《点集拓扑学》第二章-拓扑空间与连续映射-学习笔记(共41页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义函数f：RR称为在点R处是连续的，如果对于任意实数0，存在实数0，使得对于任何xR，当|x-|<时,有|f(x)-f()|<.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1设X是一个集合，：X×XR如果对于任何x，y，zX，有（1）（正定性），(x,y)0并且(x,y)0当且仅当x=y；（2）(对称性)(x,y)=(y,x)；（3）（三角不等式）(x,z)(x,y)+(y,z)则称是集合X的一个度量如果是集合X的一个度量，称（X，）是一个度量空间，或称X是一个对于而言的度量空间有时，或者度量早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间此外，对于任意两点x，yX，实数(x，y)称为从点x到点y的距离着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1实数空间R对于实数集合R，定义：R×RR如下：对于任意x，yR，令（x，y）=|x-y|容易验证是R的一个度量，因此偶对（R，）是一个度量空间这个度量空间特别地称为实数空间或直线这里定义的度量，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间）例2.1.2n维欧氏空间对于实数集合R的n重笛卡儿积R×R××R定义：×R如下：对于任意x=（）,y=，令（x，y）容易验证（详见课本本节最后部分的附录）是的一个度量，因此偶对(，)是一个度量空间这个度量空间特别地称为n维欧氏空间这里定义的度量，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3Hilbert空间H记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即 Hx=()|< 定义如下：对于任意x（），y（）H令(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<）以及验证是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录偶对（H，）是一个度量空间这个度量空间特别地称为Hilbert空间这里定义的度量称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间例2.1.4离散的度量空间设（X，）是一个度量空间称（X，）是离散的，或者称是X的一个离散度量，如果对于每一个xX，存在一个实数0使得（x，y）对于任何yX，xy，成立例如我们假定X是一个集合，定义：X×XR使得对于任何x，yX，有(x,y)= 容易验证是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，）是离散的通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的定义2.1.2设（X，）是一个度量空间，xX对于任意给定的实数0，集合yX|（x，y）<记作B（x，），或，称为一个以x为中心以为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个邻域此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1度量空间（X，）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点xX,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点xX的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者； (3) 如果yX属于xX的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域证明:（1）设xX对于每一个实数0，B（x，）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域 (2)如果B（x，）和B（x，）是xX的两个球形邻域，任意选取实数0，使得min ，则易见有B（x，）B（x，）B（x，）即B（x，）满足要求（3）设yB（x，）令-（x，y）显然0如果zB（y，），则（z，x）（z，y）+（y，x）+（y，x）=所以zB（x，）这证明B（y，）B（x，）定义2.1.3设A是度量空间X的一个子集如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个aA，存在实数0使得B（a，）A，则称A是度量空间X中的一个开集注意：此处的开集仅是度量空间的开集例2.1.5实数空间R中的开区间都是开集设a，bR，ab我们说开区间（a，b）=xR|axb是R中的一个开集这是因为如果x（a，b），若令minx-a，b-x，则有B（x，）（a，b）也同样容易证明无限的开区间（a，）xR|xa，（-，b）=xR|xb（-,）R都是R中的开集然而闭区间 a，b=xR|axb却不是R中的开集因为对于aa，b而言，任何0，B（x，）a,b都不成立类似地，半开半闭的区间（a，b=xR|axb，a，b)xR|axb无限的闭区问 a，)=xR|xa,（，b=xR|xb都不是R中的开集定理2.1.2度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件（2）设U和V是X中的两个开集如果xUV，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V根据定理，x有一个球形邻域B（x，）同时包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，）B（x，）B（x，）UV由于UV中的每一点都有一个球形邻域包含于UV，因此UV是一个开集（3）设*是一个由X中的开集构成的子集族如果，则存在*A使得x由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于这证明是X中的一个开集此外，根据定理，每一个球形邻域都是开集球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广定义2.1.4设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集如果存在一个开集V满足条件：xVU，则称U是点x的一个邻域下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情定理2.1.3设x是度量空间X中的一个点则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U证明 如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得xVU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U这证明U满足定理的条件反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射定义2.1.5设X和Y是两个度量空间，f:XY，以及X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),），存在的某一个球形邻域B（，），使得f(B（，）)B（f（），），则称映射在点处是连续的如果映射f在X的每一个点xX处连续，则称f是一个连续映射以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广因为如果设和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数0，存在实数0使得对于任何xX只要（x，）（即xB（,）便有(f(x),f().（即f(x)B（f()，）下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点定理2.1.4设X和Y是两个度量空间，f：XY以及X则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立令U为f（）的一个邻域根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），）包含于U由于f在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，）使得f（B（，）B（f（），）然而，（B（f（），）（U），所以B（，）（U），这证明（U）是的一个邻域条件（1）*蕴涵（1）设条件（1）*成立任意给定f（）的一个邻域B（f(),），则（B（f()，）是的一个邻域根据定理2.1.3，有一个球形邻域B（，）包含于（B（f（），）因此f（B（，）B（f（），）这证明f在点处连续条件（2）蕴涵（2）*设条件（2）成立令V为Y中的一个开集，U（V）对于每一个xU，我们有f（x）V由于V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域由于f在每一点处都连续，故根据（1）*，U是x的一个邻域于是有包含x的某一个开集Ux使得UxU易见UxUUx由于每一个Ux都是开集，根据定理2.1.2，U是一个开集条件（2）*蕴涵（2）设（2）*成立，对于任意xX，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U从而x（V）（U）根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x而言，条件（1）*成立，于是f在点x处连续由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理作业：P47 §2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理定义2.2.1设X是一个集合，是X的一个子集族如果满足如下条件：（l）X， ；（2）若A，BT，则AB ；（3）若则称是X的一个拓扑如果是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，）或（X）中的一个开集即：AA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴定义2.2.2设（X，）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑我们称为X的由度量诱导出来的拓扑此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例例2.2.1平庸空间设X是一个集合令T =X，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集例2.2.2离散空间设X是一个集合令T =P（X），即由X的所有子集构成的族容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集例2.2.3设Xa，b，c令T =，a，a，b，a，b，c容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间例2.2.4有限补空间设X是一个集合首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集XA我们写为令T =U X|是X的一个有限子集先验证T是X的一个拓扑：（1）XT (因为=)；另外，根据定义便有T（2）设A，BT如果A和B之中有一个是空集，则ABT,假定A和B都不是空集这时 是X的一个有限子集，所以ABT （3）设令,显然有 如果，则设任意选取这时是X的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间例2.2.5可数补空间设X是一个集合令T =U X|是X的一个可数子集通过与例 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3设（X，P）是一个拓扑空间如果存在X的一个度量使得拓扑P即是由度量诱导出来的拓扑 ，则称（X，P）是一个可度量化空间根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§21中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例，但不是离散空间，也不是可度量化的由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射定义2.2.4设X和Y是两个拓扑空间，f:XY如果Y中每一个开集U的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续 按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§21中的定理，如果f:XY是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质定理2.2.1设X，Y和Z都是拓扑空间则（1）恒同映射：:XX是一个连续映射；（2）如果f:XY和g:YZ都是连续映射，则 gof:XZ也是连续映射 证明（l），所以连续（2）设f:XY,g:YZ都是连续映射这证明gof连续在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注定义2.2.5设X和Y是两个拓扑空间如果f：XY是一个一映射，并且f和：YX都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚定理2.2.2设X，Y和Z都是拓扑空间则（1）恒同映射：XX是一个同胚；（2）如果f：XY是一个同胚，则：YX也是一个同胚；（3）如果f：XY和g：YZ都是同胚，则gof：XZ也是一个同胚证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l53和定理154（l）是一个一映射，并且，都是连续的，从而是同胚（2）设f：XY是一个同胚因此f是一个一映射，并且f和 都是连续的于是也是一个一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚（3）设f：XY和g：YZ都是同胚因此f和g都是一映射，并且f，g和都是连续的因此gof也是一映射，并且gof和都是连续的所以gof是一个同胚定义2.2.6设X和Y是两个拓扑空间如果存在一个同胚f：XY，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间定理2.2.3设X，Y和Z都是拓扑空间则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚证明从定理根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了在定理，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然定义2.3.1设（X，P)是一个拓扑空间，xX如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集VP使得xVU，则称U是点x的一个邻域点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事定理2.3.1拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要xU，U便是x的一个邻域证明定理中条件的必要性是明显的以下证明充分性如果U是空集，当然U是一个开集下设U根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集定理定理2.3.2设X是一个拓扑空间记为点xX的邻域系则：（1）对于任何xX，；并且如果U，则xU；（2）如果U，V，则UV；（3）如果U并且UV，则V；（4）如果U，则存在V满足条件：(a)VU和(b)对于任何yV，有V证明（1）X,XP,X,且由定义,如果U，则xU（2）设U，V则存在UP和P使得和成立从而我们有,T,UV（3）设U，并且（4）设U令VP满足条件V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁定理2.3.3设X是一个集合又设对于每一点xX指定了x的一个子集族，并且它们满足定理，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去定义2.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:XY，xX如果f（x）Y的每一个邻域U的原象（U）是xX的一个邻域，则称映射f是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理，如果f: XY是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点xX处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然这里我们也有与定理定理2.3.4设X，Y和Z都是拓扑空间则（1）恒同映射：XX在每一点xX处连续；（2）如果f：XY在点xX处连续，g：YZ在点f（x）处连续，则gof：XZ在x处连续证明请读者自己补上以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系定理2.3.5设X和Y是两个拓扑空间，f：XY则映射f连续当且仅当对于每一点xX，映射f在点x处连续证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续充分性：设对于每一点xX，映射f在点x处连续这就证明了f连续作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理定义2.4.1设X是一个拓扑空间，AX如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U（A-x），则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）如果xA并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U（A-x），则称x为A的一个孤立点即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象例2.4.1离散空间中集合的凝聚点和导集设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果xX，则X有一个邻域x，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）例2.4.2平庸空间中集合的凝聚点和导集设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集我们分三种情形讨论：第1种情形：A=这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=（可以参见定理第2种情形：A是一个单点集，令 A如果xX，x，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即xd（A）然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A第3种情形：A包含点多于一个请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）X定理2.4.1设X是一个拓扑空间，AX则（l）d（）=；（2）AB蕴涵d（A）d（B）；（3）d（AB）d（A）d（B）；（4）d（d（A）Ad（A）证明（1）由于对于任何一点xX和点x的任何一个邻域U，有U （2）设AB如果这证明了d（A）d（B）（3）根据（2），因为A，BAB，所以有d（A），d（B）d（AB），从而d（A）d（B）d（AB）另一方面，如果综上所述，可见（3）成立(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可)（4）设：即（4）成立定义2.4.2设X是一个拓扑空间，AX如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集例如，根据例，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集定理2.4.2设X是一个拓扑空间，AX则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集例2.4.3实数空间R中作为闭集的区间设a，bR，ab闭区间a，b是实数空间R中的一个闭集，因为a，b的补集=（-，a）（b，）是一个开集同理，（-，a，b，）都是闭集，（-，）R显然更是一个闭集然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）同理区间（a，b，a，b），（-，a）和（b，）都不是闭集定理2.4.3设X是一个拓扑空间记F为所有闭集构成的族则：（1）X，F（2）如果A，BF，则AUBF（从而如果)（3）如果在此定理的第（3）条中，我们特别要求的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义证明根据定理2.4.2，我们有T=|UF其中，T为X的拓扑（1）X，T，（2）若A、BF ，则（3）令：定理证明完成总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集其余情形不一定（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集其余情形不一定定义2.4.3设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的导集d(A)的并Ad(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与xd(A)的区别)定理2.4.4拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=Ad(A)定理2.4.5设X是一个拓扑空间,则对于任意A,BX,有：证明（1）成立是由于是闭集（2）成立是根据闭包的定义（3）成立是因为 （4）成立是因为 Ad（A）d（d（A) Ad（A）=在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理定理2.4.6拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集证明根据定理定理2.4.7设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有 即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交证明因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理有另一方面，由于是一个闭集，并且，所以(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系，即得所求证的等式由定理，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画定义2.4.5设（X，)一个度量空间X中的点x到X的非空子集A的距离（x，A）定义为 （x，A）inf（x，y）|yA根据下确界的性质以及邻域的定义易见：（x，A）0当且仅当对于任意实数0，存在yA使得（x，y），换言之即是：对于任意B（x，）有B（x，)A，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有UA，应用以上讨论立即得到定理2.4.9设A是度量空间（X，）中的一个非空子集则（1）xd（A）当且仅当（x，A-x）=0；（2）x当且仅当（x，A）0以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段定理设X和Y是两个拓扑空间，f:XY则以下条件等价：（l）f是一个连续映射；（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即； (4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即证明（1）蕴涵（2）设BY是一个闭集则 是一个开集，因此根据（1），是X中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集(2)蕴涵（3）设AX由于f（A），根据（2），成立(3)蕴涵(4)设AY集合(B)X应用（3）即得 （4）蕴涵（l）设U是Y中的一个开集则是Y中的一个闭集对此集合应用（4）可见:总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 12§2.6 基与子基本节重点：掌握基与子基的概念，点的邻域与基之间的关系；掌握基、子基与开集的关系；掌握如何用基表示开集在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域起着基本性的重要作用一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集则对于每一个xU有一个球形邻域B（x，）U，因此这就是说，一个集合是某度量空间中的一个开集当且仅当它是这个度量空间中的若干个球形邻域的并因此我们可以说，度量空间的拓扑是由它的所有的球形邻域通过集族求并这一运算“产生”出来的留意了这个事实，下面在拓扑空间中提出“基”这个概念就不会感到突然了定义2.6.1设（X，T）是一个拓扑空间，B是T的一个子族如果T中的每一个元素（即拓扑空间X中的每一个开集）是B中某些元素的并，即对于每一个UT，存在使得 则称B是拓扑T的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基按照本节开头所作的论证立即可得：定理2.6.1一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基特别地，由于实数空间R中所有开区间构成的族就是它的所有球形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间R的一个基至于离散空间，它有一个最简单的基，这个基由所有的单点子集构成下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提供了一个易于验证的条件定理2.6.2设B是拓扑空间（X，T）的一个开集族（即），则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个xX和x的每一个邻域证明设B是X的一个基，则根据基的定义，可知存在这证明B满足定理中的条件另一方面，设定理中的条件成立如果U是X中的一个开集，则对于每一个xU，因此，U是B中某些元素之并，从而B是X的一个基在度量空间中，通过球形邻域确定了度量空间的拓扑，这个拓扑以全体球形邻域构成的集族作为基是否一个集合的每一个子集族都可以确定一个拓扑以它为基？答案是否定的以下定理告诉我们一个集合的什么样的子集族可以成为它的某一个拓扑的基定理2.6.3设X是一个集合，B是集合X的一个子集族（即BP(X)如果B满足条件：（1）；（2）如果,则对于任何则X的子集族TUX|存在使得是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑；反之，如果X的一个子集族B是X的某一个拓扑的基，则B一定满足条件（l）和（2）值得注意的是，如果集合X的子集族B满足条件：对于任意B,有B这时，B必然满足条件（2）这种情形经常遇到证明设X的子集族B满足条件（l）和（2）我们先验证定理中给出的T是X的一个拓扑：（1）根据条件（1），XT；由于,而B 所以T（2）我们先验证：如果B，则T这是因为根据条件（2），对于每一个x,存在,由于现在设 成立因此 根据前说，上式中最后那个并集中的每一项都是B中某些元素之并，所以也是B中某些元素之并，因此（3）设则以上证明了T是集合X的一个拓扑根据T的定义立即可见B是拓扑T的