三棱锥的外接球问题(共11页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。题型一 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形中，4，3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 A. B. C. D.B2.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且，则该球的体积为A B C D 解析：D3在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C DA4.在平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A B C D 5平行四边形ABCD中，·=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BDC，且，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（ ） A B C D 试题分析：,所以,因为为平行四边形,所以.因为为直二面角,所以,因为,所以.因为,所以.分析可知三棱锥的外接球的球心为的中点.因为,所以.则三棱锥的外接球的半径为1,表面积为.故C正确.6已知直角梯形ABCD，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 解：如图，.取的中点的中点，连结，当三棱锥体积最大，平面平面，即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积：题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1. 在三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积为_|科|2四点在半径为的球面上，且， ，则三棱锥的体积是_来源:学,科,网【答案】20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，则有，解得，所以三棱锥的体积为20题型三 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1. 已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_2设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足·0，·0，·0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1S2S3的最大值是_答案8解析由·0，·0，·0，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，AB2AC2AD2(22)216，即16AB·ACAB·ADAC·AD，S1S2S3(AB·ACAB·ADAC·AD)×16，当且仅当ABACAD时，S1S2S3取得最大值8.3三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D解析:由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥的外接球，半径为，表面积为，选BC4.在正三棱锥中，分别是的中点，若，则外接球的表面积为 A B C D C5.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为A B C D 7已知正方形的边长为4，点分别是边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.解析：折成的三棱锥如图所示.由题意可知两两互相垂直且.设此棱锥外接球的半径,则.则外接球的体积为.故B正确.8.已知在球的表面上，是边长为 的正方形，则的面积为_题型四 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体,其中是边长为6的等边三角形,平面,则四面体外接球的表面积为_【答案】【解析】根据已知中底面是边长为6的等边三角形,平面,可得此三棱锥外接球,即以为底面以为高的正三棱柱的外接球因为是边长为6的正三角形,所以的外接圆半径为,所以球心到的外接圆圆心的距离为,所以球的半径为,所以四面体外接球的表面积为,故应填2.已知三棱锥中，,直线底面所成的角是，则此时三棱锥外接球的体积是 ( )A B C D 选D3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A外接球的半径为 B表面积为 C体积为 D外接球的表面积为解：由三视图可知，这是侧面ACDABC，高的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为0，半径为x，则，在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OC2，即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以A，C，D都不正确，故选B题型五 平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是，球的半径为，截面圆的半径为，则有1.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A. B. C. D.2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为 . 3.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。C4.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为 A B C 1 D 来源:学OABCDA1B1C1D1·5如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 6连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦可能相交于点；弦可能相交于点；的最大值为5；的最小值为l. 其中真命题的个数为 3个题型六 求锥体的体积1.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A B C D C2（2011辽宁理）已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥的体积为 A B C D 1（2012新课标）（11）已知三棱锥的所有顶点都在球球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）A B C D 【解析】选的外接圆的半径，点到面的距离 ，为球的直径点到面的距离为,此棱锥的体积为方法二：排除B3三棱锥中，顶点在平面上的射影为,满足，点在侧面上的射影是的垂心， ，则此三棱锥体积最大值是（ ）A12 B36 C48 D244 正四棱锥,当它的体积最大时，它的高为 2题型七 补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处1.三棱锥中，底面，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于_。2. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中为等边三角形，,则该球的体积是 3（2015兴安盟二模）如图，在三棱锥ABCD中，ACD与BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AFBF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为故答案为：4（2015长春四模）如图，在三棱锥ABCD中，ACD与BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AFBF，AF=BF，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为故答案为：5（2015石家庄二模）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A11 B7 C D解：AC=2，AB=1，BAC=120°，BC=，三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，SA平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半径R=，该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4×（）2=故选：D6（2014秋莱城区校级期末）已知四面体SABC中，SA=SB=2，且SASB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为8【解答】解：由于SA=SB=2，且SASB，BC=，AC=，则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则ACBC，取AB的中点O，连接OS，OC，则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，则球的表面积为S=4r2=4×（）2=8故答案为：8补充新的已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A,B,C,D ,E 在同一个球面上，则此球 的体积为A2 B C D解：作CO面ABDE，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，CH=， OH=，CO=结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，设球的半径为R，则R2=（R）2+（）2，R=V=故选：D以ABCD为面比较好做，如果以ABC为底面不好做 、或者取两个面的中心，作两条垂线不好做 。少北问了一个题在三棱锥SABC中，底面ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，ABC的三条边长分别为AB=，AC=，BC=，则三棱锥SABC的体积（）A2BCD解：底面ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，三棱锥的三个侧面与底面ABC全等三棱锥SABC可看做是面对角线分别为，的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体设长方体的棱长为x，y，z，则，解得，xyz=2三棱锥的体积V=xyz=故选C【点评】本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题太原一模上有一题11. 在三棱锥ABCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥ABCD外接球的表面积为A、3B、4C、5D、6答案：D解：定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，三棱锥ABCD是正三棱锥，AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，DE=，PE=，DP=直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即AP=，AD2=AP2+DP2（勾股定理），AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，正方体的对角线长为，外接球的半径为，外接球的表面积=4r2=6 （2016太原二模）已知三棱锥中，底面为边长等于的等边三角形，垂直于底面，那么三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D（2016南平模拟）己知三棱锥PABC，侧棱PA垂直底面ABC，PA=4，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）A14B28C12D9【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：根据已知中底面ABC是边长为3的正三角形，PA底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，ABC是边长为3的正三角形，ABC的外接圆半径r=，球心到ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R=，故三棱锥PABC外接球的表面积S=4R2=28故选：B【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，利用半径公式R=是解答的关键已知三棱锥ABCD中，DA平面BCD，底面BCD为等边三角形，且BC=2，AD=2，则此三棱锥的外接球的表面积为【考点】球内接多面体菁优网版权所有【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥ABCD外接球的表面积【解答】解：根据已知中底面BCD是边长为2的正三角形，DA平面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球BCD是边长为2的正三角形，BCD的外接圆半径r=，球心到BCD的外接圆圆心的距离d=，故球的半径R=，故三棱锥PABC外接球的表面积S=4R2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键（2016秋温州月考）在四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，以下判断错误的是（）A该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直B该四面体的外接球球心与内切球球心重合C该四面体的各面是全等的锐角三角形D该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1【考点】棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何【分析】把该四面体ABCD补成一个长方体，四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线，由长方体的性质能求出结果【解答】解：如图，把该四面体ABCD补成一个长方体，四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线，由长方体的性质得AB=CD，AC=BD，AD=BC，由长方体性质得该：四面体的三组对棱的中点连线两两垂直，故A正确；该四面体的外接球球心与内切球球心重合，故B正确；该四面体的各面是全等的锐角三角形，故C正确；由于长方体的三条棱长不一定相等，故该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和不一定为1，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体结构特征的合理运用专心-专注-专业