2022年必修四23平面向量的基本定理及坐标表示.pdf

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案 A 第 1 课时教学目标一、知识与技能1通过探究活动，理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达3了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量二、过程与方法1首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示2 通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题3如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷三、情感、态度与价值观1在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用2 在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示教学难点：平面向量基本定理的理解与应用教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位教法与学法导航精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律教学准备 .教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1- 2e2 平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢 ? 如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与 e1、e2之间的关系师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a过点 C作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线OA 的直线，与直线 OB 交于点N由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得OM=1e1，ON=2e2由于ONOMOC，所以 a=1e1+2e2也就是说，任一向量a 都可以表示成 1e1+2e2的形式由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便由此可得：平面向量基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e1+2e2定理说明：（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; （2）基底不唯一，关键是不共线; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （3）由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; （4）基底给定时，分解形式唯一提出问题 : 平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬， 对回答不全面的学生给予提示和鼓励然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a 和 b（如图），作OA=a，OB=b，则 AOB= （0 180）叫做向量a 与 b 的夹角 显然， 当 =0 时，a 与 b 同向 ;当 =180时，a 与 b 反向因此，两非零向量的夹角在区间0 ，180 内如果 a 与 b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作a b由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和 2a2，使 a=1a1+2a2在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解如上，重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便提出问题我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 对实数 x、y，使得a=xi+yj 这样，平面内的任一向量a 都可由 x、y 唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示显然， i=（1，0） ，j=（0，1） ，0=（0，0） 教师应引导学生特别注意以下几点：（1）向量 a 与有序实数对（x，y）一一对应（2）向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系如图所示，11BA是表示 a 的有向线段， A1、B1的坐标分别为（x1，y1） 、 （x2，y2） ，则向量 a 的坐标为 x=x2- x1，y=y2- y1，即 a 的坐标为 （x2- x1，y2- y1） （3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量 a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点 A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：三、拓展创新，应用提高例 1 已知向量 e1、e2（如右图），求作向量-2. 5e1+3e2作法： （1） 如图，任取一点 O， 作OA=- 2 5e1，OB=3e2（2）作OACB故OC就是求作的向量例 2 如下图，分别用基底、j 表示向量 a、b、c、d，并求出它们的坐标活动：本例要求用基底i、j 表示 a、b、c、d，其关键是把 a、b、c、d 表示为基底i、j 的线性组合一种方法是把 a正交分解，看 a 在 x轴、 y轴上的分向量的大小 把向量 a 用 i、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系： a 与 b 关于 y 轴对称， a 与 c 关于坐标原点中心对称， a与 d 关于 x 轴对称等 由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标解：由图可知，a=1AA+2AA=2i+3j，a=（2，3） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 同理， b=- 2i+3j=（- 2，3） ；c=- 2i-3j=（-2，- 3） ；d=2i- 3j=（2，- 3） 点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标四、小结1先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合五、课堂作业1如图所示，已知AP=34AB，AQ=31AB，用OA、OB表示OP，则OP等于（）A31OA+34OB B31OA+34OBC31OA-34OBD31OA-34OB2已知 e1，e2是两非零向量，且|e1|=m，|e2|=n，若 c=1e1+2e2（1，2R） ，则 |c|的最大值为（）A 1m+2nB1n+2mC|1|m+|2|nD|1|n+|2|m3已知 G1、G2分别为 A1B1C1与A2B2C2的重心， 且12A Auuuuu r=e1，12B Buuuuu r=e2，12C Cuuuuu r=e3，则12G Guuuuu