2011年全国--部分初中数学竞赛试题及答案(共43页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2010年鹿城区初中数学教师学科知识竞赛试题（本卷满分120分，考试时间150分钟）学校 姓名 成绩 一、选择题（每小题5分，共40分）1、设，则（ ）A. B. C. D. 2、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示. 如果记6的对面的数字为，2的对面的数字为，那么的值为（ ）.A11 B8 C7 D33、某君最初有512元，和人打赌8次，结果赢4次，输4次，但不知输赢次序，若每次赌金是此次赌前的余钱的一半，则最后的结果为（ ）11xyOA输了162元 B赢了162元 C输了350元 D依据输赢所发生的次序而定4、右图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图像（收支差额=车票收入支出费用）. 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格. 下面给出四个图像（如图所示）则（ ）A11xyOA11xyOyA11xyO11xOAA反映了建议（2），反映了建议（1） B反映了建议（1），反映了建议（2）C反映了建议（1），反映了建议（2） D反映了建议（1），反映了建议（2）5、用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（ ）A0 B1 C2 D36、若方程与有一个相同的根，且为一三角形的三边，则此三角形一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形7、设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（ ）A3 B4 C5 D68、以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为（ ）A B C D4二、填空题（每小题5分，共30分）9、将化成小数，则小数点后第2009位的数字为 .10、在中，分别是上的点，,，交于点，若，则四边形的面积为_.11、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_.49A3572635428691769354289B512876412、已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.13、近几年来，流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下： （1）在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；（2）每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少.那么依上述规则，在右图中A处应填入的数字为_；B处应填入的数字为_ .14、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_.三、解答题（本大题共4小题，12+12+13+13，共50分）15、已知：ABC中，ACB90°，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB.16、青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的镇，二分队因疲劳可在营地休息小时再往镇参加救灾.一分队出发后得知，唯一通往镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路.已知一分队的行进速度为千米/时，二分队的行进速度为千米/时.（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若= 4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？17、已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点.（1）求的值；（2） 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由.yHADOOCPFyGDExBx18、A、B、C、D、E五支足球队，每两队比赛一场，每场胜的队得3分，负队得0分，踢平则两队各得1分. 赛完后，A、B、C、D四支队的总得分分别为8，7，4，1，问E队至多得几分？至少得几分？并说明理由.2010年鹿城区初中数学教师学科知识竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ACCBDABA5、由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.当时，解得； 当时，没有符合条件的解；当时，没有符合条件的解； 当时，解得；当时，解得.因此，原方程共有3个解. 选（ D ）7、设，则，由于其为完全平方数，所以不妨设为（其中为正整数），则.验证易知，只有当时，上式才可能成立.此时，对应的值分别为50，20，10，2.因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.选（ B ）8、二、填空题（每小题5分，共30分）9、 10、 11、 12、 13、 1 ， 3 14、 201 三、解答题（本大题共4小题，12+12+13+13，共50分）15、证明：BN是ABC的平分线 .又CHAB . 又F是QN的中点 CFQN C、F、H、B四点共圆又，FCFH故 点F在CH的中垂线上同理可证，点E在CH的中垂线上 EFCH.又ABCH， EFAB.16、（1）一分队的行进速度至少为千米/时.（2）要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地不休息.17、（1） （2）当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变BOCPFyGDExMNT过点作于，并延长交于，连接，交于。 为等腰三角形， 平分 弧=弧， ， =即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变.18、解：五支队共赛10场，如无平局，则总分为30分，如有一场平局，则总分减少1分.将8，7，4，1分拆成3与1的和（3，1的个数之和不超过4） 83+3+1+1 73+3+1 43+11+1+1+1 11其中只有4有两种不同的分拆法，从分拆可以看出：（1）A、B、C、D四支队在比赛中的分数至少出现5个1，因此整个比赛至少有3场踢平，从而总分至多为30327，E队得分至多为2787417分. 下面的比赛结果说明E队可以得7分 A胜C、D，平B、E； B胜D、E，平A，负C； C胜B，平D，负A，E D平C，负A、B、E； E胜C、D，平A，负B（2）当C队与其余四支队均踢平时，E队得分才能最少，此时E队从C队处获得1分，又因为D队的1分是与C队踢平而得，故D队必负于E队，所以E队从D队处获得3分，所以E队至少获得4分.若E队的得分就是4分，则E队必负于A队与B队，这时A队胜E、D平C，故它必平B队，这样B队胜E、D平A、C得8分，矛盾.所以E队至少得5分.下面的比赛结果说明E队可以得5分 A胜B、D，平C、E； B胜D、E，平C，负A； C平A、B、D、E D平C，负A、B、E； E胜D，平A、C，负B2011年广州市初中数学青年教师解题比赛 决 赛 试 卷 2011410本试卷共8页， 23小题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）1已知集合，且，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）2数列的前项和为，若，则等于（A）1（B） （C） （D）013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.023某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（A）0.9，35 （B）0.9，45（C）0.1，35 （D）0.1，454已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）3 （B） （C）3或 （D）或25. 如图，PA、PB切于A、B，点C是上异于A、B的任意一点，则的度数为（A） （B） （C）或 （D）无法确定6已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 7设m是不小于的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根、若，则m的值是 （A） （B） （C） （D）8. 如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为 （ ） cm3 （A）48 （B）50 （C）58 （D）609给定点M(-1, 2),N(1,4),点P在轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是(A) (B) (C) (D) 10已知、为正整数，且，那么的最小值等于(A) 11 (B) 10 (C) 8 (D) 6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上）11函数中，自变量的取值范围是_ 12 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 13已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球则取出的4个球均为黑球的概率是_ 第14题图第14题14如图，平行四边形ABCD中，AMBC于M, ANCD于 N，已知AB=10,BM=6, MC=3，则MN的长为_ 15若表示和中较大者，则函数 的最小值是 16将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 区 学校 姓名 考号 2011年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷 2011-4-10一、选择题答案（每小题4分，共40分）题号12345678910答案二、填空题答案（每小题5分，共30分）11 12 13 14 15 16 三、解答题（共7小题，满分80分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17（本小题满分8分）已知是定义在R上且关于y轴对称的函数，当时，（1）用分段函数形式写出的解析式；（2）求的单调区间及函数的最值18（本小题满分8分）已知向量m，n为常数 （1）求y=mn关于x的函数关系式； （2）若时，的最小值为2，求a的值19（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上，点是线段的中点 （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）试在线段上确定一点，使得平面来 密封线 密封线 20.（本小题满分12分）第20题正方形ABCD中,点P为边AD上的一点,DECP于E,延长CP到F,使得CE=EF,连结DF、AF，过点D作ADF的角平分线，交CF于H，连结BH.(1) 求证: DE=EH； (2) 求证: BHAF.21（本小题满分12分）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由 密封线 密封线 22.（本小题满分14分）已知A是双曲线()在第一象限的图象上的一点, O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C.(1)当OA在第一象限的角平分线上时,将OA向上平移个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交轴于点N，若（如图1）,求的值；图1(2)若,点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动,且使得ABCD是凸四边形时（如图2）,求证:BCD=BAD.图223（本小题满分14分）如图，已知，以点为圆心，以长为半径的圆交轴于另一点，过点作交于点，直线交轴于点（1）求证：直线是的切线；（2）求点的坐标及直线的解析式；xyABCOFE（3）有一个半径与的半径相等，且圆心在轴上运动的若与直线相交于两点，是否存在这样的点，使是直角三角形若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2011年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准一、选择题答案（每小题4分，共10小题，共40分）题号12345678910答案DBAACCCDCB注：9选C 解析：设直线（：）交轴于点A,则点P，必须满足，易计算得，10选B 解析：不妨设，、为非负整数， ，由0，可得，当，1，4，5时，无解，时，；时， 当，时，此时，取，时，最小；当，时，同理可求，得，综上，最小值二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）11. 12. . 13. . 14. .作MHAN于H,AH=,HN=,MH=15. 3. 16，32 .三、解答题答案（共7小题，满分80分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17. 解：（1）由已知得当时，3分（2）单调递减区间是，单调递增区间是6分最小值是，没有最大值8分18. 解：（1）4分（2），6分，由题意得8分19解：（1）证明：由平面及，平面，而平面，又，平面，又平面，3分 （2）连接EM，M为AB中点，AE=EB=2，又平面平面，所以平面5分由已知及（1）得 故7分 （3）取中点，连接平面，又，所以F为CE中点，GF/BC 又BC/AD，GF/AD所以GF/平面ADE9分同理平面，所以平面/平面又平面，则平面12分20. 证明: (1) DECP且CE=EF， DC=DF, FDE=FDC，HDE=FDE-FDH=FDC-FDA=ADC= 45°4分EHD=HDE=45°5分第20题 DE=EH(2)延长DH交AF于点O， 将DEC绕点C逆时针旋转90°到BMC的位置，连结MEDECBMC DE=BM, DCE=BCM, DCE+ECB=90°，BCM+ECB=90° BMCH 8分在EMC中，ECM =90°，MC=CE，CEM =45°由（1）知， DE=EH=BM， BMEH为平行四边形 BHEM又由（1）知DC=DF，则DA=DF，DO为ADF的角平分线， DOAF又对顶角EHD=FHO， AFH=HDE=45° AFH=MEC=45° AFME AFBH. 12分21. 解：（1）连接，由勾股定理求得：，. 3分（2）连接并延长，与弧和交于，弧的长：设圆锥的底面半径为第21题，圆锥的底面直径为：6分，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥8分（3）由勾股定理求得：，弧的长：，圆锥的底面直径为：，且，即无论半径为何值，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥12分第22题22. 