二项式定理专题复习(共5页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上二项式定理知识点、题型与方法归纳一知识梳理1二项式定理：其中叫二项式系数式中的叫二项展开式的通项，用表示，即通项.2二项展开式形式上的特点:(1)项数为n1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即 (2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二题型示例【题型一】求展开特定项例1：(13x)n(其中nN*且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n() BA.6 B.7 C.8 D.9例2：的展开式中x2y2的系数为_.(用数字作答) 70【题型二】求展开特定项例1：在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是() DA74 B121 C74 D121【题型三】求展开特定项例1：已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a() DA.4 B.3 C.2 D.1例2：在(1x)6(1y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)() CA45 B60 C120 D210例3：若数列是等差数列,且,则在的展开式中,的系数为_.【题型四】求展开特定项例1：求(x>0)的展开式经整理后的常数项.解：在x0时可化为，因而Tr1C，则r5时为常数项，即C·.例2：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）DA11 B33 C55 D66解：展开后，每一项都形如，其中，该方程非负整数解的对数为。例3：(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60解析易知Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30.【题型五】二项式展开逆向问题例1：()若C3C32C3n2C3n185，则n的值为()A.3 B.4 C.5 D.6解：由C3C3n2C3n1(13)n185，解得n4.故选B.【题型六】赋值法求系数（和）问题例1：已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6； (4).解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71094.(3)()÷2，得a0a2a4a61093.(4)(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，所求即为(亦即)，其值为2187.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.例2：设a0a1xa2x2a2nx2n，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解：设f(x)，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)·f(1) ·.例3：已知(x1)2(x2)2014a0a1(x2)a2(x2)2a2016(x2)2016，则的值为_.解：依题意令x，得a0a1a2a2016，令x2得a00，则.【题型七】平移后系数问题例1：若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5, 其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解法一：令x1y，(y1)5a0a1ya2y2a5y5，故a3C(1)210.解法二：由等式两边对应项系数相等.即：解得a310.解法三：对等式：f(x)x5a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5两边连续对x求导三次得：60x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再运用赋值法，令x1得：606a3，即a310.故填10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例1：的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为_解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n9，展开式的第四项为T4C·()6·.例2：把(1x)9的展开式按x的升幂排列，系数最大的项是第_项A4 B5 C6 D7解析(1x)9展开式中第r1项的系数为C(1)r，易知当r4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C·25C·26，解得n8.所以(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C·(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有解得5r6.所以r5或r6，所以系数最大的项为T61 792x5或T71 792x6.点拨：(1)求二项式系数最大项：如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第项与第1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组从而解出r，即得展开式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1：若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5_解析原等式两边求导得5(2x3)4·(2x3)a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令上式中x1，得a12a23a34a45a510.【题型十】整除问题例1：设aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(521)2 012aC·522 012C·522 011C×52·(1)2 011C·(1)2 012a，C·522 012C·522 011C×52·(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C·(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.例2：已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作ab(mod m)，例如：513(mod 4).若22015r(mod 7)，则r可能等于()A.2013 B.2014 C.2015 D.2016解：2201522×23×6714×86714(71)6714(7671C7670C71).因此22015除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A.三自我检测1、()“n5”是“(nN*)的展开式中含有常数项”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2、已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63 B64 C31 D323、组合式C2C4C8C(2)nC的值等于 ()A(1)n B1 C3n D3n14、若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_5、已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8()A180 B180 C45 D456、(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为 ()A10 B10 C2 D27、(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_8、在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 9、在(x1)(2x1)(nx1)(nN*)的展开式中一次项系数为()AC BC CC D.C10、(2015·安徽合肥二检)(x2x1)10展开式中x3项的系数为_专心-专注-专业
