2022年必修一高一数学压轴题全国汇编1-附答案.pdf

22 （本小题满分 12 分）已知 x 满足不等式211222(log)7log30 xx，求22( )loglog42xxf x的最大值与最小值及相应x 值22. 解：由211222(log)7log30 xx，1213log2x， 21log32x，而2222( )loglog(log2)(log1)42xxf xxx222(log)3log2xx2231(log)24x，当23log2x时min1( )4f x此时 x=322 =2 2，当2log3x时max91( )244f x，此时8x21 （14 分）已知定义域为R的函数2( )12xxaf x是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求实数k的取值范围；21. 解：（1）由题设，需12(0)0,1afa，1 21 2( )xxf x经验证，( )f x为奇函数，1a-（2 分）（2）减函数 -（3 分）证明：任取121221,0Rxx xxxxx，由（ 1）122121122(22)1 21 2211 21 2(1 2)(1 2)()()xxxxxxxxyffxx12121212,022,220,(12)(12)0 xxxxxxxx0y该函数在定义域R上是减函数 -（7 分）（3）由22(2 )(2)0f ttftk得22(2 )(2)f ttftk，( )fx是奇函数22(2 )(2)f ttf kt，由（ 2） ，( )f x是减函数原问题转化为2222ttkt，即2320ttk对任意tR恒成立 -（10 分）4120,k得13k即为所求 - -(14分) 20、 （本小题满分 10 分）已知定义在区间( 1,1)上的函数2( )1axbf xx为奇函数 , 且12( )25f. (1) 求实数a,b的值；(2) 用定义证明 : 函数( )f x在区间( 1,1)上是增函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - (3) 解关于t的不等式(1)( )0f tf t. 20、解：(1) 由2( )1axbfxx为奇函数 , 且2122( )1251 ()2abf则21122()( )12251 ()2abff，解得：1,0ab。2( )1xf xx(2) 证明：在区间( 1,1)上任取12,x x，令1211xx, 221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)xxxxxxf xf xxxxx12122212()(1)(1)(1)xxx xxx1211xx120 xx ,1210 x x , 21(1)0 x, 22(1)0 x12()()0f xf x即12()()fxfx故函数( )fx在区间( 1,1)上是增函数 . (3) (1)( )0f tf t( )(1)(1)f tf tft函数( )f x在区间( 1,1)上是增函数111111tttt102t故关于t的不等式的解集为1(0,)2. 21(14 分) 定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数a,bR, 均有 f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当 x1 时,f(x)1，所以 f(k)x 所以 kxx,f(kx)f(x)对 xR+恒成立，所以f(x) 为 R+ 上的单调减函数法二：设2121,0,xxxx且令1,12kkxx则)()()()()()()()(212121kfxfkfxfkxfxfxfxf有题知， f(k)0)()(0)()(2121xfxfxfxf即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 所以 f(x)在（0，+）上为减函数法三：设2121,0,xxxx且)()()()()(12121121xxfxxxfxfxfxf0)(11212xxfxx)()(0)()(2121xfxfxfxf即所以 f(x) 在（ 0，+）上为减函数22、（本小题满分12 分）已知定义在 1 ，4 上的函数 f(x) x2-2bx+4b(b1)，(I) 求 f(x) 的最小值 g(b) ；(II)求 g(b) 的最大值 M 。22. 解： f(x)=(x-b)2-b2+4b的对称轴为直线xb（ b 1） ，(I) 当 1b4 时， g(b) f(b)-b2+4b; 当 b4 时， g(b) f(4)16-314b，综上所述， f(x) 的最小值g(b) 2 (14)43116 (4)4bbbbb 。(II) 当 1 b4 时， g(b) -b2+4b-(b-18)2+164，当 b1 时， M g(1) -34；当 b4 时， g(b) 16-314b是减函数， g(b) 16-3144-15 -34，综上所述， g(b) 的最大值M= -34。