2022年必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习.pdf

数学基础知识与典型例题第四章三角函数三角函数相关知识关系表角的概念1.与（0 360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） :Zkk,360|; 终边在 x 轴上的角的集合:Zkk,180|; 终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|; 终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|. 2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1=0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式12rl，扇形面积公式211|22SRRl，其中为弧所对圆心角的例 1.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为 (C ) ( )2A()sin 2B2()sin1C()2sin1D例 2. 已知为第三象限角,则2所在的象限是 (D ) (A) 第一或第二象限(B) 第二或第三象限(C)第一或第三象限(D) 第二或第四象限弧度数。三角函数的定义1.三角函数定义 :利用直角坐标系， 可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取 一 点( ,)P x y（ 与 原 点 不 重 合 ），记22|rOPxy，则sinyr，cosxr，tanyx，cotxy。注: 三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定根据三角函数定义可以推出一些三角公式: 诱导公式：同角三角函数关系式：平方关系，商数关系. 重视用定义解题. 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆;MPOMAT正弦线 :余弦线 :正切线 :2. 各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦 ,三切四余弦例3. 已 知 角的 终 边 经 过P(4,3), 求 2sin+cos的值 . 答案：由定义：5r,sin =53,cos =54,2sin+cos =52例4. 若是第三象限角, 且coscos22, 则2是 ( B ) ()A第一象限角()B第二象限角()C第三象限角()D第四象限角解：(21)(21)2kk)(Zk,4322kk)(Zk,则2是第二或第四象限角, 又coscos22, cos02,则2是第二或第三象限角, 2必为第二象限角例 5. 若cos0,sin20,且则角的 终 边 所 在 象 限 是（ D ）(A) 第一象限(B)第二象限精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - sinyrcosxrtanyx(纵坐标 y 的符号 ) (横坐标 x 的符号 ) (C)第三象限(D)第四象三角函数公式三角函数的公式： （一）基本关系公式组一(kZ)sin(2)sin,cos(2)costan(2)tankxxkxxkxx公式组二sin()sintan()tancos()cosxxxxxx公式组四公式组五xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组六sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx(二)两角和与差公式公式组一sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(公式组二: cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan2cos12sin2cos12cos,1 cossin1 costan21cos1cossin公式组三1cos()sin2,1cos()sin2,例 6.化简：440sin122221sin (36080 )1sin 80cos 80cos80原式例 7.已知tan ，tan 是方程23 340 xx两根，且 ，)2,2(， 则+ 等 于(A ) (A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例9. 设)2, 0(,若,53sin则)4cos(2=（ B ）(A)57(B)51(C)27(D)4 例 10.sin163 sin223oosin 253 sin313oo( B )1( )2A1( )2B3( )2C3( )2D例11. 求下列各式的值：75tan175tan1; tan17 +tan28 +tan17 tan28 原式 =3(2) 28tan17tan128tan17tan)2817tan( tan17 +tan28=tan(17 +28 )(1 tan17 tan28 ) 1sin()cos21sin()cos2常用数据: 30 45 60 90oooo、的三角函数值62sin15cos 754oo,42615cos75sin,=1 tan17 tan28 原 式 =1tan17 tan28 + tan17 tan28 =1 三角函数公式注: 以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式. 如tan()(1tantan)tantan221 cos1 coscos,sin2222等 . 从而可做到 : 正用、逆用、变形用自如使用各公式. 三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. 三角函数恒等变形的基本策略。常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2 +sin2= tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin2cos(sincos ) cos1 cosxxxxxx; 配凑角 (常用角变换 ): 2()()、2()()、22、22、()等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 引 入 辅 助 角 。 asin +bcos =22basin(+)， 这里辅助角所在象限由a、 b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。