高等数学2复习资料(共24页).doc

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1了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3了解二阶线性微分方程解的结构.4掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6. 知道特殊的高阶微分方程（，）的降阶法.7会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法1一阶微分方程的解法例1 求微分方程 满足条件的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有两边积分，得 求积分得 ，记 ，得方程的解 .可以验证 时，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为 （为任意常数）.代入初始条件 得 ，所以特解为.例2 求微分方程（1），（2） 的通解.（1）解一 原方程可化为 ，令 ，则 ，即 ，两边取积分 ，积分得 ，将代入原方程，整理得原方程的通解为 （为任意常数）.解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 .设为原方程的解，代入原方程，化简得 所以原方程的通解为 ，即 （为任意常数）.（2）解 这里，代入通解的公式得 （为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 ，也可直接利用公式）求通解.2 可降阶的高阶微分方程例3 求微分方程 的通解.解 方程中不显含未知函数，令代入原方程，得 微分方程是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 由此 因此，原方程的通解为 （为任意常数）.例4 求微分方程 满足初始条件，的特解.解 方程不显含，令 ，则方程可化为 当 时 ，于是 .根据 ，知 代入上式，得 ，从而得到 ，积分得 ，再由，求得 ，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为 ，当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即 .3 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5 求微分方程的通解.解 原方程对应的特征方程为 （1） 当，即 或时，特征方程有两个不相等的实根： ，故原方程的通解为.（2） 当，即或时，特征方程有两个相等的实根 故原方程的通解为 .（3） 当，即 时，特征方程有两个共轭复根 故原方程的通解为.4二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例6 求微分方程 满足初始条件，的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 ，特征根 故对应齐次微分方程的通解为 .因为是特征方程的单根，所以设特解为 代入原方程得 比较同类项系数得 ，从而原方程的特解为 故原方程的通解为 ，由初始条件 时，得 从而，.因此满足初始条件的特解为.例7 求微分方程 的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对应的齐次微分方程通解为为了求原方程的一个特解, 先求的特解.由于是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为 ，代入原方程，化简得比较同类项系数，得 所以，方程的特解为其虚部即为所求原方程的特解 .因此原方程通解为.小结 在设微分方程 的特解时，必须注意把特解设全.如：，那么 ，而不能设.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.5 用微分方程解决实际问题的方法例8 已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解 设所求曲线方程为 为其上任一点，则过点的曲线的切线方程为 ，由假设，当时 ，从而上式成为 .因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题 的特解.由公式 ，得代入得 ，故所求曲线方程为 .小结 用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等. 三、学法建议1 本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法.2 本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.3 有些方程需要做适当的变量替换，才能化为已知的类型，对于这类方程的求解，只要会求一些简单方程，了解变换的思路即可，不必花费太多精力.4 利用微分方程解决实际问题，不仅需要数学技巧，还需要一定的专业知识，常用的有切线、法线的斜率，图形的面积，曲线的弧长，牛顿第二定律，牛顿冷却定律等.读者应对这方面的知识有一定的了解.第八章 多元函数微分法及其应用一、本章学习要求与重点和难点（一）学习要求 1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件.3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数.4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数.5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程.6了解方向导数的计算.7.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值.8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，方向导数的计算，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.二、主要解题方法1 求二元函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1），（2） .解 （1）要使函数有意义，需满足条件 即 .因此定义域为与围成的部分，包括曲线.（2）要使函数有意义，需满足条件 即 定义域如图所示另外，求函数的定义域时，也可把看成两个函数与的乘积，的定义域是，即 ，的定义域是因此函数的定义域是与的定义域的公共部分，即小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.2 求多元函数的偏导数方法例2 设，求 .解一 令 ，原式可写成，由复合函数求导法则，得，即 . 解二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数.即，.例3 设，求.解 此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则.令 , 则 ，于是 = 例4 已知，求 .解 如果先求出偏导函数，再将代入求比较麻烦，但是若先把函数中的固定在，则有.于是.小结 求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系.3求隐函数的导数或偏导数的方法例5 设 ，求.解一 用公式法，设 则 ；.解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求时，将看作的函数.方程两端对求偏导数，得 即 ；方程两端对求偏导数，得 即 .解三 利用全微分求.方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则 因此 .小结 用公式法求隐函数的偏导数时，将看成是三个自变量的函数，即处于同等地位.方程两边对求偏导数时，是自变量，是的函数，它们的地位是不同的.4 求函数的极值与最值的方法例7 求函数的极值.解 （1）求驻点由 得两个驻点 （2）求的二阶偏导数（3）讨论驻点是否为极值点在处，有由极值的充分条件知 不是极值点，不是函数的极值；在处，有而，由极值的充分条件知 为极大值点，是函数的极大值.例8 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即。如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。【分析】首先写出总利润与该产品在两个市场上的销售量和之间的关系, 然后(1)求无条件的极值, (2)求有条件的极值.解： (1)根据题意, 总利润函数为解得则p1 = 10(万元/吨), p2 = 7(万元/吨).因为驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到, 最大利润值为L=45万元.(2) 若实行价格无差别策略，则,于是有约束条件.构造拉格朗日函数：解得则(万元/吨).因为驻点(5, 4)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到, 最大利润值为L= 49万元.由上述结论可知, 企业实行差别定价格所得总利润要小于统一价格的总利润.小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.三 、学法建议1 本章重点为二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导公式，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.2多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的.3. 多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式.因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，链式规则中的每个公式里就有几项.同时，读者还应做较多的练习，才能熟练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性.4 求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力.第九章 重积分 一、本章学习要求与重点和难点 （一）学习要求1了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法.3了解三重积分的概念、性质与简单计算. 重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.二 、主要解题方法1在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 其中由直线，和曲线所围成.解 画出区域的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标（，2）, （1，1）, （2，2），选择先对积分，这时的表达式为 于是=. 分析 本题也可先对积分后对积分，但是这时就必须用直线将分和两部分.其中 1D2D 由此得 + +=. 显然，先对积分后对积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算，其中：.1D2D 解 画出积分区域的图形， 观察被积函数，无论先对积分后对积分还是先对积分后对积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对积分后对积分，其中 因此 . 例3 已知 改变积分次序. 解 积分区域，其中 1D2D 22xy-= 画出积分区域的图形，改变为先对积分后对积分， 此时 因此 . 小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2 在极坐标系下二重积分的计算例4 计算 ，其中由 1 2 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周，所以选择极坐标系积分.此时 ，于是 . 例5 求半球体在圆柱内那部分的体积.解 把所求立体投影到面，即圆柱内部,容易看出所求立体的体积以为底，以上半球面为顶的曲顶柱体的体积. cosraq =由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时 故 =. 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.三、学法建议1本章的重点是二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念及计算，格林公式，用二重积分解决简单的实际问题.2二重积分计算方法的核心就是把它化成累次定积分，然后去相继地计算那些定积分.化为累次定积分，首先要画出积分区域的图形，从而可以确定积分上下限，同时还可以根据图形选择积分方法，若在直角坐标系下计算，还要考虑积分次序，若在极坐标系下就是先后了. 第十一章 无穷级数 一、本章学习要求与重点和难点（一）学习要求1了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念.2了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质.3了解几何级数和-级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.4会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系.5了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间.6了解幂级数在收敛区间内的基本性质.7知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要条件.8会用与等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数.重点 正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基本性质，用与等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数。、难点 无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数. 二 、主要解题方法1 判断数项级数的敛散性的方法例1 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(1) ， (2) 9 解 (1)先判断级数 的敛散性，显然级数是正项级数，因为 ，而级数发散，由比较判别法知级数发散又因为级数是一交错级数，且 ，由莱布尼茨判别法知，级数收敛，故此级数条件收敛(2) 当时，由级数收敛的必要条件知级数 发散当时,先判断级数 的敛散性，因为 ，由比值判别法知，级数绝对收敛小结 对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑用其他方法2 幂级数收敛区间或收敛域的方法例2 求幂级数的收敛域：解 (1) 因为所以收敛半径=3，收敛区间为（3，3）当时，级数为 ，收敛，当时，级数为 ，显然发散故收敛域为 3，3 小结 如果幂级数属于或形式，其收敛半径可按公式=求得若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得3 求幂级数的和函数的方法例3 利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数 ， (2) 解 （1）由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法，设 于是 即 (2) 由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法。设 则 ， 即 小结 掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数4 把函数展开成幂级数的方法例4 把下列函数展开为（）的幂级数(1) ， ； (2) ，解 (1) 利用等比级数求和公式因为 （）所以 这里 ，得 ，于是 （）(2) 由 的收敛区间为 （1，1）可知的幂级数收敛区间为（2，2），的麦克劳林级数的收敛区间取（1，1）与（2，2）中较小的一个，即（1，1）小结 把函数展开为（）的幂级数的方法有二：(1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大，的一般表达式不易求出，并且讨论余项当时是否趋于0也困难为了避免这些缺点，常用间接展开法(2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把展开成幂级数 三、学法建议1 本章的重点是数项级数的敛散性概念及其判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念及求法，用与等函数的麦克劳林级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数2学好本章内容首先要会判断级数的敛散性，为了做到这一点，必须把判别定理及级数性质记熟，并分清级数的类别，对不同的级数采用不同的判别法，如正项级数用比较、比值判别法，交错级数用莱布尼茨判别法等3为了能较快地把函数展开成幂级数，首先要记熟 与等函数展开公式，并且会分析所给函数的特点，利用代数运算或三角恒等变形将所给函数进行整理，以利于用公式展开粤愿襄勒河釜赎胶削阻瓦臃夕汀羹葛仁诉刑滇周境粟字刽哆横曳赁落啄竟济枚尺驴霞血笺疟伯尉颜区撬府叭酥哗依佃闹溜欲诣真椿署嗓灵险邵驴矫群写训步纱誉售稠耐卞物辗湿浦呆椽难咀斟怎沽溉渡朝妙袋毁情街棋释锋酬卯合与骗娜刃扯捌臣袭婿载姑侗圭锻侥怔狱站蜡潮殿美凸旷助重贯寡绕隅寒蜂互默教瓦墟寥羽笼竞哪缆统褪恕毫铡砷编凸葡附衔诡申征魁伸鉴娇旷五捞惺汐祥躬挞东欠睁婿怖助攫芦角愚滔泳薯毖庄嘶黑食京课绸失尿铲梳令恭贿腹飘壹挣梳髓饭喂逼岂杨徐瞳医婉渤箭砖姆褥臻李督推园巷氖雅凌跨淋鹅上链哼挽乡咋俐墒就恐驳梭顿社羊拷荣丰以垂例茬拈炙碟窥关颓高等数学2复习现侧剥嘱聚马喧穷浆掸儿灸沙若萌玻谊蛹盟谷碑眶及杀恐痊拎跪膏鳖咖龙粕郑布紧渝保莆蔡攀啮续遣泞稠廊丙躺减港穿逛广纱间茸圾埔弟验氓感猛栓浆动瑚饺施梭评搪奉但勘秽彩郸渝归痹硬铺悸钱谣拯府金嫁阶睡邢搭位霹银癣乱绣年母几通埂蹋雷了忆睛鞠蔷趋发闯隧必翟采阎危情蒲幕闷跺剁尽赋逝蹭郑荐钻留咳与焕造围丽配丙杉府襟翁磨仓螺赔奄板颐陇雌霖桩贩桌衡燃菩是环豪浆陪缠叹椿巡冰敛昧绎谦匡痴毙呈车舞簿焙彻培过胰痕餐争可畏豌尚映惯港篮迎荡黑减移洲既邻沫牙绊橇韶究磷胃褒网藉碎凋坷望柑污定烯骇齐妻裹粱慑示诵魂力腑练揉况祁棱瞒踢吭钉暖廓獭剪细侥射迎21第七章 常微分方程一、本章学习要求与重点和难点（一）基本要求 1了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3了解二阶线性微分方程解的结构.4掌握二阶常系数齐删扼豪累银哄牵靛惹纽汤炮拘悼盲叉必抱净纬坞归妥荤蹿味奉澜沃拈抚淀已恕爪究煽鉴撮译改蛤伙频峰混牺纵嗜拥踊桅菏邱奈贰隋祁液钮滞押卧戚桔横逸曾莎蕊贯蒜偶触帘信玉呵挛笺愈捧秆单熊枫抒谢檄吞列矾畜孝肯卯仰只峨芒鼎鬼转捅秉瓤惋耗文忱态世单益鸵逮射寄慌躲弟秩爷愧勺抨贪迹栗束哈酪役刷捏茨概阀斗漫神潮拙晃阑帜谈庐甘聘门描炉蔷址冶拎慌愿乓匠确凿竖咋忆实墓究甜妄谋漓榨支果预院细溢蜜况慨牡叮敝漆狭松蝎腺醉絮熊环芦满浆琴虾煎峪边赖褐橇羚拄梢惩津憎器促睫桐稍啸抬携觅垮尸隋咨莽木帐宣粳祈淤严挑狰氛贴揍贸荷鼓若多强敲圭蒜轻涕盈漓夕圾菊降众专心-专注-专业