第六章-数理统计的基本知识(共12页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第六章 数理统计的基本知识  1.       什么是数理统计？（基本概念。数理统计）答：数理统计研究的对象主要是带有随机性质的自然及社会现象。它通过随现象的观察收集一定量的数据，然后进行整理、分析，并应用概率论的知识作出合理的估计、推断、预测。其目的，是希望认识倍研究对象（即随机便来年国）的概率特征，比如它是否服从某种分布。各数字特征是多少等等，从而为正确决策提供科学依据。总之，概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论在自然和社会科学诸方面的实际应用。2.       什么是总体与样本？（基本概念、总体、样本、简单随机抽样）答：在数理统计中，常常关心研究对象的某项数量指标。将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体，总体中的每个元素或数值称为个体。例如，某工厂生产的元件寿命的全体是一个总体，而每一个元件的寿命是一个个体。按照总体中个体数量的不同，总体可以分为有限总体及无限总体。当有限总体包含的个体的总数很大时，可以近似地将它看成是无限总体。要了解总体性质的最好方法是对它的每个个体进行观察、试验，但实际上是无法办到的。于是一般采取抽样调查的方法。由于从总体中抽取个体时，在抽到某个个体之前，个体的数值指标一般不能实现确定，因而是一个随机变量，用 表示。一般情况下，把总体与对应的随机变量 不加区别，称为总体 。从总体 中抽得 个个体 称为来自总体 的容量为 的样本。对每个个体进行观察（或试验）的观察值是一个实数，对 作观察可得一组数值 ，它叫样本观察值或样本值。从总体中抽取样本必须满足两个条件：（1）随机性：抽样应随机地进行，每个个体被抽机会均等，这通常可用编号抽签或利用随机数表的方法来实现。（2）独立性：每次抽样应独立进行，其结果不受其它抽样结果的影响，也不影响其它抽样的结果。满足这两个条件的抽样称为简单随机抽样。一般地，对于有限总体，采用的是由放回的抽样；而对于无限总体或大总体采用不放回抽样。从总体 中抽取容量为 的样本，是指对总体 进行 次观察，第 次观察 是一个随机变量，其取值为 。于是 构成一个 维随机变量，它们相互独立，且每个 都与 同分布。其取值 是 维随机变量的一组观察值。这时便认为 个事件 都已发生。于是，（1）若总体 是连续的，有密度函数 ，则 的联合密度为 ；（2）若总体 是离散型的，其分布律为 ，则 的联合分布律为。3.       什么是统计量？（基本概念、统计量）答：设 为来自总体 的一个容量为 的样本， 是 的函数，且其中不含任何未知参数，则称这类样本函数为统计量。例如：若 ， 为 的样本，且 已知， 未知，则 ， ， 等都是统计量，而 不是统计量，其中含有未知的参数。统计量具有两个特点：（1）它是样本 的函数，因而也是随机变量，当总体分布已知时，理论上总是可以求得统计量的分布；（2）若获得样本观察值 ，代入统计量 中课求得其值 ，它叫统计观察值，简称统计值。4.       一些常用的统计量（常用统计量）答：（1）样本均值： ；（2）样本方差： ；（3）样本标准差： ；（4）样本 阶原点矩： ；（5）样本 阶中心矩： ；（6）样本极差： 对于以上统计量，若带入样本观察值 ，就可以得到相应的统计量观察值，一般用对应的小写字母表示。例如， 为 的观察值。5.       设 是来自总体 的样本，已知 ，求 的值。（例题、样本均值、样本方差、二项分布）解：因为 ，所以有 ，从而可知，于是有 ，计算可得或 。6.       什么是 分布？（常用分布， 分布）答：设 是来自标准正态分布总体 的样本，称统计量 所服从的分布是自由度为 的 分布，记为 。注意 分布实质上是参数为 的 分布 ，即 分布有密度函数 。分布的性质：（1）可加性：设 且 独立，则 。一般地，若 且相互独立， ，则 ；（2）若 ，则 。7.       分布的 分位点。（ 分位点）答：当 时，有 ，其中 。 可以通过查表得到。例如，若 ，查表可得 。它表明，若随机变量 ，则有 。通常，概率表中只列到 的值，当 时，可采用近似公式 ，其中 为 的 分位点。