22、 （12 分）设函数( )log (3 )(0,1)af xxaaa且，当点( ,)P x y 是函数( )yf x 图象上的点时，点(2 ,)Q xay 是函数( )yg x 图象上的点 . （1）写出函数( )yg x 的解析式；（2）若当2,3xaa时，恒有 |( )( ) |1fxg x ,，试确定 a的取值范围；（ 3 ） 把( )yg x的 图 象 向 左 平 移 a 个 单 位 得 到( )yh x的 图 象 ， 函 数1( )2 2 ( )( )( )2h xh xh xF xaaa， （0 ,1aa且）在1,44的最大值为54，求 a 的值 . 22、解：（1）设点 Q 的坐标为 (,)xy，则2 ,xxa yy ，即2 ,xxa yy 。点( ,)P x y 在函数log (3 )ayxa 图象上log ( 23 )ayxaa ，即1logayxa1( )logag xxa(2) 由题意2,3xaa，则3(2)3220 xaaaa，110(2)xaaa. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 又0a，且1a， 01a221|( )( ) | | log (3 )log| |log (43) |aaaf xg xxaxaxaxa( )( )1f xg x,221log (43)1axaxa剟01a22aa，则22( )43r xxaxa 在2,3aa上为增函数，函数22( )log (43)au xxaxa在2,3aa上为减函数，从而max ( )(2)log (44 )au xu aa 。min ( )(3)log (96 )au xu aalog (96 )101,log (44 )1aaaaa又则,957012a ,（3）由（ 1）知1( )logag xxa，而把( )yg x 的图象向左平移a个单位得到( )yh x 的图象，则1()logaah xxx，1log1()22()()222aaaxxxhxhxhxFxaaaaa即22( )(21)F xa xax，又0,1aa且，( )F x 的对称轴为2212axa，又在1,44的最大值为54，令221142aa242026()26aaaa舍去 或；此时( )F x 在1,44上递减，( )F x的最大值为2255111()(21)81604(26,)441644Faaaaa，此时无解；令22211148210422aaaaa，又0,1aa且，102a；此时( )F x 在1,44上递增，( )F x 的最大值为214255(4)1684444Faaa， 又102a，无解；令222262642021141182104242aaaaaaaaa或剟,剟剠且0,1aa且12612aa且剟，此时( )F x的最大值为222242(21)(21)2155()44242aaaFaaaa222(21)541044aaaa，解得：25a，又12612aa且剟，25a；综上， a的值为 25 . 10、 已知定义在R上的偶函数( )f x 在 0,) 上单调递增， 且(2)0f， 则不等式2(log)0fx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 的解集为（）A1(,4)4B1(,)(4,)4C1(0,)(4,)4D1(,)(0,4)411、设1(0,)2a，则1212,log,aaa a 之间的大小关系是（）A1212logaaaaB1212logaaaaC1212logaaaaD1212logaaaa12 、 函 数2( )(0 )fxaxbxc a， 对 任 意 的 非 常 实 数, , , ,a b c m n p ， 关 于 x 的 方 程2() ( )0m fxnfxp的解集不可能是（）A1,2B 1,4C1,2,3,4D 1,4,16,6421、 （12 分）设函数124( )lg()3xxaf xaR . （1）当2a时，求( )f x 的定义域；（2）如果(, 1)x时，( )f x 有意义，试确定a 的取值范围；（3）如果01a，求证：当0 x时，有 2 ( )(2 )f xfx . 21、 解： （1） 当2a时，函数( )f x 有意义，则12240122403xxxx， 令2xt不等式化为：2121012ttt，转化为12102xx，此时函数( )f x 的定义域为 (,0)（2）当1x时，( )f x有意义，则124121101240()3442xxxxxxxxaaa，令11()42xxy在(, 1)x上单调递增，6y，则有6a ；（3）当0ax时，22222(124)1241242( )(2 )2loglglg333(124)xxxxxxxxaaaf xfxa，设 2xt ，0 x，1t且01a，则2224232(124)3(124)(3 )2(22)2(1)xxxxaataaattat4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0taaattatattatt 2 ( )(2 )f xfx22 （本题满分14 分）已知幂函数(2)(1)( )()kkf xxkz满足(2)(3)ff。（1）求整数 k 的值，并写出相应的函数( )f x的解析式；（2）（ 2 ） 对 于 （ 1 ） 中 的 函 数( )f x， 试 判 断 是 否 存 在 正 数m， 使 函 数()1()( 21gxm fxmx，在区间0,1上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 存在，请说明理由。22解 : （）23ff，21012,kkk,0kZk或1k；当0k时，2fxx，当1k时，2fxx；0k或1k时，2fxx（）2121211g xmfxmxmxmx，0m，g x开口方向向下，对称轴2111122mxmm又01,gg x在区间，上的最大值为，111022152 61522mmgmm562m22 （本题满分14 分） 已知函数1( )(0 xf xaa且1)a（）若函数( )yf x的图象经过4,3P点，求a的值；（）当a变化时，比较1(lg)( 2.1)100ff与大小，并写出比较过程；（）若(lg)100fa，求a的值22.（）函数( )yf x的图象经过(3,4)P3-14a， 即24a. 又0a， 所以2a. （）当1a时，1(lg)( 2.1)100ff; 当01a时，1(lg)( 2.1)100ff因为，31(lg)( 2)100ffa，3.1( 2.1)fa当1a时，xya在(,)上为增函数，33.1，33.1aa. 即1(lg)( 2.1)100ff. 当01a时，xya在(,)上为减函数，33.1，33.1aa. 即1(lg)( 2.1)100ff. （）由(lg )100fa知，lg1100aa. 所以，lg1lg2aa（或lg1log 100aa）. (lg1) lg2aa. 2lglg20aa，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - lg1a或lg2a，所以，110a或100a. 20 （本题 16 分）已知函数9( )log (91)xfxkx (kR) 是偶函数(1) 求k的值；(2) 若函数( )yf x 的图象与直线12yxb没有交点，求b的取值范围；(3) 设94( )log33xh xaa，若函数( )f x 与( )h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围 20(1) 因为( )yf x 为偶函数，所以,()()xfxfxR，即99log (91)log (91)xxkxkx对于xR恒成立 . 于是9999912log (91)log (91)loglog (91)9xxxxxkxx 恒成立 , 而x不恒为零，所以12k. -4 (2) 由题意知方程911log (91)22xxxb即方程9log (91)xxb 无解 . 令9( )log (91)xg xx ，则函数( )yg x 的图象与直线yb 无交点 . 因为99911( )loglog199xxxg x任取1x 、2xR，且12xx ，则12099xx，从而121199xx. 于是129911log1log199xx，即12()()g xg x，所以( )g x 在,上是单调减函数. 因为1119x，所以91( )log109xg x. 所以b的取值范围是, 0 . - 6 (3) 由题意知方程143333xxxaa 有且只有一个实数根令 30 xt，则关于t的方程24(1)103atat( 记为(*) 有且只有一个正根. 若a=1，则34t，不合 , 舍去；若1a，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 由304a或 3；但3142at，不合，舍去；而132at；方程(*)的两根异号1101.aa综上所述，实数a的取值范围是 3(1,) - 6 10.若函数2( )2fxxx，则对任意实数12,x x，下列不等式总成立的是（ C ）A12()2xxf12()()2f xf x B 12()2xxf12()()2f xf xC12()2xxf12()()2f xf x D 12()2xxf12()()2f xf x18. （本小题满分12 分）二次函数( )yf x的图象经过三点( 3,7),(5,7),(2,8)ABC.（1）求函数( )yf x的解析式（ 2）求函数( )yf x在区间,1t t上的最大值和最小值18(1)解,A B两点纵坐标相同故可令( )7(3)(5)fxa xx即( )(3)(5)7f xa xx将(2,8)C代入上式可得1a2( )(3)(5)728f xxxxx 4 分(2)由2( )28f xxx可知对称轴1x1） 当11t即0t时( )yf x在区间,1t t上为减函数2max( )( )28f xf ttt22min( )(1)(1)2(1)89f xf tttt 62）3） 当1t时，( )yf x在区间,1t t上为增函数22max( )(1)(1)2(1)89f xf tttt2min( )( )28f xf ttt 8 分3）当11 10tt即102t时2max( )( )28f xf tttmin( )(1)9f xf 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4）5）当011 1tt即112t时22max( )(1)(1)2(1)89fxf ttttmin( )(1)9f xf 12 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -