2022年函数及其表示知识点.pdf
函数及其表示一、知识梳理1映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则注意： A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1) 函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的，在集合中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为_(2) 函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，称为函数的值域。(3) 函数的三要素：、和3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1下述两个个对应是A到B的映射吗？（1）AR，|0By y，:|fxyx；（2）|0Ax x，|By yR，:fxyx例 2 若4, 3,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR， 则A到B的映射有个，B到A的映射有个例 3设集合 1,0,1M， 2, 1,0,1,2N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象( )f x的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12 个()C16 个()D18 个考点 2：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） ， ；（2） ，（3） ， ；（4） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （5） ， （nN*） ；考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法（3）配凑法（4）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型 1：用待定系数法求函数的解析式例 1. 已知函数fx是一次函数 , 且49)(xxff, 求fx表达式 .例 2. 已知fx是一次函数且22315,2011,fffffx则（）A32xB32xC23x D23x例 3. 二次函数 f(x) 满足 f(x 1) f(x) 2x，且 f(0) 1. (1)求 f(x)的解析式； (2)解不等式 f (x)2x5.例 4. 已知g(x) x23，f(x) 是二次函数，当x 1,2 时，f(x) 的最小值为1，且f(x)g(x)为奇函数，求函数f(x) 的表达式2、 配凑法：已知复合函数 ( )f g x的表达式， 求( )f x的解析式，( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时， 常用配凑法。 但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。例 2已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式3、换元法：已知复合函数 ( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3已知xxxf2)1(，求)1(xf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3 ,2(对称，求)(xg的解析式5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf例 6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立， 求)(xf7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例8设)(xf是 定 义 在N上 的 函 数 ， 满 足1)1 (f， 对 任 意 的 自 然 数ba,都 有abbafbfaf)()()(，求)(xf考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）常规方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；例 1. 函数2143fxxx的定义域为（）A22U，B2,33U，C22,33UU，D 2，例 2、函数xxxxf0)1()(的定义域是（） A.0| xx B. 0| xx C. 10|xxx且 D. 10|xxx且题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域练一练：例 1已知的定义域是，求函数的定义域例 2已知(21)yfx的定义域是（ -2 ，0） ，求(21)yfx的定义域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 3、已知函数)1( xfy的定义域为 -2 ，3 ，则12 xfy的定义域是 _考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法(1) 直接法：通过对自变量x 和函数性质的观察，结合函数的解析式直接得出y=f(x)的取值范围（2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例 1、322xxy例 2、2285yxx（1） 1 , 1x（2）4, 1x（3） 8,4x（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。例 3、132222xxxxy例 4、112xxxy（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例 5、xxy21例 6、13432)(xxxf（4）分段函数分别求函数值域，例 7、53xxy例 8、函数222(03)( )6 ( 20)xxxf xxxx的值域是（）AR B 9, C8,1 D9,1（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 9、1122xxy例 10、设函数111yx的定义域为 M ，值域为N，那么（）()A0,0Mx xNy y()B0,Mx xNy yR()C01,0Mx xxx且或，0011 Ny yyy或或()D1100Mx xxx或或，0Ny y（9）反函数法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -
