满足，前n项和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且满足，前n项和Sn最小；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn (A、B为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意nN*.变式训练4 (1) 已知数列an满足2an1anan2 (nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值解方法一2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，S672，得，.an4n2.则bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15项为负值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，当n15时，Sn有最小值，且最小值为225. (2)设等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0，S2 0090.求Sn的最小值及此时n的值；求n的取值集合，使anSn.解方法一设公差为d，则由S2 00902 009a1d0a11 004d0， da1，a1ana1，Sn(a1an)·a1(2 009nn2)a1<0，nN*，当n1 004或1 005时，Sn取最小值a1.ana1.Snan(2 009nn2)a1.a1<0，n22 011n2 0100，即(n1)(n2 010)0，解得：1n2 010.故所求n的取值集合为n|1n2 010，nN*. (3)设等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn (mn)，求它的前mn项的和Smn.解方法一设an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1·dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn).方法二设SnAn2Bn (nN*)，则得A(m2n2)B(mn)nm.mn，A(mn)B1，A(mn)2B(mn)(mn)，Smn(mn).等差数列及其前n项和（1）一、选择题1如果等差数列中，a3a4a512，那么a1a2a7 ()A14B21C28D352已知an是等差数列，a19，S3S7，那么使其前n项和Sn最小的n是 ()A4B5C6D73在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值为 ()A14B15C16D174等差数列an的前n项和满足S20S40，下列结论中正确的是 ()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS6005设数列an、bn都是等差数列，且a110，b190，a2b2100，那么数列anbn的第2 012项的值是 ()A.85 B.90 C.95 D.1006已知等差数列an中，a26，a515，若bna3n，则数列bn的前9项和等于_ 解析 由an33(n1)3n，bna3n9n，数列bn的前9项和为S9×9405.二、填空题7设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_15_.8等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_10_.9在数列an中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9_27_.三、解答题10设an是一个公差为d (d0)的等差数列，它的前10项和S10110，且aa1a4.(1)证明：a1d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式(1) 证明an是等差数列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化简得a1d(2)解由条件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，数列an的通项公式为an2n，nN*11已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn故Tnb1b2bn.所以数列bn的前n项和Tn12在数列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项；(3)若an对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围 (1)证明将3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以数列为以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an (3)解若an对n2的整数恒成立，即3n1对n2的整数恒成立整理得 (9分)令cncn1cn.因为n2，所以cn1cn>0，即数列cn为单调递增数列，所以c2最小，c2.所以的取值范围为(，等差数列及其前n项和（2）一、选择题1.设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 ()A.31 B.32 C.33 D.342.数列an为等差数列，a1033，a21，Sn为数列an的前n项和，则S202S10等于()A.40 B.200 C.400 D.203设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k等于()A.8 B.7 C.6 D.54.已知数列an中，a32，a51，若是等差数列，则a11等于 ()A.0 B. C. D.5.在各项均不为零的等差数列an中，若an1aan10 (n2)，则S2n14n等于()A.2 B.0 C.1 D.26已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D56D解析 7，所以当n1,2,3,5,11时满足二、填空题7 设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_15_.8. 等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4_.9. 等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为_75_.10. 设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_.三、解答题11.已知数列an的通项公式anpn2qn (p、qR，且p、q为常数).(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列. (1)解an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0.故当p0，qR时，数列an是等差数列.(2)证明an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，(an2an1)(an1an)2p为一个常数.an1an是等差数列.12在等差数列an中，a16a17a18a936，其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)·d3n63， an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21时，Sn最小且最小值为630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数当n21时，TnSnn2n.当n>21时，TnSn2S21n2n1 260.综上，Tn.13.已知等差数列an中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn (nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题设知，an是等差数列，且公差d>0，则由得解得an4n3 (nN*).(2)由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列.专心-专注-专业2019-2020年高三数学一轮复习讲义 等比数列及其前n项和 新人教A版要点自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比q 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_.a1·qn13.等比中项3等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 G2a·b (ab0)4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·_，(n，mN*). qnm(2)若an为等比数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则_ ak·alam·an _.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列.(4)单调性：或an是_数列；递增或an是_数列；递减q1an是_常_数列；q<0an是_摆动_数列5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_. qn7等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若an是等比数列，且an>0，则lg an构成等差数列 8思想与方法：(1)等比数列的判定方法：定义：q (q是不为零的常数，nN*)an是等比数列. 等比中项法：aan·an2(an·an1·an20，nN*)an是等比数列.通项公式：ancqn1 (c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列. (2) 等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种方法在数列求和中的运用.(3)在利用等比数列前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q1和q1两种情况；计算等比数列前n项和过程中要注意整体代入的思想方法常把qn，当成整体求解(4) 等比数列的通项公式ana1qn1及前n项和公式Sn (q1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用.(5)揭示等比数列的特征及基本量之间的关系. 利用函数、方程的观点和方法，讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小.基础自测1“b”是“a、b、c成等比数列”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2若数列an的前n项和Sn3na，数列an为等比数列，则实数a的值是 ()A3B1C0D13已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则an等于 ()A8·nB8·n C8·n1D8·n14.在等比数列an中，an>0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5的值为_.55.在等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8_240_.6.在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663，则公比q的值是 ()A.2 B.2 C.3 D.3题型一等比数列的基本量的运算例1(1)在等比数列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8项和S8；(2)设等比数列an的公比为q (q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项.解(1)设数列an的公比为q，由通项公式ana1qn1及已知条件得：由得a1q3±8.将a1q38代入式，得q22，无解，故舍去.将a1q38代入式，得q24，q±2.当q2时，a11，S8255；当q2时，a11，S885.(2)若q1，则na140,2na13 280，矛盾.q1，得：1qn82，qn81， 将代入得q12a1.又q>0，q>1，a1>0，an为递增数列.ana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81×372 187.探究提高(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用.(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论.变式训练1 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，已知S41，S817，求an的通项公式.an·2n1或an·(2)n1(2)已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn.本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得2×1616q2100.解得q24或q2.又数列an为正项数列，q2或.当q2时，可得a1，an×2n12n2， Sn2n1；当q时，可得a132.an32×n126n. Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或当a38，a52时，q2.q>0，q，由a3a1q28，得a132，an32×n126n.Sn6426n.当a32，a58时，q24，且q>0，q2.由a3a1q2，得a1.an×2n12n2. Sn2n1.（3）在等比数列an中，a1an66，a2·an1128，Sn126，求n和q.解由题意得解得或若则Sn126，解得q，此时，an264·n1，n6.若则Sn126，q2.an642·2n1.n6.综上n6，q2或.题型二等比数列的性质及应用例2在等比数列an中， (1) 已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求a10；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值.解(1) a4·a7a3·a8512，解之得或.当时，q532，q2.a11，a10a1q91×(2)9512.当时，q5，q.又q为整数，q舍去.综上所述：a10512.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am·anap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.变式训练2 (1)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12·a1q13·a1q14·a1q15a·q548.÷：q488q162，又a41a42a43a44a1q40·a1q41·a1q42·a1q43a·q166a·q6·q160(a·q6)·(q16)101·2101 024. (2)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78. (3)在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且2，求a3.解由已知得2，a4，a3±2.若a32，设数列的公比为q，则22q2q28，即1qq2224.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.题型三等比数列的定义及判定例3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：q (q为与n值无关的常数)(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法 (1)证明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)解由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an3×2n1，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)×n，所以an(3n1)·2n2.变式训练3(1)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.设cnan1，求证：cn是等比数列； 求数列bn的通项公式. (1)证明anSnn， an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)