2020年高考文科数学一轮总复习：概率与统计的综合问题(共18页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上2020年高考文科数学一轮总复习：概率与统计的综合问题第4讲概率与统计的综合问题“双图”“五数”及概率(师生共研) 某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按70，80)，80，90)，140，150分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法从成绩在70，90)内的试卷中抽取7份，求这7份试卷中成绩在70，80)内的试卷数；(3)从(2)中抽出的7份试卷中任取2份，求成绩在70，80)和80，90)内的试卷各有1份的概率【解】(1)由(0.0020.0050.0082x2×0.020.025)×101，得x0.01.(2)成绩在70，80)内的试卷数为1 000×0.002×1020，成绩在80，90)内的试卷数为1 000×0.005×1050.故这7份试卷中成绩在70，80)内的试卷数为7×2(份)(3)由(2)知成绩在70，80)内的试卷数为2，分记为A1，A2，成绩在80，90)内的试卷数为5，分别记为B1，B2，B3，B4，B5，从中任取2份试卷的所有情况为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5，)(B4，B5)，共21种成绩在70，80)和80，90)内的试卷各有1份的情况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，共10种，记“从这7份试卷中任取2份，成绩在70，80)和80，90)内的试卷各有1份”为事件M，则P(M).求解此类问题的关键是准确地掌握数与形的语言转换要领一是会画图，二是会读图，三是会用公式，四是能准确计算 (2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率解：(1)甲在比赛中得分的均值×(78101517192123)15，方差s2×(8)2(7)2(5)2022242628232.25.(2)题设所述的6场比赛甲得分分别为：7，8，10，15，17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P.频率直方图与统计案例(师生共研) 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区共投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的(1)根据频率分布直方图计算图中各小矩形的宽度；(2)试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x/万元12345销售收益y/万元2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求出y关于x的回归直线方程附参考公式：，.【解】(1)设各小矩形的宽度为m，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1，可知(0.080.100.140.120.040.02)·m1，解得m2.故图中各小矩形的宽度为2.(2)由(1)知各分组依次是0，2)，2，4)，4，6)，6，8)，8，10)，10，12，它们的中点的横坐标分别为1，3，5，7，9，11，各组对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计销售收益的平均值为1×0.163×0.205×0.287×0.249×0.0811×0.045.(3)由(2)可知空白栏中填5.由题意可知，3，3.8， xiyi1×22×33×24×55×769.x122232425255，所以1.2，3.81.2×30.2，故所求的回归直线方程为1.2x0.2.求解频率分布直方图与回归直线方程相交汇题的关键：一是会观图读数据，即会利用频率分布直方图，读出相关的数据；二是会用公式，如会用平均数的计算公式求样本的平均数，会利用回归系数，的计算公式求出，从而得其回归直线方程 (2017·高考全国卷改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)估计旧养殖法的箱产量低于50 kg的概率；(2)填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关箱产量50 kg箱产量50 kg合计旧养殖法新养殖法合计附：K2，其中nabcd.P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62，所以旧养殖法的箱产量低于50 kg的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得2×2列联表如下：箱产量50 kg箱产量50 kg合计旧养殖法6238100新养殖法3466100合计96104200K215.705，由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关概率与统计案例(师生共研) (2019·郑州第一次质量测试)2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质情况，现抽取了某校1 000名(男生800名，女生200名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生的测试成绩进行分析，得到如下统计表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2(1)现从抽取的100名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出2名学生，求选出的这2名学生恰好是一男一女的概率；(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其他等级(含病残免试)的学生为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：K2，其中nabcd.【解】(1)按分层抽样的知识知男生应抽取80名，女生应抽取20名所以x80(5101547)3，y20(23102)3.抽取的100名且测试等级为“优秀”的3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b.从5名学生中任选2名，总的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10个设“选出的2名学生恰好是一男一女”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6个，所以P(M).(2)2×2列联表如下：男性女性总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K29.091.因为9.0916.635且P(K26.635)0.010.所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人与性别有关”求解概率、统计综合问题的一般步骤第一步：审清题意理清条件和结论，找到关键数量关系第二步：找数量关系把图形语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母第三步：建立解决方案找准公式，根据图表数据代入公式计算数值第四步：作出判断得结论依据数据，借助数表作出正确判断 (2019·河北石家庄模拟)天气预报是气象专家根据观测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关(1)天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989求由随机模拟的方法得到的概率；(2)经过数据分析，一天内降雨量的大小x(单位：毫米)与其出售的快餐份数y呈线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下降雨量/毫米12345快餐数/份5085115140160试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数(结果四舍五入保留整数)附注：回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：(1)题干中20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191，271，932，812，393，共5组，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值P.(2)由题意可知3.110，27.5.27.5，所以y关于x的回归方程为27.5x27.5.将降雨量x6代入回归方程得27.5×627.5192.5193.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193. 基础题组练1为研究女大学生体重和身高的关系，从某大学随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：身高x/cm165165157170175165155170体重y/kg4857505464614359利用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为0.849x85.712，据此可求得R20.64，下列说法正确的是()A两组变量的相关系数为0.64BR2越趋近于1，表示两组变量的相关关系越强C女大学生的身高解释了64%的体重变化D女大学生的身高差异有64%是由体重引起的解析：选C.用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为0.849x85.712，据此可求得R20.64，即女大学生的身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，故选C.2为了考察两个变量x和y之间的线性相关情况，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回归直线所对应的方程分别为l1：y0.7x0.5和l2：y0.8x1，则这两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值s与对变量y的观测数据的平均值t的和是()A8B9C10 D11解析：选A.因为两组数据对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点都是(s，t)因为数据的样本中心点一定在线性回归直线上，所以回归直线l1和l2都过点(s，t)由解得所以st8.故选A.3(2019·贵阳第一学期检测)A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图所示的茎叶图(1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)；(2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a的值；(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率解：(1)女生打分的平均数为×(68697675707879828796)78；男生打分比较分散(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在70，80)内的有9人，则a÷100.045.(3)设“有女生被抽中”为事件A，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a，b，c，d，2名女生分别记为m，n，从中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15种，其中有女生被抽中的事件有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9种，所以P(A).4(2019·河南郑州一中入学测试)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，800进行编号(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)第7行第8行第9行(2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有2018442.人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b若在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；在地理成绩及格的学生中，已知a11，b7.求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率解：(1)785，567，199.(2)×100%30%，所以a14，b10030(20184)(56)17.ab100(7205)(9186)431.因为a11，b7，所以a，b所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种当a11，b7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，则a5b.事件A包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件所以P(A)，故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.综合题组练1某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出适当的统计图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，那么从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答)；(2)经过对甲、乙两名同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在11.5，14.5之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8的概率解：(1)茎叶图(其中茎表示整数部分，叶表示小数部分)，或频率分布直方图如图从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，故选派乙同学参加比赛更好(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则由|xy|0.8，得0.8xy0.8，如图，阴影部分的面积为3×32.2×2.24.16.故所求概率为P(|xy|0.8)P(0.8xy0.8).2(2019·沈阳质量检测(一)为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个，从中国某城市的高中生中随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占，选择“个人空间”的高中生的人数占，美国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占，选择“个人空间”的高中生的人数占.(1)请根据以上调查结果将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；在家里感到最幸福在其他场所感到最幸福总计中国高中生美国高中生总计(2)从被调查的不“恋家”的美国高中生中，用分层抽样的方法随机选出4人接受进一步调查，再从4人中随机选出2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解：(1)补充2×2列联表如下：在家里感到最幸福在其他场所感到最幸福总计中国高中生223355美国高中生93645总计3169100因为K24.6283.841，所以有95%的把握认为是否“恋家”与国别有关(2)用分层抽样的方法选出4人，其中在“朋友聚集的地方”感到最幸福的有3人，在“个人空间”感到最幸福的有1人，分别记为a1，a2，a3，b，则所有的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6个设“含有在个人空间感到最幸福的高中生”为事件A.则A包含的基本事件为(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3个，所以P(A)，故2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率为.3(应用型)(2019·太原模拟试题(一)某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少抽入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况，列表如下：售出水量x/箱76656所得捐款额y/元165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核前2150名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计所得捐款额为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率附：回归方程x，其中，.解：(1)6，146，20，14620×626，所以20x26.当x9时，20×926206.即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元(2)设事件A1：甲获一等奖；事件A2；甲获二等奖；事件B1：乙获一等奖；事件B2：乙获二等奖；事件C1：丙获一等奖；事件C2：丙获二等奖则总事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8种情况甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A2，B2，C2)1种情况，则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为.4某市一中学课外活动小组为了研究经济走势，对该市19942016年的GDP(国内生产总值)相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值其中ziln yi，wiln xi.e6.42614.003，e6.63757.482，e6.84934.489，ln 243.18，ln 253.22，ln 263.26.(1)根据散点图判断，yabx，yecdx与ymnln x哪一个适合作为该市GDP值y关于年份代码x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)试预测该市2018年的GDP值(参考公式：，)解：本题考查非线性拟合，线性回归方程求法及预测(1)由散点图可以判断，yecdx适宜作为该市GDP值y关于年份代码x的回归方程类型(2)令zln y，则zcdx，由参考数据得，0.21，·3.90.21×121.38.所以z关于x的线性回归方程为1.380.21x，所以y关于x的回归方程为e1.380.21x.(3)由(2)可知，当x25时，e1.380.21×25e6.63757.482.所以预测2018年该市GDP值约为757.482亿元专心-专注-专业