r等于（）A21（e1+e2+e3）B31（e1+e2+e3）C32（e1+e2+e3）D31（e1+e2+e3）4 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP=OA+)|(ACACABAB， 0，+） ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A外心B内心C重心D垂心5已知向量a、b 且AB=a+2b，BC=- 5a+6b，CD=7a- 2b，则一定共线的三点是（）AA、B、D BA、B、CCC、B、 D DA、C、D 6如右图， 平面内有三个向量OA、OB、OC，其中与OA与OB的夹角为120 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - OA与OC的夹角为 30 ，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=OA+OB（ ， R） ，则 +的值为 _参考答案：1B 2C 3B 4B 5A 66 第 2 课时教学目标一、知识与技能1理解平面向量的坐标的概念；2掌握平面向量的坐标运算；3会根据向量的坐标，判断向量是否共线二、过程与方法教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论教学准备教师准备：多媒体、尺规学生准备：练习本、尺规教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究，合作交流提出问题：我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=（ x1， y1） ，b=（x2， y2） ，你能得出 a+b，a- b， a 的坐标表示吗？如图，已知A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为（ x2- x1，y2- y1）的 P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤可得：a+b=（x1i+y1j） +（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2） 同理a- b=（x1-x2，y1- y2） 又 a= （x1i+y1j）=x1i+y1j a=（x1，y1） 教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB平移，使得点 A 与坐标原点O 重合， 则平移后的B 点位置就是P 点向量AB的坐标与以原点为始点，点 P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现：向量AB的模与向量OP的模是相等的由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB|=|OP|=221221)()(yyxx教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 讨论结果：能AB=OB-OA=（x2，y2）- （x1，y1）=（x2- x1，y2- y1） 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标提出问题如何用坐标表示两个共线向量？若 a=（x1，y1） ，b=（x2， y2） ，那么2211xyxy是向量 a、b 共线的什么条件？师生互动： 教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，其中 b0 我们知道， a、b 共线，当且仅当存在实数 ，使 a= b如果用坐标表示，可写为（x1，y1）=（x2，y2） ，即.,2121yyxx消去 后得 x1y2- x2y1=0这就是说，当且仅当x1y2- x2y1=0 时向量 a、b（b0 ）共线我们知道x1y2- x2y1=0 与 x1y2=x2y1是等价的，但这与2211xyxy是不等价的因为当x1=x2=0 时， x1y2- x2y1=0 成立，但2211xyxy均无意义因此2211xyxy是向量 a、b 共线的充分不必要条件由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点讨论结果：x1y2-x2y1=0 时，向量 a、b（b 0）共线充分不必要条件提出问题：a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 使得 a= b，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？师生互动：教师引导推证：设a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，其中 b a，由 a= b， （x1，y1）= （x2，y2）.,2121yyxx消去 ，得 x1y2- x2y1=0讨论结果： ab（b 0）的充要条件是x1y2-x2y1=0教师应向学生特别提醒感悟：1.消去 时不能两式相除，y1、y2有可能为0，而 b 0， x2、y2中至少有一个不为 0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2.充要条件不能写成2211xyxy（ x1、x2有可能为0） 3.从而向量共线的充要条件有两种形式：a b（b0 ）1221.a bx yx y三、拓展创新，应用提高例 1 已知 a=（2，1） ，b=（- 3，4） ，求 a+b，a- b，3a+4b 的坐标活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化可由学生自己完成解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（- 1，5） ；a- b=（2，1）- （-3，4）=（5，-3） ；3a+4b=3（2，1）+4（- 3，4）=（6，3）+（- 12，16）=（- 6，19） 点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式例 2 如图已知ABCD 的三个顶点A、B、C 的坐标分别是（-2，1） 、 （- 1，3） 、（3，4） ，试求顶点D 的坐标活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标， 进而得到点D 的坐标 解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点 D 的坐标表示为已知点的坐标解：方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（ x，y） AB=（-1-（-2） ， 3- 1）=（1，2） ，DC=（3- x，4- y） 由AB=DC，得（ 1，2）=（3-x，4-y） .42,31xx，. 2, 2yx顶点 D 的坐标为（ 2，2） 方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - BCBAADBABD=（-2- （-1） ，1- 3）+（3- （-1） ，4-3）=（3，- 1） ，而OD=OB+BD=（-1，3）+（3，- 1）=（2，2） ，顶点 D 的坐标为（ 2，2） 点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算例 3 已知 a=（4，2） ，b=（ 6，y） ，且 ab，求 y解： ab， 4y-2 6=0 y=3例 4 已知 A（- 1，-1） ，B（1，3） ，C（2，5） ，试判断A、B、 C 三点之间的位置关系活动：教师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式解：在平面直角坐标系中作出A、B、C 三点，观察图形，我们猜想A、B、C 三点共线下面给出证明AB=（1- （- 1） ，3- （- 1） ）=（2，4） ，AC=（2- （- 1） ，5- （- 1） ）=（3，6） ，又 2 6-3 4=0，ABAC，且直线 AB、直线 AC 有公共点A，A、B、C 三点共线点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的例 5 设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是（x1，y1） 、 （x2，y2） （1）当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PPPP=时，点 P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由PP1=2PP，知（ x- x1，y- y1）= （x2- x，y2- y） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 即.1,1)()(21212121yyyxxxyyyyxxxx这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质时间允许的话，可以探索的取值符号对 P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索解： （1）如图，由向量的线性运算可知OP=21（OP1+OP2）=（.2,22121yyxx） 所以点 P 的坐标是（.2,22121yyxx）（2）如图（ 1） 、 （2） ，当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即21PPPP=21或21PPPP=2如果21PPPP=21，如图（ 1） ，那么OP=1OP+PP1=1OP+3121PP=1OP+31（2OP-1OP）=321OP+312OP=（32,322121yyxx） 即点 P 的坐标是（32,322121yyxx） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 同理，如果21PPPP=2 图（2） ，那么点P 的坐标是121222(,) .33xxyy点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式四、小结1先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础五、课堂作业1已知 a=（3，- 1） ，b=（- 1，2） ，则 - 3a-2b 等于（）A （7，1）B （- 7，- 1）C （- 7，1）D （7，- 1）2已知 A（1，1） ，B（- 1，0） ，C（0，1） ，D（x，y） ，若AB和CD是相反向量，则 D 点的坐标是（）A （- 2，0）B （2，2）C （2，0）D （- 2，- 2）3若点 A（- 1，- 1） ，B（1，3） ，C（x，5）共线，则使AB=BC的实数 的值为（）A1 B- 2 C0 D2 4设 a=（23，sin ） ，b=（ cos ，31） ，且 ab，则 的值是（）A =2k+4（kZ）B =2k -4（ kZ）C =k+4（kZ）D =k -4（k Z）5向量OA=（k，12） ，OB=（4，5） ，OC=（10，k） ，当 k 为何值时， A、B、C三点共线？参考答案：1B 2B 3D 4C 5OA=（k，12） ，OB=（4，5） ，OC=（ 10，k） ，AB=OB-OA=（4-k，- 7） ，BC=OC-OB=（6，k- 5） ABBC，（ 4-k） （k-5）+7 6=0 k2-9k- 22=0解得 k=11 或 k=- 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 教案 B 第 1 课时教学目标一、知识与技能1理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底2了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义二、过程与方法领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2怎样理解向量的数乘运算 a？（1）| a|=| |a|；（2） 0 时， a 与 a 方向相同； 0 时， a 与 a 方向相反； =0 时， a=03平面向量共线定理是什么？非零向量 a 与向量 b 共线?存在唯一实数 ，使 b a4如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为 F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？5在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论二、新知探究G F1F2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 探究（一）平面向量基本定理思考 1给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e12e2和 e1- 2e2？2如图，设OA、OB、OC 为三条共点射线，P 为 OC 上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N，使四边形OMPN 为平行四边形？3在下列两图中，向量OA、OB、OC不共线，能否在直线OA、OB 上分别找一点 M、N，使OM+ON=OC？4在上图中，设OA=e1，OB= e2，OC= a，则向量OM、ON分别与 e1、e2的关系如何？从而向量a 与 e1、e2的关系如何？OM=1e1，ON=2e2，a1e12e25 若上述向量e1、e2、a都为定向量，且e1、e2不共线，则实数1、2是否存在？是否唯一？6若向量 a 与 e1或 e2共线， a 还能用 1e12e2表示吗？7根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来，从而可形成一个定理你能完整地描述这个定理的内容吗？如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使 a1e12e28上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量ae1e23e1 e12e2OABCDO A BC PMN O A BC MN O A BC MN 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 的表示式是否相同？9 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积即：如果 a=（x1，y1） ， b=（x2，y2） ，那么 a b=（x1 x2，y1 y2） ， a=（ x1， y1）ab 的充要条件是x1y2=x2y1（需要证明）10 任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示即a=xe1+ye2这里 x、y 是唯一确定的一对有序实数e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做 a 关于基底 e1，e2的分解式探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考 1不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a 和 b，作OA=a，OB=b，如图为了反映这两个向量的位置关系，称AOB 为向量 a 与 b 的夹角你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？0 ，180 2如果向量 a 与 b 的夹角是90，则称向量a 与b 垂直，记作ab 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？3 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解如图，向量i、j 是两个互相垂直的单位向量， 向量 a 与 i 的夹角是30，且|a|=4，以向量 i、j 为基底，向量a 如何表示？a23 i2j4在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axi yj我们把有序数对（x，y）叫做向量 a 的坐标，记作a（ x，y） 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示那么x、y 的几何意义如何？5相等向量的坐标必然相等，作向量OA=a，则OA= （ x，y） ，此时点A 的坐标baabA BO aiA BO jPaix y O jaix y O jA 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 是什么？三、例题解析例 1 已知直角坐标平面内的两个向量a（ 1，3） ，b（ m，2m- 3） ，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成cab，则 m 的取值范围是 _解： c 可唯一表示成cab，a 与 b 不共线，即2m- 33 m，m - 3例 2 如图， M 是ABC 内一点 ,且满足条件CMBMAM320r,延长CM 交AB 于 N,令CM=a,试用 a 表示CN.解: ,NMBNBMNMANAM由CMBMAM32=0r,得CMNMBNNMAN3)(2)(0r.CMBNNMAN323=0r.又A、N、B 三点共线 ,C、 M、N 三点共线 , 由平行向量基本定理,设,NMCMBNANNMBNNMBN3230r.（ +2）BN+（3+3 ）NM= 0r.由于BN和NM不共线 , ,033, 022,1.MNNMCMCMMNCMCN2=2a.例 3 设e1与 e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=- 2e1+5e2,若实数 、 满足 a+ b=5e1- e2,求 、的值 .解: 由题设 a+ b=（3 e1+4 e2）+（- 2 e1+5 e2）=（3 - 2 ） e1+（4 +5 ）e2.又 a+ b=5e1- e2.由平面向量基本定理，知325,451.uu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 解之 ,得 =1,=- 1.四、小结1平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点2向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0或 180，垂直向量的夹角是903向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标第 2 课时教学目标一、知识与技能1掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标2深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养二、过程与方法1. 通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2. 通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示教学难点向量的坐标运算原理的构建教学设想：一、情境设置1平面向量的基本定理是什么？如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使 a1e12e22用坐标表示向量的基本原理是什么？设 i、 j 是与 x 轴、 y 轴同向的两个单位向量，若axiyj，则 a（ x，y） 3用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等二、新知探究精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 探究（一）平面向量的坐标运算思考 1设 i、j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量 ab，a-b， a （ R）如何分别用基底i、j 表示？ab（ x1x2）i（ y1y2）j，a- b（ x1- x2）i（ y1- y2）j， a x1i y1j2根据向量的坐标表示，向量ab，a- b， a 的坐标分别如何？ab（ x1x2，y1y2） ，a-b（ x1- x2，y1-y2） ， a（ x1， y1） 3 如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4如图，已知点A11(,)x y，B22(,)xy，那么向量ABuuu r的坐标如何？一般地，一个向量的坐标如何计算？ABuuu r（ x2- x1，y2- y1） 一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标5 在上图中，如何确定坐标为（x2-x1，y2- y1）的点 P 的位置？6 若向量 a=（x，y） ，则 |a|如何计算？若点A11(, )x y，B22(,)xy，则| AB |uuu r如何计算？|a|22xy=+，221212|AB |()()xxyyuuu r探究（二）平面向量共线的坐标表示思考 1 如果向量 a、b 共线（其中b0） ，那么 a、b 满足什么关系？a b2 设 a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，若向量a、b 共线（其中b0） ，则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？o x y B22(,)xyA11(, )x y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 向量 a、b（b0）共线1221=x yx y3 如何用解析几何观点得出上述结论？4 已知点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，若点 P 分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P 的坐标？5 一般地，若点 P1（x1， y1） ，P2（x2， y2） ， 点 P 是直线 P1P2上一点， 且12PPPPu uu ru uu r，那么点 P 的坐标有何计算公式？1212(,)11x xy yP三、例题讲解例 1 若 、是一组基底，向量 x y （x， yR） ，则称（ x，y）为向量在基底 、下的坐标， 现已知向量a 在基底 p（1，- 1） 、q（2，1）下的坐标为 （- 2，2） ，则 a 在另一组基底m（ - 1，1） ，n（ 1，2）下的坐标为（）A （2，0）B （0，- 2）C （- 2，0）D （0，2）解析：由已知a- 2p2q（ -2，2）（ 4，2）（ 2， 4） ，设 am n （-1，1） （1，2）（ - ， 2 ） ，则由 2 2 4? 0