解：（1）根据题意，可得直线MN的解析式为由方程组，可得点A的坐标（，）2分设点M的坐标为（，），所以，代入直线方程中，解得5分（2）过点B作BE轴，交AD于E，过点D作DH轴， 交BC于点H，设点A、B的坐标分别为A（，）、B（，）,点C、D的坐标分别为C（-，-）、D（，）,BE交直线AC于点F，直线AC的解析式为，7分点F的坐标为（，）. ，即， ， BF平分ABC12分同理，DH平分ADC,在ABE和CDH中，ABE=EBC=DHC,AEB=ADH=CDH, BCD=BAD. 14分xyABCOPFMEHNQ123423 （1）证明：连结，又，又，是的切线3分（2）方法1：由（1）知， 又，由解得（舍去）或，5分直线经过，两点设的解析式：解得直线的解析式为7分方法2：切于点，又，即 又，由解得（舍去）或 5分（求的解析式同上）方法3：， 切于点， 由解得：，5分（求的解析式同上）（3）存在；当点在点左侧时，若，过点作于点， ， 10分当点在点右侧时，设， 过点作于点，则可知与关于点中心对称，根据对称性得 13分存在这样的点，使得为直角三角形，点坐标或 14分全国初中数学竞赛2011年试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）（1）、设，则代数式的值为（ ）（A）24 （B）25 （C） （D）【答】A（2）、对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”为：（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（ ）（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（-1，0） （D）（0，-1）【答】B（3）若，且满足，则的值为( ).（A）1（B）2（C）（D）【答】C解：由题设可知，于是 ，所以故，从而于是（4）设，则的整数部分等于( ).（A）4（B）5（C）6（D）7【答】A解：当，因为，所以 于是有，故的整数部分等于4 第（5）题（5）点分别在的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A） （B） （C） （D）不能确定【答】C解：如图，连接，设，则，从而有因为，所以二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 . 【答】31解：由勾股定理,得 因为b是整数，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即因此a一定是3，5，63，故满足条件的直角三角形的个数为31（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是.（8）若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .【答】解：由0，且0，得由于，所以当时，取到最大值1，故当或1时，取到最小值，故所以，（9）如图，双曲线（x0）与矩形OABC的边CB， BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则OEF的面积为 .【答】解：如图，设点B的坐标为,则点的坐标为.因为点在双曲线上，所以 又点在双曲线上，且纵坐标第（9）题为，所以点的坐标为.于是第（10）题（10）如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .【答】84解：如图，设BCa，ACb，则1225 又RtAFERtACB，所以，即， 故 由得 ，解得ab49（另一个解25舍去），所以 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得， 5分两式相加，得，即 ， 所以， 或 10分 解得 或又因为 所以；或者，故，或29. 20分（12）如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.证明：如图，延长交于点，连接.因为为的直径，所以5分故为的直径.于是. 10分 又因为点为的垂心，所以 所以，四边形为平行四边形. 15分 所以点为的中点. 20分（13） 如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（）求证：=；（）若点的坐标为（0，1），且=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式. 解：（）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由 得，于是 ，即 .于是， 5分又因为，所以. 因为，所以. 故=. 10分（）解法第一种 设直线的函数解析式为,其中.由（）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或.又由（），得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或. 20分 解法第二种 设，不妨设>0，由（）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即所以由（）中，即，所以于是，可求得 . 将代入，得到点的坐标（，）. 15分再将点的坐标代入，求得 .所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或. 20分 （14）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得证明：令， 5分则. 10分故一定存在2010，使得，从而 15分即 20分 2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：4511：15）考生注意：1本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分2用圆珠笔、签字笔或钢笔作答3解题书写不要超出装订线4不能使用计算器一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）A42条 B54条 C66条 D78条2如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E若CAE15°，则BOE（ ）A30° B45° C60° D75°3设方程的两根是c，d，则方程的分根 是（ ）Aa，b Ba，b Cc，d Dc，d4若不等式有解，则实数a的最小值是（ ）A1 B2 C4 D65若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）A18 B24 C30 D366不定方程的正整数解（x，y）的组数是（ ）A0组 B2组 C4组 D无穷多组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上1二次函数的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是_2已知，则的值为_3已知ABC中，AB，BC6，CA，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_4一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n1个选手各对局一次计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍则n的所有可能值是_三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立求实数a的所有可能值2（本题满分25分）抛物线的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0<x1<x2过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足CAN是等腰直角三角形，