2012高考数学压轴题——定义新概念题之闭函数(共9页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上题目整理函数，D为定义域)，若同时满足下列条件：f(x)在D内单调递增或递减；存在区间a,b，那么函数叫做闭函数。（1）求函数符合条件的区间a,b；（2）判断函数是否为闭函数，并说明理由。分析 （1）易知为a,b上的减函数故（a=b=0，不合题意）得得区间�1，1。（2）取，则故f(x)不是（0，+）上的减函数取，则故f(x)不是（0，+）上的增函数因此，f(x)不是闭函数例2 对于函数)，存在满足，则称为函数的不动点。若函数有唯一不动点，且，求的值。分析 依题意有得解得或，令，得所以所以所以所以为等差数列，且，所以，所以。设y=loga(x-3)/(x+3)的定义域为s,t),值域为（loga（at-a），loga（as-a）(1)求证s>3(2)求a的取值范围（1）把x=s带入y=loga(s-3)/(s+3),(s-3)/(s+3)0，s>3ors<-3,根据值域和定义域可知函数为减函数,（0，），0<a<1,，loga(s-3)/(s+3)=loga（as-a）,则(s-3)/(s+3)=as-a，拆开整理得，as²+(2a-1)s+3-3a=0,s1+s2=1-2a/a>0,s1*s2=3-3a/a>0,方程as²+(2a-1)s+3-3a=0两根为正数，s>3(2).其实若要方程as²+(2a-1)s+3-3a=0有根上式才成立，且这两根一个是s,另一个是t,所以（2a-1)²-4a（3-3a)>0，0<a<（2-根号3）/4和（2+根号3）/4<a<1对于函数，若同时满足以下条件：在D上单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域也是，则称函数是闭函数（1）求函数，符合条件的区间；（2）当时判断函数是不是闭函数，并说明理由；（3）若函数是闭函数，求实数k的取值范围解（1）由在上为减函数，得，解之得，所求区间为（2）取，可得不是减函数，取，可得在不是增函数，不是闭函数（3）设函数符合条件的区间为，则，故a，b是方程的两个实根，命题等价于有两个不相等的实根，当时，解得，当时，无解k的取值范围是对于定义域为D的函数，若同时满足：在D上单调递增或单调递减；存在区间a,bD，使在a,b上的值域为a,b,那么把（）叫做闭函数。（1）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件的区间a,b；（2）求闭函数符合条件的区间a,b；（3）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（4）若是闭函数,求实数的取值范围；（5）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（6）是否存在实数m，使函数h(x)= x33x2mx是R上的闭函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由（7）找出所有形如f（x）的函数，使其在1，25上是闭函数，且条件（2）中的a，b=1，25。解：（1）如，a,b=1,2。 （2）-1,1 （3），函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数. （4）若是闭函数，函数在定义域内单调递增，a、b为方程的两个实数根。 解法一：方程=有两个不相等的实根.当时，有，解得.当时，有，无解.综上所述，.解法二：方程可化为令，则，依题意，函数与的图象有两个交点，实数的取值范围为。（5）不是，用导数法可证明：当x>0时，x>lgx。（6）h(x)=x33x2mx，h(x)=3x26xmh(x)0恒成立不可能，而当=3612m0，即m3时，h(x)0恒成立m3时，h(x)为单调函数，满足故h(x)为闭区间的充要条件为h(x)=x，即x33x2(m1)x=0至少有一个非零实根而方程x23xm1=0 在m3时无零根，故只需方程有实根，则=94(m1)0，得m。当3m时，函数h(x)是R上的闭函数 （7）若f(x)在1,25上为增函数，则 f(1)=1，f(25)=25 ，即a=1，5a+ln25·b=25，ln25·b=20 ，b=20/ln25=10/ln5 y=在1,25上为增函数，y=在1,25上为增函数，f(x)在1,25上为增函数。