2022年初三复习案极差方差与标准差.pdf

复习案：极差、方差与标准差数据的离散程度【学习目标 】一. 教学内容：数据的离散程度二. 学习目标：1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。【学习内容 】（一）知识要点知识点 1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点 2：表示数据离散程度的代表极差的定义： 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点 3：生活中与极差有关的例子在生活中， 我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。知识点 4：平均差的定义在一组数据x1， x2， xn中各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数即T=|)xx|xx|xx(|n1n21叫做这组数据的“平均差”。“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点 5：方差的定义在一组数据x1，x2， xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=)xx()xx()xx(n12n2221来描述这组数据的离散程度，并把 S2叫做这组数据的方差。知识点 6：标准差方差的算术平方根， 即用 S=)xx()xx()xx(n12n2221来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点 7：方差与平均数的性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 若 x1，x2，xn的方差是 S2，平均数是x，则有x1+b， x2+bxn+b 的方差为S2，平均数是x+b ax1， ax2， axn的方差为a2s2，平均数是axax1+b， ax2+b， axn+b 的方差为a2s2，平均数是ax+b 【典型例题】例 1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8 件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下： （单位：年）甲： 3、4、5、6、8、8、8、10 乙： 4、6、6、6、8、9、12、13 丙： 3、3、4、7、9、10、11、12 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8 年。 请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。甲：乙：丙：解： 众数、平均数、中位数例 2. 下表是南京2005 年 2 月下旬和2006 年同期的每日最高气温（单位：）如何对两段时间的气温进行比较？2 月21 日2 月22 日2 月23 日2 月24 日2 月25 日2 月26 日2 月27 日2 月28 日2005 年12 13 14 22 6 8 9 12 2006 年13 13 12 9 11 16 12 10 解： 2005 年 2 月下旬和2006 年 2月下旬的气温的极差（即温差）分别是：2005 年 2 月下旬： 226=16（）2006 年 2 月下旬： 169=7（）可以看出， 2005 年 2 月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16，即极差为16， 2006 年 2 月下旬气温的极差为7，气温变化的范围不大。例 3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。解： 平均数是4x2848x1010中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数（1）当 x8 时，98x94x2892108中位数为（2）当 8x10 时，8x4x28210 x（舍去）（3）当 x10 时，104x281021010 x=12，此时中位数为10 例 4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10 株，测得它们株高分别如下（单位：cm）甲： 25，41，40，37，22，14，19，39，21， 42；乙： 27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。（1）哪种棉花长得较高？（2）哪种棉花长得较齐？解： （1）101x甲（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42 ）=30 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 101x乙（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40 ）=31 甲x乙x乙种棉花长得高（2）2.104)3042()3041()3025(101S2222甲8.128)3140()3116()3127(101S2222乙2S甲2S乙甲种棉花长得整齐例 5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13， 12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。（精确到0.01）解： 极差=1412=2 63.04.0S4. 0)1313()1312()1313()1314()1313(51S13)1312131413(51x222222例 6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10 次测试，成绩如下： （单位：分）甲的成绩76 84 90 86 81 87 86 82 85 83 乙的成绩82 84 85 89 79 80 91 89 74 79 回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。（2）若甲学生成绩的平均数为甲x，乙学生成绩的平均数为乙x，则甲x与乙x的大小关系是。（3）经计算知2S甲=13.2，2S乙=26.36，这说明。（4）若测验分数在85 分（含 85 分）以上为优秀，则甲的优秀率为，乙的优秀率为。解： （1）86，83 （2）甲x乙x（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定（4）50%， 40%。例 7. 已知：x1，x2， xn的平均数是x，标准差是Sx。3x1+5，3x2+5， 3xn+5 的平均数是y，标准差是Sy，试说明：（1）y=3x+5 （2）Sy=3Sx 解： （1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5x35)xxx(n3n5)xxx(3n1)5x3()5x3()5x3(n1yn21n21n21（2）)yy()yy()yy(n1S2n22212y2x2n22212n2221n221S9)xx()xx()xx(n19)xx(9)xx(9)xx(9n1)5x35x3()5x35x3()5x35x3(n1xyS3S【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）一、选择题1. 6 个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5 个数的平均数是（）A. 10 B. 9 C. 11 D. 12 2. 甲、乙两个样本中，2. 0S,4.0S22乙甲则两个样本的波动情况是（）A. 甲的波动比乙大B. 乙的波动比甲大C. 甲、乙波动一样大D. 无法比较3. 如果 10 个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（）A. 极差和方差B. 极差和标准差C. 方差和标准差D. 以上都不对5. 一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（）A. 2S2B. S2C. 2S2D. 4S2 6. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10 次，他们射击的环数的方差分别为：2S甲=2.4 ，2S乙=3.2，则射击的稳定程度是（）A. 甲高B. 乙高C. 一样高D. 不能确定二、填空题7. 某次考试 5 个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54 则这 5 个班级的平均成绩的极差是。8.已知某班第8 小组 8 位男生的身高如下（单位：m） ： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82 则他们的平均身高是。9.一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的方差为。10.已知样本 4，2，x 的方差 S2=32，则 x 的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 11. 一 组 数 据 为1， 1， 0， 1， 1， 则 这 组 数 据 的 极 差 、 方 差 、 标 准 差 分 别为，。12. 若 1，2，3，a 的平均数是3，且 4，5，a，b 的平均数是5，则样本 0，1，2， 3，4，a，b 的方差是。13. 已知甲、乙两名学生5 次考试数学成绩如下：甲： 97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90 （1）甲x，S甲（精确到 0.01） ，2S甲= （2）乙x，S乙（精确到0.01） ，2S乙= 三、解答题14. 甲、乙两名学生各进行了5 次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是 0.005，乙的成绩如下：2.20m，2.30m.2.30m， 2.40m，2.30m，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。15. 在一次中考模拟考试中，某校初三（1）和初三（ 2）班的学生成绩如下表所示：分数人数50 60 70 80 90 100 （1）班3 5 16 3 11 12 （2）班2 5 11 12 13 7 请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？16. 某校初三 （1）班、 （2）班各有 49 名学生， 两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：（单位：分）班级平均数众数中位数标准差一班79 70 87 19.8 二班79 70 79 5.2 （1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79 分，得 70 分的人最多，我得了85 分，在班里可算上游了！ ”（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。【试题答案】1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A 7. 15 8. 1.73m 9. 4S210. 3 11. 2 0.8 0.89 12. 4 13. （1）100，5.80 ，33.6 （2）100 ，10.49 ，110 14. 解：乙的成绩更稳定些。因为004.0S30. 2)30.240. 230.230.220.2(51x2乙乙22SS甲乙而所以乙的成绩更稳定些。15. 解：平均成绩均为80 分，故两班成绩一样好。244S21108S2221S22S（ 2）班成绩较为整齐。故（2）班的成绩较好。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 16. 解： （1）由中位数可知85 分排在第25 位以后，从位次上讲不能说85 分是上游。但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得85 分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。（2）初三（ 1）班成绩的中位数为87，而平均分为79 分，标准差很大，说明两极分化严重。建议：采取措施，加强“帮扶”工作。初三（ 2）中位数和平均分都是79 分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。建议：采取措施，“提优”工作要加强。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -