2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题三-第2讲-空间点、线、面的位置关系-Word版含解析(共16页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第2讲空间点、线、面的位置关系高考定位1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真 题 感 悟 1.(2017·全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项中直线AB与平面MNQ不平行.答案A2.(2018·全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B.C. D.解析如图，依题意，平面与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCDA1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形.故其面积为6××.答案A3.(2017·全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.(1)证明BAPCDP90°，ABPA，CDPD.ABCD，ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，AB平面PAD.AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)解取AD的中点E，连接PE.PAPD，PEAD.由(1)知，AB平面PAD，PE平面PAD，故ABPE，又ABADA，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，故四棱锥PABCD的体积VPABCDAB·AD·PEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱锥PABCD的侧面积为PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.考 点 整 合 1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间点、线、面位置关系的判定【例1】(2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且m，n.有下列命题：若，则mn；若，则m；若l，且ml，nl，则；若l，且ml，mn，则.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析若，则mn或m，n异面，不正确；若，根据平面与平面平行的性质，可得m，正确；若l，且ml，nl，则与不一定垂直，不正确；若l，且ml，mn，l与n不一定相交，不能推出，不正确.答案B探究提高1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.【训练1】 (1)(2018·石家庄调研)如图，在三棱台ABCA1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面，设平面ABCl，若lA1C1，则这3个点可以是()A.B，C，A1 B.B1，C1，AC.A1，B1，C D.A1，B，C1(2)(2018·菏泽模拟)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是()A.若m，n，则mn B.若，则C.若m，n，则 D.若m，n，则mn解析(1)在棱台中，ACA1C1，lA1C1，则lAC或l为直线AC.因此平面可以过点A1，B，C1，选项D正确.(2)结合长方体模型，易判定选项A，B，C不正确.由线面垂直的性质，当m，n时，有mn，D项正确.答案(1)D(2)D热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，且CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.【迁移探究1】在本例条件下，证明平面BEF平面ABCD.证明如图，连接AC，设ACBEO，连接FO，AE.ABCD，CD2AB，CECD，AB綉CE.四边形ABCE为平行四边形.O为AC的中点，又F为PC的中点，则FOPA，又PA平面ABCD，FO平面ABCD.又FO平面BEF，平面BEF平面ABCD.【迁移探究2】在本例条件下，若ABBC，求证：BE平面PAC.证明连接AC，设ACBEO.ABCD，CD2AB，且E为CD的中点.AB綉CE.又ABBC，四边形ABCE为菱形，BEAC.又PA平面ABCD，又BE平面ABCD，PABE，又PAACA，PA，AC平面PAC，BE平面PAC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，且PD平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.热点三平面图形中的折叠问题【例3】 (2016·全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积.(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S×6×8××3.所以五棱锥DABCFE的体积V××2.探究提高1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一个平面上的图形的性质发生变化.2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【训练3】 (2018·全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积.(1)证明由已知可得，BAC90°，即BAAC.又BAAD，ACADD，AC，AD平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DAAM3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QE綉DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABP×QE×SABP×1××3×2sin 45°1.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.3.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.一、选择题1.(2018·浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面.故“mn”是“m”的充分不必要条件.答案A2.(2017·全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C3.(2018·湖南师大联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线C1B上的动点，则CMMD1的最小值为()A. B.2C. D.2解析将CBC1沿BC，CC1剪开，并沿BC1折起，使平面CBC1和平面BC1D1A共面如图.连D1C交BC于点M.则CMMD1最短(即线段CD1)，在D1C1C中，D1C1C135°，由余弦定理，得CD12122×12·cos 135°2.故CMMD1的最小值为.答案A4.(2018·全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B. C. D.解析如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1及BE平面BCC1B1，可得ABBE，所以tanEAB.答案C5.(2018·安徽江南联考)对于四面体ABCD，有以下命题：若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心；四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A. B. C. D.解析正确，若ABACAD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图(1)，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BOCD，COBD，所以点O是BCD的垂心； 图(1) 图(2)正确，如图(2)，若AB平面BCD，BCD90°，则四面体ABCD的四个面均为直角三角形；正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式×S××4×S×r，解得r，那么内切球的表面积S4r2.故正确的命题是.答案D二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_.解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.答案平行7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号).ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.解析因AC平面BDD1B1，而BE平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误.答案8.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是_(填序号).平面ABD平面ABC平面ADC平面BDC平面ABC平面BDC平面ADC平面ABC解析因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.答案三、解答题9.(2018·江苏卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.10.(2018·潍坊三模)如图所示，五面体ABCDEF中，四边形ACFD是等腰梯形，ADCF，DAC，BC平面ACFD，CACBCF1，AD2CF，点G为AC的中点.(1)在AD上是否存在一点H，使GH平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥GECD的体积.解(1)存在点H，H为AD中点.证明如下：连接GH，在ACD中，由三角形中位线定理可知GHCD，又GH平面BCD，CD平面BCD，GH平面BCD.(2)由题意知：ADCF，AD平面ADEB，CF平面ADEB，CF平面ADEB，又CF平面CFEB，平面CFEB平面ADEBBE，CFBE，VGECDVE GCDVB GCD，四边形ACFD为等腰梯形，且DAC.ACD，又CACBCF1，AD2CF，CD，CG，又BC平面AFCD，VB GCD×CG×CD×BC××××1.三棱锥GECD的体积为.11.如图，在矩形ABCD中，AB2AD，M为DC的中点，将ADM沿AM折起使平面ADM平面ABCM.(1)当AB2时，求三棱锥MBCD的体积；(2)求证：BMAD.(1)解取AM的中点N，连接DN(如图).在矩形ABCD中，M为DC的中点，AB2AD，DMAD.又N为AM的中点，DNAM.又平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，DN平面ADM，DN平面ABCM.AD1，DN.又SBCM·CM·CB，V三棱锥MBCDV三棱锥DBCMSBCM×DN.(2)证明由(1)可知，DN平面ABCM.又BM平面ABCM.BMDN.在矩形ABCD中，AB2AD，M为MC的中点，ADM，BCM都是等腰直角三角形，且ADM90°，BCM90°，BMAM.又DN，AM平面ADM，DNAMN，BM平面ADM.又AD平面ADM，BMAD.专心-专注-专业