若f(x)在1,25上为减函数，则f(1)25,f(25)=1 即a=25，5a+ln25·b=1， b= ，f(x)= 。 f(5)<0，f(1)>f(5)，f(5)<f(25)， f(x)在1,25上不为单调递减函数 。所以， f(x)= +。闭函数【数学思想】数形结合思想、转化思想、函数方程不等式思想、整体思想等.我们也接触了一类它的定义域与值域相等且单调的函数如:(1)等.(2)等.(3),且.(4)等.象上面一类满足某些特定条件的函数在高考中频频出现,今天我们一起探讨这类问题.定义 对于函数,若同时满足以下条件:在上单调递增或单调递减；存在区间使在上的值域是.那么,我们把函数叫做闭函数.【点评与定义分析】1 一个新概念“闭函数”就在这两个条件下诞生了,这是考查我们的适应能力,学习(阅读)能力,理解能力,逻辑思维能力,要求我们对定义给予的每个条件来理解、掌握、并运用一个崭新的概念.2区间是定义域的子区间,且隐含着. 问题是数学的心脏,数学中正是因为有不断的问题呈现,它才具活力.那么对这个闭函数概念我们能提出什么样的问题呢?有什么样的问题可以考查呢?【联想提出问题】1 闭函数与传统的初等函数有什么区别与联系?答:它并不是我们没有接触过的函数,它是我们所学过函数中的一类特别函数.2 判断所学过的初等函数中哪些是闭函数?哪些不可能是闭函数?哪些可能是闭函数?答:前面大家给出的函数等,当然还有很多符合条件的函数,如是正奇数)等.不是单调的函数不可能是闭函数,单调函数有可能是闭函数.3 判断某具体函数是否是闭函数,应先考察函数满足哪个条件?为什么?答:当然,因为就是满足,还必须满足.研究与闭函数相关的问题例1 求闭函数符合条件的区间.解析:因为是单调递减函数,所以有,即.试题点评:1 求闭函数满足条件的区间问题转化为解方程组.(转化思想)一般地:2 若闭函数是单调递减函数,则区间满足.3 若闭函数是单调递增函数,则区间满足方程在上有两个不等的实根函数与的图象有两个不同的交点.例2 判断函数是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间;若不是,说明理由.解析:函数,可看成是两个单调递增函数与的差.对于第二个函数开始时递增快,后来递增慢,故整个函数可能不单调.取,不具有单调性,故它不是闭函数.试题点评:判断函数是不是闭函数,首先要考察函数是否单调,若不单调,则可通过对解析式分析或数形结合分析进行判断,并取值验证；若是单调函数,则要严格证明.例3 若是闭函数,求实数的取值范围.解析:设,则,所以是单调递增函数.若它是闭函数,则必具备方程有两个不相同的实数解,即方程有两个不同的实数解且同时大于或等于和.若令,则.另解:方程有两个不相同的实数解,等价于两函数与的图象有两个不同的交点,如图当直线过时,;直线与抛物线相切时,.试题点评:与闭函数相关的含参数问题,若所给函数在定义域上单调递增,则利用函数方程不等式思想,可以转化成三个二次的问题.【研究问题】(供老师与同学课后或下一节课研究、探讨)1 除了上面的一次函数外,还有其它的一次函数吗?为什么?行吗?答:都是闭函数.2反比例函数和都是闭函数,而和不是闭函数.3 函数能否是闭函数?若能,求出其中一个值；若不能,说明理由.答:如而.4 函数能否是闭函数?若能,求出其中一个值；若不能,说明理由.答:如等.5 例1中的函数对应的函数是否也是闭函数?说明理由.答:可取是闭函数.四 反思、小结与作业:1 求闭函数满足条件的区间问题的本质是解方程；当函数是增函数时,几何意义是曲线与直线有两个交点,且反函数也是闭函数.2 一个数学概念的产生,完全依靠定义.由定义产生了一个新概念,从而在这基础上,形成了数学的一部分知识内容,所以我们要重视对新概念定义的学习.备选试题:问题1:已知函数的定义域的值域均为,写出五个满足条件的.答:直线与的两个交点是.引变:(1)函数变成,又怎样.(2)函数变成,又怎样.问题2:设函数,区间,集合,则使成立的实数对有 个 个 个 无数多个问题3:已知二次函数为实常数),满足；有等根.(1)求；(2)是否存在不大于的常,使函数在上的值域也是(其中?写出判断的依据.解析:(1),故,又有等根.(2),.而在的值域为,故.,此时是增函数.有,又,故,即存在符合要求.专心-专注-专业
