2022年几何概型练习题.pdf

几何概型练习题1在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是 ( )A13 B16 C12 D142如图，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a3与a2，高为b. 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A112 B14 C512 D7123在区间 0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是 ( )A4 B10 C20 D404某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为 （ )A16 m B20 m C8 m D10 m5一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40 秒，当某人到达路口时，看见的是红灯的概率是_；看见的不是黄灯的概率是_6 取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是 _7点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1 的概率_ 8已知如图所示的矩形，长为12，宽为 5，在矩形内随机地投掷1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为_9点P在边长为 1 的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离 |PA| 1 的概率为 _10利用计算机产生01 之间的均匀随机数a，则事件“ 3a10”发生的概率为_11一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的概率为 _12在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图 在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为_13在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 _14在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 毫升，含有麦锈病种子的概率是；从中随机取出30 毫升，含有麦锈病种子的概率是15一只蜜蜂在一个棱长为3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_16在区间2,2上随机取一个数x，cos x的值介于0 至12之间的概率为 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 17. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过R2的概率为 _18如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_19已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为 3，在三棱锥内任取一点P，使得VPABC 12VSABC的概率是20已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于16的概率21(1) 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2) 在半径为1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3) 在半径为1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？23设关于x的一元二次方程x22axb20. 若a是从区间 0,3任取的一个数，b是从区间 0,2任取的一个数，求方程有实根的概率24设AB 6，在线段AB上任取两点 ( 端点A，B除外) ，将线段AB分成了三条线段，(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2) 若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率答案： 1在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是 ( )A13 B16 C12 D14 答案 B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解析 体积型几何概型问题PVA1ABCVABCDA1B1C1D116.2如图，在一个边长为a、b(ab0) 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a3与a2，高为b. 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A112 B14 C512 D712 答案 C 解析 S矩形ab.S梯形1213a12a b512ab.故所投的点落在梯形内部的概率为PS梯形S矩形512abab512.3(2013 2014山东济南模拟) 在区间 0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是 ( )A4 B10 C20 D40 答案 A 解析 设在 0,1内取出的数为a，b，若a2b2也在 0,1内，则有0a2b2 1.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1 的正方形，满足a2b2在0,1内的点在14单位圆内 ( 如阴影部分所示) ，故所求概率为1414.4某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A16 m B20 m C8 m D10 m 答案 B 解析 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500125 20(m)二、填空题5一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40 秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是_精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解析以时间的长短进行度量，故P307525.答案256 取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是 _解析把绳子 4 等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P2412.答案127点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1 的概率为_解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.答案238已知如图所示的矩形，长为12，宽为 5，在矩形内随机地投掷1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为_解析设所求的面积为S，由题意，得6001 000S512，则S36.答案369(2014长沙联考)点P在边长为 1 的正方形ABCD内运动， 则动点P到顶点A的距离 |PA| 1 的概率为_解析如图，满足 |PA| 1 的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离 |PA| 1 的概率为S阴影S正方形1412114.答案410(2013福建 ) 利用计算机产生01 之间的均匀随机数a，则事件“ 3a10”发生的概率为_ 答案 13 分析 解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解析 由题意，得 0a13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a10”发生的概率为13.11一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的概率为 _ 答案 12 解析 如图所示，ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABC的周长为 34512. 设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 为事件A，则P(A) DEFGMNBCCAAB3211212.12在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为_ 答案 53125 解析 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R5，圆柱底面半径r 4，高h6，故球体积V43R35003，圆柱体积V1r2h96，所求概率P500396500353125.13(2012辽宁卷改编) 在长为 12 cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为 _解析设ACxcm,0 x12，则CB(12 x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12 x) 20，则x212x200，解得 2x10，所求概率为P1021223.答案2314在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 毫升，含有麦锈病种子的概率是；从中随机取出30 毫升，含有麦锈病种子的概率是。解析1 升 1 000 毫升，记事件A：“取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”则P(A) 101 000，即取出10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为.记事件B：“取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 则P(B) 301 000，即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为.15一只蜜蜂在一个棱长为3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1 的小正方体内飞行， 结合几何概型， 可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P1333127.答案12716(2014淮安模拟) 在区间2，2上随机取一个数x， cos x的值介于0 至12之间的概率为_解析由 0cos x12，x 2，2，可得2x3，或3x2，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P2232 213.答案1317. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过2R的概率为 _解析如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MDMC2R，当点N不在半圆弧上时，MN2R，故所求的概率P(A) R2R12.答案1218(2012湖北卷改编) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_解析如图，设OA2，S扇形AOB，SOCD121112，S扇形OCD4，在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S122412 1，所有阴影面积为 2. 故所求概率P1212.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 答案1219(2014徐州二模 ) 已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为 3，在三棱锥内任取一点P，使得VPABC12VSABC的概率是 _解析三棱锥PABC与三棱锥SABC的底面相同，VPABC12VSABC就是三棱锥PABC的高小于三棱锥SABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥SABC的高为h，则所求概率为：P13Sh1314S12h13Sh78.答案78三、解答题20已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于16的概率 分析 由题目可获取以下主要信息：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；求四棱锥MABCD的体积小于16的概率解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型 解析 如图，正方体ABCDA1B1C1D1，设MABCD的高为h，则13S四边形ABCDh16，又S四边形ABCD1，则h|AB| 3，由几何概率公式知P(C) 13.22设关于x的一元二次方程x22axb20. 若a是从区间 0,3任取的一个数，b是从区间 0,2任取的一个数，求方程有实根的概率解设事件A为“方程x22axb20 有实根”当a0，b0 时，方程x22axb20 有实根的充要条件为ab.试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为 (a，b)|0 a3,0 b2 ， 构 成 事 件A的 区 域 为 (a，b)|0 a3,0 b2，ab， 根据条件画出构成的区域( 略) ， 可得所求的概率为P(A) 3212223223.23设AB 6，在线段AB上任取两点 ( 端点A，B除外 ) ，将线段AB分成了三条线段，(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2) 若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4 ； 1,2,3 ；2,2,2 ，共 3 种情况， 其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形， 故构成三角形的概率为P13.(2) 设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6xy，故全部试验结果所构成的区域为0 x6，0y6，06xy6，即0 x6，0y6，0 xy6，所表示的平面区域为OAB.若三条线段x，y,6xy能构成三角形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 则还要满足xy6xy，x6xyy，y6xyx，即为xy3，y3，x3，所表示的平面区域为DEF，由几何概型知，所求概率为PSDEFSAOB14.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -