2022年关于高级高中数学方法篇之配方法.pdf

精品 word ，欢迎共阅高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于： 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)2a2 2abb2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2b2(a b)22ab(a b)22ab；a2abb2(a b)2ab(ab)23ab(a b2)2（32b）2；a2b2c2abbcca12(a b)2(bc)2(c a)2 a2b2c2(a bc)22(abbcca) (a bc)22(ab bcca) 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin2 12sin cos（ sin cos）2；x212x(x 1x)22(x 1x)22 ；等等。一、再现性题组：1. 在正项等比数列an 中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3a5 _。2. 方程 x2y24kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。 A. 14k1 B. k1 C. k R D. k14或 k1 3. 已知 sin4cos4 1，则 sin cos的值为 _。 A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 0 4. 函数 ylog12 ( 2x25x3)的单调递增区间是_。 A. （ , 54 B. 54,+ ) C. (12,54 D. 54,3) 5. 已知方程 x2+(a-2)x+a-1=0的两根 x1、x2，则点 P(x1,x2) 在圆 x2+y2=4上，则实数a_。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅【简解】 1 小题：利用等比数列性质am pam pam2， 将已知等式左边后配方（a3a5）2易求。答案是：5。2 小题：配方成圆的标准方程形式(x a)2(y b)2r2，解 r20 即可，选B。3 小题：已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2 cos21，求出sin cos ，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5 小题：答案311。二、示范性题组：例 1.已知长方体的全面积为11，其 12 条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 _。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【 分 析 】先 转 换 为 数 学 表 达 式 ： 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为x,y,z， 则211424()()xyyzxzxyz , 而欲求对角线长xyz222， 将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其 12 条棱的长度之和为 24”而得：211424()()xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为：xyz222()()xyzxyyzxz2261125 所以选 B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2. 设方程 x2kx2=0 的两实根为p、q，若 (pq)2+(qp)27 成立，求实数k 的取值范围。【解】方程x2kx2=0 的两实根为p、q，由韦达定理得：pq k，pq2 , (pq)2+(qp)2pqpq442()()()pqp qpq2222222()()pqpqp qpq2222222()k224847， 解得 k10或 k10。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅又 p、q 为方程 x2kx2=0 的两实根，k280 即 k22或 k 22综合起来， k 的取值范围是：10k2 2或者2 2k10。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“ ” ；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例 3.设非零复数a、b 满足 a2abb2=0，求 (aab)1998(bab)1998。【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2(ab) 10，则ab （为 1 的立方虚根）；或配方为(a b)2ab 。则代入所求式即得。【解】由 a2 abb2=0 变形得： (ab)2(ab) 10 ，设 ab，则210，可知 为 1 的立方虚根，所以：1ba，331。又由 a2abb2=0 变形得： (a b)2ab ，所以 (aab)1998(bab)1998(aab2)999(bab2)999(ab)999(ba)9999999992 。【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1 的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a2abb20变形得： (ab)2(ab) 10 ，解出ba132i后，化成三角形式， 代入所求表达式的变形式(ab)999(ba)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未132i联想到 时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2abb20 解出： a132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。三、巩固性题组：1.函数 y(x a)2(x b)2（a、b 为常数）的最小值为_。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅A. 8 B. ()ab22 C. ab222 D.最小值不存在2.、 是方程 x22axa60的两实根，则( -1)2 +( -1)2的最小值是 _。A. 494 B. 8 C. 18 D.不存在3.已知 x、yR，且满足x3y10，则函数t 2x8y有_。A.最大值 22 B.最大值22 C.最小值 22 B.最小值224.椭圆 x22ax3y2a2 60 的一个焦点在直线xy40 上，则 a_。A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. 2或 6 5.化简： 218sin228cos的结果是 _。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设 F1和 F2为双曲线x24y21 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足F1PF290，则 F1PF2的面积是 _。7. 若 x1，则 f(x) x22x11x的最小值为 _。8. 已知234，cos( - ) 1213，sin( +) 35，求 sin2 的值。 (92 年高考题 ) 9. 设二次函数f(x) Ax2BxC， 给定 m 、 n （m0； 是否存在一个实数t ，使当 t (m+t,n-t)时，f(x)1，t1 ，m R，xlogst logts，ylogs4t logt4s m(logs2t logt2s), 将 y 表示为 x 的函数 yf(x) ，并求出 f(x)的定义域； 若关于 x 的方程 f(x) 0 有且仅有一个实根，求m的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -