2022年六级奥数行程问题间隔发车.pdf

行程问题之间隔发车问题由李老师收集整理而成、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2、小明放学回家 ,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12 分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？同向时电车 12 分钟走的路程 -小明 12 分钟走的路程 =发车间隔时间 *车速反向时电车 6 分钟走的路程 +小明 6 分钟走的路程 =发车间隔时间 *车速则:电车 6 分钟走的路程 =小明 18 分钟走的路程小明 12 分钟走的路程 =电车 4 分钟走的路程电车 12 分钟走的路程 -小明 12 分钟走的路程电车 12 分钟走的路程 -电车 4 分钟走的路=电车 8 分钟走的路程=发车间隔时间 *车速所以,发车间隔时间为 8 分钟3、一条公路上， 有一个骑车人和一个步行人， 骑车人速度是步行人速度的3 倍，每隔 6 分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔 6 分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说： 当一辆汽车超过步行人时， 下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人， 汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V 汽，骑车人的速度为 V 自，步行人的速度为V 人（单位都是米 /分钟），则：间隔距离 =（V 汽-V 人） 6（米），间隔距离 =（V 汽-V 自） 10（米），V 自=3V 人。综合上面的三个式子，可得：V 汽=6V 人，即 V 人=1/6V 汽，则：间隔距离 =（V 汽-1/6V 汽） 6=5V 汽（米）所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离 V 汽=5V 汽（米） V 汽（米 /分钟） =5（分钟）。小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了14 辆迎面开来的公交车，并于1 小时 18 分后到达起点站，这时候恰好又有一辆公交车从起点开出。已知起点站与终点站相距6000米，公交车的速度为500 米/分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。求这个发车间隔是几分钟 ? 解析：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 发车间隔为 6 分钟。6000 500=12( 分). (78+12)=90( 分). 90 (16-1)=6( 分). 公交车走完全程的时间为6000500=12( 分)。小峰前后一共看见了16 辆车，并且第 16 辆车是他走了 1 小时 18 分即 78 分钟后在起点站遇上的。如果我们让小峰站在终点站不动，他可以在 (78+12)=90( 分钟)后看见第 16 辆车恰好到达终点。第 1 辆车和第 16 辆车中间有 (16-1)=15( 个)发车间隔，所以一个发车间隔为90 15=6(分). 列车每天 18：00 由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过50 小时到达，每天 10：00 从乌鲁木齐站有一列火车返回上海，所用时间也为 50 小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方站，至少需要准备这种列车多少列？在原题的前提下，正常运行后，每天18：00 从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中，将会遇到几趟回程车从对面开来？在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务， 每天两站互发车辆时间间隔至少需要相差多长时间？（假定乘客上下车及火车检修时间为一小时）解：（ 1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：00 出发，到乌鲁木齐为第三天晚 20：00，该车可于第四日早10：00 从乌鲁木齐出发，于第六日中午12：00 到上海，当日晚 18：00 可出发往乌鲁木齐。因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5 辆列车。（2）正常运行后，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在18：00 从上海站开往乌鲁木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间，从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是2 辆。（3）在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出，设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚x(x2，若 x0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 解得： x3 为便于叙述，现将 “ 发车问题 ” 进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车， 而从迎面每隔 b 分钟就有一辆公交车驶来。 问：公交车站每隔多少时间发一辆车？ （假如公交车的速度不变， 而且中间站停车的时间也忽略不计。）一、把 “ 发车问题 ” 化归为 “ 和差问题 ”因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。我们把这个相等的距离假设为 “1”。根据“ 同向追及 ” ，我们知道：公交车与行人a 分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a 就是公交车与行人的速度差。根据“ 相向相遇 ” ，我们知道：公交车与行人b 分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b 就是公交车和行人的速度和。这样，我们把 “ 发车问题 ” 化归成了 “ 和差问题 ” 。根据“ 和差问题 ” 的解法：大数=（和+差） 2，小数= （和-差） 2，可以很容易地求出公交车的速度是（1/a+1/b ） 2。又因为公交车在这个 “ 间隔相等的时间 ” 内行驶的路程是1，所以再用 “ 路程速度 =时间 ” ，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1【（1/a+1/b） 2】=2 （1/a+1/b ）。二、把 “ 发车问题 ” 优化为 “ 往返问题 ”如果这个行人在起点站停留m 分钟，恰好发现车站发n 辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m n 分钟。 但是， 如果行人在这段时间内做个“ 往返运动 ” 也未尝不可，那么他的 “ 往返” 决不会影响答案的准确性。因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a 和 b 都整除，所以他见到的公交车辆数也不一定是整数。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么让他走到哪再立即返回呢？或者说让他走多长时间再立即返回呢？取 a 和 b 的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取 ab。假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走 ab 分钟，然后马上返回；这时恰好是从行人背后驶过第b 辆车。当行人再用 ab 分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a 辆车。也就是说行人返回起点站时第（ a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab 分钟开出了（ a+b）辆公交车。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 这样，就相当于在2ab 分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（ a+b）辆车。于是我们求出车站发车的间隔时间也是2ab （a+b）=2（1/a+1/b）。这样的往返假设也许更符合“ 发车问题 ” 的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。如果用具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。三、请用上述两种方法，试一试，解答下面两题：1、 小红在环形公路上行走， 每隔 6 分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔 9 分钟就有一辆公共汽车从背后超过她。 如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车，那么汽车站发车的间隔时间是多少？2、小明从东城到西城去，一共用了24 分钟。两城之间同时并且每隔相等的时间对发一辆公共汽车。 他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出，之后他每隔 4 分钟看见一辆公共汽车迎面开来，每隔6 分钟有一辆公共汽车从背后超过。问小明从东城出发与到达西城这段时间内，一共有多少辆公共汽车从东城发出？四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。3、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82 千米，每隔 10 分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行 60 米，每隔 10 分 15 秒遇上迎面开来的一辆电车。电车总站每隔_分钟开出一辆电车。题说 1997 年小学数学奥林匹克决赛A 卷第 12 题答案： 11（分钟）4、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5 分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站。全程要走15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？题说 第一届 “ 华杯赛 ” 初赛第 16 题答案： 40（分钟）5、一条双向铁路上有11 个车站。相邻两站都相距7 公里。从早晨 7 点开始，有 18 列货车由第十一站顺次发出，每隔5 分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时 60 公里。早晨 8 点，由第一站发出一列客车， 向第十一站驶去，时速是 100 公里，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：在哪精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 两个相邻站之间，客车能与3 列货车先后相遇？题说 第三届 “ 华杯赛 ” 决赛二试第 6 题答案：在第 5 个站与第 6 个站之间，客车与三列货车相遇。从几个不变来找方法， 比如人步行的速度不变 比如车的速度和发车时间间隔不变等等就会比较容易找到已知数量与问题之间的关系从而找到解题方法。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -