高中数列知识点总结(附例题)(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n项1等差数列的定义2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式ana1(n1)d .3等差中项如果 A ，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam（n-m）d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7等差数列的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 小 值难点正本疑点清源1等差数列的判定(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.2等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(3)S2n1(2n1)an.(4)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)例1（等差数列的判定或证明）：已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 (1)证明an2 (n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1(2)求d的取值范围解(1)由题意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.例3（前n项和及综合应用）(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和解方法一a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130，即当n12时，an>0，n14时，an<0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S1212×20×130.方法二同方法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a14×12521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n<6；由得n5，所以n6. 即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a74×7243.设|an|的前n项和为Tn，则Tn例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3 例5等差数列的前n项和分别为，且,则使得为正整数的正整数n的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列中，当时，其前项和满足，则数列的通项公式为例7在数列中，则 .知识点2：等比数列及其n项和1等比数列的定义2等比数列的通项公式3等比中项若G2a·b (ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：ananqnm，(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.7. 等比数列的单调性 q>10<q<1q=1q<0 a>0 递增 递减 常数列 摆动数列 a<0 递减 递增 常数列 摆动数列【难点】1等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非常数2等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小3等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)等比数列的通项公式ana1qn1及前n项和公式Sn (q1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用(3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q1和q1两种情况例1：(1)在等比数列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8项和S8；(2)设等比数列an的公比为q (q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项(1)设数列an的公比为q，由通项公式ana1qn1及已知条件得：由得a1q3±8.将a1q38代入式，得q22，无解将a1q38代入式，得q24，q±2.，故舍去当q2时，a11，S8255；当q2时，a11，S885.(2)若q1，则na140,2na13 280，矛盾q1，得：1qn82，qn81， 将代入得q12a1.又q>0，q>1，a1>0，an为递增数列ana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81×372 187.例2已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cn·n1n，ancn11n. 当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.例3在等比数列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5·qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.例4已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式规范解答(1)证明b1a2a11，1分当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，5分bn是首项为1，公比为的等比数列6分(2)解由(1)知bnan1ann1，8分当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 10分11n211n1当n1时，111a1，ann1 (nN*)14分例4 （07 重庆11）设的等比中项，则a+3b的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos, 22cos2,23cos3, ,前100项之和为0, 则的值为 （ ）例6 ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为_等边三角形_.【综合应用】例7.已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d>0). an1(n1)·22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn3·3n23n1.2)由an1得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2. cn2bn2·3n1 (n2)又当n1时，a2，c13.cn.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.知识点3：数列的基本知识1，例1：设数列的前n项和，则的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法对形如的递推公式，可令，整理得，所以是等比数列对形如的递推公式，两边取倒数后换元转化为，再求出即可例2：已知数列满足，则的最小值为 10.5 专心-专注-专业