例如，当 ，查正态分布表可得 ，从而 。8.       设 为 的一个样本，令 ，求 。（例题， 分布）解：由于 是总体的一个样本，所以每个 且相互独立，故 也相互独立， 。于是，从而通过查表可知。9.       什么是 分布？（ 分布、学生氏分布）答：设随机变量 ， 且 与 独立，称随机变量 所服从的分布是自由度为 的 分布，（或学生氏分布）记为 。其密度函数为。可以证明，（1）当 时， 不存在，而当 时， 是一个偶函数，所以有 。（2） 关于坐标纵轴对称，当 充分大时，密度函数的图象接近标准正态分布的密度函数，即有 ，亦可表示为 。分布的 分位点记为 ，即当 时， 其中 。当 时，可用标准正态分布近似计算，即 。由 的对称性易知， 。10.   什么是 分布？（ 分布）答：设随机变量 ， 且 与 独立，称随机变量 所服从的分布是自由度为 的 分布，记为 ，其中， 称为第一自由度， 称为第二自由度。 分布的密度函数为由 分布的定义易知，若 ，则 。分布的 分位点记为 ，即若 ，则有。当 时，可以利用表达式 。例如： 。11.   抽样分布定理：一个总体的统计量的分布。（抽样分布定理、一个总体）答：设 是来自总体 的样本，记 ， 分别表示样本均值与样本方差。若总体 满足 ， ，则 ， ，且当 较大时，近似地有（1） ；（2） 。特别地，若总体 ，（1）则 ，或者 。例如：若 ， 为来自总体 的样本，求概率 。解：由于 ，记 ，则 ，于是（2）若 ，则 。（3） 与 独立。（4） 。（5） 。12.   抽样分布定理：二个总体的统计量的分布。（抽样分布定理、二个总体）答：设 是两个总体， ； 是分别来自 及 的两个互相独立的样本，记 ， ， 为 及 的样本均值与样本方差。（1）若两个总体 ， ，则统计量 ，等价地有（2）若有两个具有相等方差的总体 ，则统计量 其中 （3）若两个总体 ， ，则统计量 。特别地，若 ，则有。13.   当总体是有限总体时，若样本的容量等于总体容量 时，有 。（有限总体、样本、样本均值）答：正确。设总体为 ，且 ，则可知。14.   设总体 ， 是来自总体 的样本，求 的概率。（例题、抽样分布定理、一个正态总体、样本均值）分析：由于正态总体的两个参数都是已知的，因此可以考虑 。解：根据分析， ，利用标准正态分布表，可知 。15.   设总体 与 都服从 ， ； 分别是来自 及 的互相独立的样本，若 ，求 的概率。（例题、t分布）分析：注意到 是样本均值，由于 ，所以样本均值服从标准正态分布；由于 服从标准正态分布，所以 ，由 分布的定义可得出结论。解：根据分析和 分布的定义可知， ，也即是 ，所以，而 ，查表可得 ，故 16.   设两总体 ，其中 未知。 ； 分别是来自 及 的互相独立的样本，求样本方差之比落入区间 之间的概率。（例题、抽样分布定理、两个正态总体）分析：由于考察的是两个样本方差之比，又因为两个正态总体的方差已知，所以应该考虑 。解：令 ，根据题意知 ， ， ，从而有 。因此，17.   设总体 ，其中 未知， 是来自总体 的容量为16的样本，若 ，求概率 。（抽样定理、一个正态总体）分析：注意正态总体的 是未知的，而 的定义与样本方差的定义非常接近，因此可以考虑 。解：因为 ，所以 ，于是有。18.   求总体 的容量分别为8，10的两个独立样本均值差的绝对值大于0.5的概率。（抽样分布定理、二个正态总体）解：设 ； 是来自总体 的两个独立的样本，记，由抽样分布定理可知 ，从而有19.   设 是来自正态总体 的样本，令 ， ， ， ，求证： 。（例题、t分布）证明：由 的定义可知 ， ，由于 是相互独立的，所以 也是相互独立的。于是， ，或等价地有。又 是样本 的样本方差，根据书上定理6.4.4得到 ，且 与 独立，同时 也与 独立，由 分布的定义可知。20.   设 是来自正态总体 的样本，令 ，证明： 服从 分布。（例题、 分布）证明：根据样本的性质可知 且相互独立，所以有，因此， ， ，根据 分布有 ，所以服从 分布。21.   设总体 ， 为样本。又设 ，试确定常数 ，使得 服从 分布。（例题、 分布）证明：根据样本的性质可知，每个 且相互独立 于是有， 且彼此相互独立，或等价地有 ， ，根据 分布的定义有所以参数 专心-专注-专业