二倍角与半角的余弦正弦和正切(共15页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上55二倍角与半角的正弦、余弦和正切基本公式sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（S2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(C2);tan(+)= 因为，所以公式可以变形为或 变形公式，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式*积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb Þ sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb Þ cosasinb =sin(a + b) - sin(a - b)cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb Þ cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb Þ sinasinb = -cos(a + b) - cos(a - b)*和差化积公式的推导若令a + b = q，a - b = ，则， 代入得： 半角公式 证：1）.在 中，以a代2a，代a 即得： 2）.在 中，以a代2a，代a 即得： 3）.以上结果相除得：4）.万能公式证：1） 2） 3）例1 、 不查表求下列各式的值 （）； （）； （）； （）例、不查表求下列各式的值（） （）（） （）例、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值 例4、 已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值例5 、求证：的值是与a无关的定值例6、 化简： 升幂【当堂训练】一、选择题1、已知cos=,且tan<0，则sin2的值等于 （ ） A B C D2、若，则的值为 （ ） A、 B、 C、 D、 3、已知sincos= ，则sin2= （ ） A B C± D4、已知 sin（x）= ,则sin2x = （ ） A B C D5、若x = ，则sin4xcos4x的值为 （ ） A B C D6、 （ ） A、 B、 C、 D、 7、若，则的值等于 （ ） A、 B、 C、 D、 8、的值等于 （ ） A、 B、 C、 2 D、 4 二、填空题1、计算tancot= 2、求值：（cos210°cos280°）2sin220° = 3、已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin2等于_ _4、函数的最大值等于 三、解答题1、 已知sin（）= ,求cos22、已知：tanx = 2，求：的值3、 已知：，求：的值4、已知：，求：的值【家庭作业】1已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值2已知，tana =，tanb =，求2a + b 3已知sina - cosa = ，求和tana的值4已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值5求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a6已知、为锐角，且3sin22sin21，3sin22sin20求证：27求值： 8.已知sin2=,<<,求sin4,cos4,tan4的值. 9.不查表,求值:sin15°+cos15°.10. 若,则cos+sin的值为( )A. B. C. D.11. 下列各式中,值为的是( )A.2sin15°-cos15° B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°12 证明=tan.13 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.14在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 15化简：16 已知cos=,cos(-)=,且0<<<,(1)求tan2的值;(2)求. 17.已知，求，的值。18.化简（1）；（2）；（3）；（4）19已知，且，求的值。20求证：（1）；（2）参考答案：例1 解: （）=； （）； （）； （）例2解: （）（）（）（）例3解：sin2q - cos2q = 例4 解： sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 例5证： 降次 的值与a无关例6解： 【当堂训练】参考答案一、选择题CABBCDCA二、填空题1、 2、13、4、三、解答题1、 ， 2、原式3、， ；因而： ， 4、 ， 于是：原式1解： cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 ) 解之得：tan q = 2 原式2.解： 又tan2a < 0，tanb < 0 ， 2a + b = 3.解：sina - cosa = 化简得： 即 4.解：cosa - cos b = ， sina - sin b =， 5.证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a = -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右边 原式得证6.证：由已知得3sin2cos2 3sin22sin2 ÷得tan、为锐角 0，02，20，2 2，27.解：原式8. 解:由<<,得<2<.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2×(2)=2sin2cos2=2××()=;cos4=cos2×(2)=1-2sin22=1-2×()2=;tan4=(-)×=.9解:原式=10. 答案:C11. 答案:B12. 证明:方法一:左=tan=右.所以,原式成立.方法二:左=tan=右.方法三:左=tan=右.13. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=14. 解：方法一:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=,tan2A=又tanB=2,所以tan2B=于是tan(2A+2B)=方法二:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=.又tanB=2,所以tan(A+B)=于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)=15. 解：原式=cot2.16. 解:(1)由cos=,0<<,得sin=tan=4.于是tan2=(2)由0<<<,得0<-<.又cos(-)= ,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=×+=.=.17. 解：， ；18. 解：（1） ；（2）；（3）；（4）19. （略解）原式（解法2）原式20. 证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得所以，（2）在（1）题中，令，则，把，的值代入，就有，所以，专心-专注-专业