例12. 已 知为 锐 角 ， 且1tan2，求sin2 cossinsin2 cos2的值 . 解：1tan2为锐角 ,2cos52sin 2 cossinsin2 cos2sin (2cos1)2sin cos cos2152cos4例 13. 已知 为第二象限角，且sin =,415求12cos2sin)4sin(的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 三角函数公式解：2cos2cossin2)cos(sin2212cos2sin)4sin(.)cos(sincos4)cos(sin2当为第二象限角，且415sin时，41cos, 0cossin，所以12cos2sin)4sin(=.2cos42例 14. 已知21)4tan(， （1）求tan的值； （2）求2cos1cos2sin2a的值王新敞解（ 1） ：由21tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(，解得31tan（2）1cos21coscossin22cos1cos2sin22265213121tancos2cossin2例 15. 已知cos2sin,sin4cos5sin2cos求的值;2sin2sincos求的值.解：sin2cos,tan2Qsin4costan4215sin2cos5tan21265614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222三角函数公式例 16. 已知45cossin，求sincos 的值 .解:1625)cos(sin21625cossin21,329cossin例 17. 已知锐角, 满足 cos =53,cos( + )=135,求 cos . 解： cos =53,sin =54,又 cos( + )=1350 ,+ 为钝角 , sin(+ )=1312, cos =cos( + )=cos(+ )cos +sin(+ )sin =653354131253135（角变换技巧）例 18. 已知2，0，tan =31，tan =71，求 2 + . 解：43tan1tan22tan2 , 1tan2tan1tan2tan)2tan(, 又 tan2 0， tan sinB A B,即 B 必为锐角, cosB = 54,cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =651654135531312例 20. 若关于 x 的方程 2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。解：原方程变形为：2cos2xsinx + a = 0 即2 2sin2xsinx + a = 0,817)41(sin22sinsin222xxxa,1sinx1 ,81741sinminax时，当；11sinmaxax时，当, a的 取 值 范 围 是1,817 三角函数三角函数的性质: sinyxcosyx定义域R R 值域 1,1 1,1周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性2,222kk上为增函数；32,222kk上 为 减 函数.（Zk） 21,2kk上为增函数 ; 2, 21kk上为减函数 . （Zk）三角tanyx定义域1|,2xxRxkkZ且值域R 周期性奇偶性奇函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 函数单调性kk2,2上为增函数（Zk）以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象. 函数sin()yAx的图像和性质以函数sinyx为基础 , 通过图像变换来把握 . 如sinyx图例变化为sin()y Ax(A0,0) 相应地，的单调增区间2,222kk变为2222kxk的解集是的增区间. 注:)sin( xy或cos()yx（0 ）的周期2T; sin()yx的对称轴方程是2xk（Zk） ，对称中心(,0)k；cos()yx的对称轴方程是xk（Zk） ，对称中心1(,0)2k；)tan( xy的对称中心（0,2k）.三角函数例 21.下列函数中，既是（0，2）上的增函数，又是以为周期的偶函数是( B ) (A) y=lgx2(B) y=|sinx| (C)y=cosx(D)y=x2sin2例 22.函数sin2xy的最小正周期是（C ）(A)2(B)(C) 2(D) 4例 23. 函数),0)(26sin(2xxy为增函数的区间是( C ) (A)3,0(B)127,12(C) 65,3(D),65例 24函数22cos()()363yxx的最小值是（ D ）()2A()3B()1C()1D例 25. 为了得到函数)62sin( xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（ B ）三角函数(A) 向右平移6个单位长度(B) 向右平移3个单位长度(C)向左平移6个单位长度(D) 向左平移3个单位长度例 26. 若函数)sin()(xxf的图象（部分）如图所示， 则和的取值是 ( C ) (A)3, 1(B)3, 1(C)6,21(D)6,21例 27.函数fxxxx( )cossincos22 3的最小正周期是_. 例 28将函数sinyx的图象上各点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3个单位，所得图象的解析式是_sin()26xy_. 例 29. 函数sin3 cosyxx在区间 0,2的最小值为 _1_. 例 30.函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于34. 例 31. 已知2, 0 x，求函数)125cos()12cos(xxy的值域解：5cos()cos()2cos()12123yxxx, 0,2x, 633x,1cos(),132x , 函数 y 的值域是2,22例 33. 已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）求 f(x)的最小正周期；求f(x)单调区间；f(x)图象的对称轴，对称中心。答案：（1） T=（2）增区间 k-12， k+125，减区间 k +1211k,125（3）对称中心（62k，0） ，对称轴1252kx，kZ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -